В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр), страница 2

Если взять ровно по одному элементу из каждого класса эквивалентности,получим систему представителей.9В качестве примера рассмотрим множество Z целых чисел. Зафиксируем произвольноецелое число m  0 и назовём два целых числа a, b сравнимыми по модулю m (что обозначаетсяa  b(mod m) ), если разность a  b делится на m . Легко видеть, определённое таким образомотношение обладает всеми свойствами отношения эквивалентности. Классы эквивалентностиназываются классами вычетов по модулю m , в качестве системы представителей можно взятьвсевозможные остатки от деления на m , т.е. числа 0,1,..., m  1 .

Это множество обозначаетсяZm. На нём можно определить операции сложения и умножения естественным образом. Имеетсяв виду, что следует просуммировать вычеты, как обычные целые числа, разделить сумму на m состатком и этот остаток назвать суммой вычетов. Аналогично определим произведение вычетов.10Билет 3. Отображения и их свойства.Определение 3.1. Назовём бинарное отношение E  A  B функциональным, еслидля каждого x  A сечение E ( x ) содержит не более одного элемента.Определение 3.2. Если отношение E 1 , симметричное к отношению E  A  B ,также является функциональным, то отношение E называется взаимно однозначным.Определение 3.3. Если для каждого x  A сечение E ( x ) содержит ровно одинэлемент, то функциональное отношение всюду определено.С функциональным отношением непосредственно связано понятие отображения.Определение 3.4.

Отображение, обозначим его f , сопоставляет каждому элементу,называемому аргументом отображения, для которого сечение E ( x ) - непустоемножество, единственный элемент f ( x ) подмножества E ( x ) множества B . Этотэлемент f ( x ) называется образом элемента x  A при отображении f .Множество тех элементов x  A , для которых существует f ( x ) , называетсяобластью определения отображения f .Определение 3.5. Если отображение f определено на всём множестве A , тоговорят, что задано отображение A в B .Определение 3.6. Множество образов элементов x  A при отображении fназывается образом отображения. Если C  A , то образ f (C ) определяется, какмножество образов элементов f ( x ), x  C .Определение 3.7. Если образ совпадает со всем множеством B , то говорят, чтозадано отображение A на B , или чтоf - сюръективное отображение, или сюръекция.(При этом требование всюду определённости не является обязательным).Определение 3.8.

Если D  B , то f1( D) обозначает прообраз множестваD  B , т.е. множество тех элементов x  A , для которых f ( x )  D .Отметим очевидные свойства образа и прообраза:f ( f 1 ( D))  D, f 1 ( f (C ))  C .Определение 3.9. Если отношение E является взаимно однозначным, тоотображение, соответствующее E 1 , называется обратным к f и обозначается f 1 . Еслипри этом отношение E всюду определено, то f называется инъективным отображением,11или инъекцией.

Если, кроме того, отображение ещё и сюръективно, то оно называетсябиективным или биекцией.Отметим, что выше мы использовали обозначение прообраза f1( D) и в случаях,когда обратное к f отображение f 1 не существует. Если же обратное отображениесуществует, то прообраз f1( D) можно рассматривать, как образ множества D приотображении f 1 .Наиболее часто встречающимся функциональным отношением является обычнаяфункция y  f ( x ) , определённая на некотором подмножестве X числовой прямой,значения которой образуют множество Y . Действительно, эту функциональнуюзависимость можно трактовать, как задание подмножества в множестве X  Y , в котороевходят те пары ( x, y ) , для которых выполнено равенство y  f ( x ) . Изображение этогомножества пар на плоскости носит название графика функции.12Билет 4. Множество действительных чисел.

Аксиомаотделимости.Предварительные сведения о натуральных, целых, рациональныхчислах. На экзамене содержание пунктов 4.1, 4.2, 4.3 следует знать, но можноне рассказывать. (Содержание пункта 1΄ можно и не знать, сведения обаксиоматике Пеано приведены исключительно для общего развития.)4.1. Натуральные числаНатуральное число можно также отнести к тем понятиям, которыеинтуитивно ясны каждому человеку и, разумеется, свойства этих чиселизвестны из курса средней школы.

В этом параграфе мы напомним этисвойстваСложение натуральных чисел обладает следующими свойствами:1.a  (b  c )  ( a  b)  c (ассоциативность, или сочетательный закон).2.a  b  b  a (коммутативность, или переместительный закон).Для натуральных чисел a, b естественно вводится отношение порядкаменьше или равно, обозначаемое  , и для любых чисел a, b выполняетсялибо соотношение a  b , либо b  a .Отношение порядка обладает такими свойствами:1.Если одновременно a  b и b  a , то a  b .2.Если a  b и b  c , то a  c .3.Если a  b , то для всех c выполняется: a  c  b  c .Умножение натуральных чисел обладает следующими свойствами:1.a(bc )  (ab)c (ассоциативность, или сочетательный закон).2.ab  ba (коммутативность, или переместительный закон).3.Если a  b , то для всех натуральных c выполняется: ac  bc .4.a(b  c )  ab  ac (дистрибутивность умножения относительно сложения,или распределительный закон).Множество натуральных чисел обозначается N.Мы не будем подробно останавливаться на позиционных системахсчисления, как средствах для изображения чисел.

В школе, да и вбольшинстве вычислений, используется привычная десятичная системасчисления. Отметим, однако, что в ряде задач более удобны, например,двоичная или троичная системы. Также в качестве примера изобразим число100 в двоичной системе: 1100100 (так как 100=164+132+016+08+14+02+01).4.1΄. Аксиомы ПеаноБолее глубокое представление о натуральных числах, даётпредложенная в 1889 году Дж.

