В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр), страница 22

График изотермы газа Ван-дер-ВаальсаПостроим график изотермы газа Ван-дер-Ваальса, соответствующейкритической температуре. Уравнение имеет вид:pRTa 2,V b V(1)где p - давление, T - температура, V - объем; R универсальная газоваяпостоянная; a , b  0 индивидуальные параметры.Считаем температуру постоянной, имеющей критическое значение,которое будет указано ниже. Тогда уравнение задает p как функцию отодной переменной V , V  b . Критическая точка газа определяетсяуравнениямиp  0, p  0 ,(2)где производные взяты по переменной V .Дифференцируем равенство (1):p  RT2V  b 2a,V3p  2 RT6a 4.3V  b  VСистема (2) принимает вид:2aRT6a2 RT, 4233VV  b  V V  b (3)откуда находим:23V  b , 2V  3V  3b , V  3b .V(4)Это  величина критического объема.Критическую температуру находим из равенства p  0 , т.е.:27b 3 RT  2a  4b 2 , T 8a.27bR(5)Итак, построим график изотермы для T , принимающей критическоезначение (5).

Функция p непрерывна при V  b . При стремлении152V  b  0 имеем: p   , что означает, что у графика есть вертикальнаяасимптота. Производная p найдена выше, она равна 0, если выполненопервое из уравнений (8.3),2aRT2aR  ba,откуда,V 3 V  b 2V 3 27b  R  V  b 2что после преобразования дает:4V 3  27bV 2  54b 2V  27b 3  0 .(6)Один корень производной, V  3b , уже найден в (4), поэтомууравнение (6) легко преобразовать к виду:V  3b  4V  3b   0 .2В области V  b лежит только точка V  3b , в которой производная знакане меняет, в ней нет экстремума.Нули второй производной ищем из второго уравнения (3),6a2 RT,3V 4 V  b или, учитывая (5),8V 4  81bV  b  .3Делим обе части этого уравнения на b 4 и обозначаем z V. Тогдаb8 z 4  81z  1 .3Здесь также очевиден корень z  3 (соответствующий точке V  3b ).Для того, чтобы выяснить вид графика вблизи критической точки,вычислим третью производную p ,p  6 RT24a 5 ,4V  b  Vи подставим в неё найденные значения V и T из равенств (4) и (5):p   (7)6 R  8a24aa  6824  a  1 8  5  5   5     0 .4543  b  9 81 27bR  2b  3b  b  27  2153Неравенство (7) означает, что в точке V  3b , отвечающей температуре(5), график функции (1) имеет перегиб.Таким образом,получаем эскиз графика:Примечание: более подробно с этой задачей и, главное, с основнымипонятиями физической химии, связанными с ней, можно ознакомитьсяпо книге:ОСНОВЫ ФИЗИЧЕСКОЙ ХИМИИ.

Теория и задачи: Учеб. Пособие длявузов / В.В.Ерёмин, С.И. Каргов, И.А. Успенская, Н.Е. Кузьменко, В.В.Лунин.- М.: Изд-во «Экзамен», 2005 , (Серия «Классическийуниверситетский учебник») .График межмолекулярного потенциала Леннард-ДжонсаПостроим график межмолекулярного потенциала Леннард-Джонса,задаваемого формулой6  r0 12r0 U r   U 0     2   , r  0 .r  r Это — непрерывная в области определения функция. При r  0имеем: U r    , поэтому прямая r  0 является вертикальной асимптотойграфика.

Если r   , то U r  0 снизу, прямая U  0 — горизонтальная1546rr асимптота. Величина U r  обращается в нуль при  0   2 , т.е. при r  6 0 ,2rи для r  6r0rвыполняется неравенство U r  0 , а для 0  r  6 0 —22неравенство U r   0 .Производная функции U r  равна 12  r0 13 12  r0  7  12U 0  r0  7   r0  6 U r   U 0               1     ,rrrrrr  r 00 0откуда следует, что при r  r0 выполняется U r   0 , при r  r0 имеемU r0   0 и U r   0 при r  r0 , так что в точке r  r0 функциядостигает своего наименьшего значения, равного  U 0 .Вторая производная U r  равна 12  13  r0 14 12  7  r0  8  12  U 0U r   U 0  2     2     r0  r  r02r r0откуда U r   0 при r  r0  60  r  r0  6r  0 r8  r0  6 13   7  , r1313, U r   0 при r  r0  6и U r   0 при7713.

Следовательно, выпуклость графика вниз на интервале713 13 r0 , r0  6 меняется на выпуклость вверх на  r0  6 , точка,77r  r0  613— точка перегиба.7График U r  имеет вид:155Примечание: более подробно с этой задачей и, главное, с основнымипонятиями физической химии, связанными с ней, можно ознакомитьсяпо книге:ОСНОВЫ ФИЗИЧЕСКОЙ ХИМИИ. Теория и задачи: Учеб. Пособие длявузов / В.В.Ерёмин, С.И. Каргов, И.А. Успенская, Н.Е. Кузьменко, В.В.Лунин.- М.: Изд-во «Экзамен», 2005 , (Серия «Классическийуниверситетский учебник») .156«УТВЕРЖДАЮ»Заведующий кафедрой математического анализамеханико-матем атического факультета МГУакадемик_________________/В.А.Садовничий/«___»_____________2008 г.Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов химическогофакультета , 1курс, 1 семестр1.

Множества и операции над ними.2. Декартово произведение множеств, бинарные отношения.3. Отображения и их свойства.4. Множество действительных чисел. Аксиома отделимости.5. Верхние и нижние грани. Стягивающиеся отрезки.6. Предельные точки.7. Приближённые вычисления.8. Предел последовательности. Бесконечно малые последовательности.Арифметические свойства предела.9. Предельный переход в неравенствах. Предел монотонной ограниченнойпоследовательности.10. Число e .11. Критерий Коши существования предела последовательности.12. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.13.

Определение предела функции, арифметические свойства предела, предельныйпереход в неравенствах.14. Вычисление limx 0sin xx15. Предел монотонной ограниченной функции. Непрерывность элементарныхфункций.16. Символы o , O . Вычисление пределовln(1  x)ax 1(1  x )   1,lim,lim.x 0x 0xx x 0xlim17. Промежуточные значения непрерывной на отрезке функции.18. Ограниченность непрерывной на отрезке функции.19. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.20. Производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства.21.

Производные элементарных функций, обратной функции, сложной функции,параметрически заданной функции.22. Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала.23. Производные и дифференциалы высших порядков.24. Теоремы Ферма, Ролля. Необходимые условия экстремума.25. Теоремы Лагранжа и Коши. Критерий постоянства функции на отрезке.26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.27. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.28. Разложения функций e x ,sin x,cos x,ln(1  x),(1  x) .29. Правила Лопиталя.30. Монотонность функции.

Достаточные условия экстремума функции.31. Выпуклость графика функции.32. График изотермы газа Ван-дер Ваальса. График межмолекулярного потенциалаЛеннард-Джонса.157Примечание: вопросы коллоквиума- это первые 19 вопросовВопросы зачёта по аналитической геометрииПримечание: Вопросы 1-9 сформулированы для трёхмерных векторов и матриц размера33.1. Системы линейных уравнений, их запись в матричной форме2. Матрицы, векторы. Линейные операции над ними.3. Умножение матриц.4. Определители и их свойства.5.

Разложение определителя по строке(столбцу).6. Обратная матрица.7. Правило Крамера.8. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.9. Скалярное произведение векторов.10. Векторное произведение векторов.11. Смешанное произведение векторов.12. Плоскость в пространстве. Нормальное уравнение плоскости.13. Прямая в пространстве.14. Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве.15.

Эллипс.16. Гипербола.17. Парабола.18. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду.19. Эллипсоид и гиперболоиды.20. Параболоиды21. Конус и цилиндры.Лектор профессор/В.Г.Чирский/.