Пеано система аксиом:1.Единица – натуральное число. Она обозначается символом 1.132.Для любого натурального числа n существует единственноенатуральное число, за ним следующее. Оно обозначается символом n .3.Единица не является числом, следующим за каким-нибудьнатуральным числом.4.Если число n , следующее за натуральным числом n , равно числу m ,следующему за натуральным числом m , то m  n .5.Пусть множество A натуральных чисел обладает следующимисвойствами: 1  A и из того, что n  A следует, что n  A .

Тогда множество Aсовпадает с множеством натуральных чисел.Пятая аксиома является основой метода математической индукции.С помощью аксиом можно строго определить операцию сложения.Всякой паре a , b натуральных чисел ставится в соответствие третьенатуральное число, называемое их суммой и обозначаемое a  b , последующим правилам: a  1  a , a  b  (a  b) .С помощью аксиом можно определить также операцию умножения.Всякой паре a, b натуральных чисел ставится в соответствие третьенатуральное число, называемое их произведением и обозначаемое ab, либопросто ab , по следующим правилам: a1=a, ab*=ab+a.Для заинтересованного читателя (мы верим, такие есть!) приведёмпример доказательства одного из свойств натуральных чисел, например,равенства a(b  c )  ab  ac .По определению умножения, 1(b  c)  1  b  1  c  b  c .

Предположив, чторавенство выполнено для чисел a, b, c докажем его для чисел a, b, c .Действительно,a(b  c )  a (b  c)  a(b  c )  a  ab  ac  a  ab  (ac  a )  ab  ac  ,что и требовалось доказать.4.2. Целые числаПотребности в вычислениях не позволяют ограничиться тольконатуральными числами.

Естественно дополнить натуральные числа числом 0и отрицательными числами. Число 0 , по определению, обладаетследующими свойствами: для любого натурального числа a выполняютсяравенства a  0  a, a  0  0 .Нетрудно доказать, что 0 определяется этими свойствамиединственным образом. В самом деле, если мы предположим, что есть дваэлемента, обладающих указанными свойствами, например, 01 , 02 , то получим,что 01  01  02  02 .Точно также, для произвольного натурального числа a определимпротивоположное ему число a как такое, что выполняется равенствоa  (  a)  0 , т.е. как решение уравнения x  a  0 Натуральные числа, импротивоположные числа и число 0 образуют новое множество, называемоемножеством целых чисел. Множество целых чисел обозначается Z.14Мы не будем подробно останавливаться на том, как операции сложенияи умножения и отношение неравенства переносятся с множестванатуральных чисел на множество целых чисел, считая это известным, апросто перечислим свойства целых чисел.

Сложение целых чисел обладаетследующими свойствами:a  (b  c )  ( a  b)  c (ассоциативность, или сочетательный закон).1.a  b  b  a (коммутативность, или переместительный закон).2.3.Существует нейтральный элемент по сложению, называемый 0, такой,что для любого целого числа a выполняются равенства a  0  a .4.Для произвольного целого числа a существует противоположное емучисло a такое, что выполняется равенство a  ( a)  0 .Свойство 4 позволяет определить на множестве целых чисел операциювычитания с помощью равенства a  b  a  (b) .С алгебраической точки зрения эти свойства означают, что множествоцелых чисел с введённой на нём операцией сложения образуеткоммутативную группу.Умножение целых чисел обладает следующими свойствами:a(bc )  (ab)c (ассоциативность, или сочетательный закон).1.ab  ba (коммутативность, или переместительный закон).2.a(b  c )  ab  ac (дистрибутивность умножения относительно сложения,3.или распределительный закон).4.Существует нейтральный элемент по умножению такой, что a 1  aдля любого a .С алгебраической точки зрения эти свойства означают, что множествоцелых чисел с введёнными на нём операциями сложения умноженияобразует кольцо.Для целых чисел a, b естественно вводится отношение порядка меньшеили равно, обозначаемое  , и для любых чисел a, b либо a  b , либо b  a .Отношение порядка обладает такими свойствами:1.Если одновременно a  b и b  a , то a  b .2.Если a  b и b  c , то a  c .3.Если a  b , то для всех c выполняется: a  c  b  c .4.Если a  b , то для всех натуральных c выполняется: ac  bc , а для всехотрицательных целых чисел c - противоположное неравенство ac  bc .Для целых чисел можно определить понятие делимости.

Говорят, чтоцелое число a делится на целое число m без остатка, если существует целоечисло c такое, что a  mc . (Обычно это обозначают следующим образом:m a .) Число a называется делимым, число m – делителем, число c –частным от деления. Если же a не делится на число m без остатка, то егоможно единственным образом представить в виде a  mc  r , где 1  r  m  1 .Тем самым, мы получили равенство a  mc  r , верное при 0  r  m  1 .15Зафиксируем произвольное целое число m  0 и назовём два целыхчисла a, b сравнимыми по модулю m (что обозначается a  b(mod m) ), еслиразность a  b делится на m . Легко видеть, определённое таким образомотношение обладает всеми свойствами отношения эквивалентности.

Классыэквивалентности называются классами вычетов по модулю m , в качествесистемы представителей можно взять всевозможные остатки от деления наm , т.е. числа 0,1,..., m  1 . Это множество обозначается Zm.Сумму вычетов a и b определяем, как остаток от деления на m числаa  b , произведение вычетов a и b определяем, как остаток от деления на mчисла ab . Операции над вычетами обладают теми же свойствами, что иоперации над целыми числами.4.3.