В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр), страница 10

 U  0 (a ) , c : x  U  0 (a)Зафиксируем произвольное   0 и рассмотрим 1  0 x : 0  x  a   1  1 ( x) ( x )  c .. Тогдаc.cОбозначив за   min( 1 ,  2 ) получаем:0  x  a   10 xa    ( x)  ,  ( x)  c   ( x)   ( x )   . Значит,c0  x  a   2  0   0 x : 0  x  a   , т.е.

 ( x)   ( x) - бесконечно малая при x  a .3.Докажем сначала лемму.Лемма 13.1. Если- бесконечно малая при x  a , то онаограничена при x  a (наоборот - неверно!).Доказательство. Возьмеми получим, что  0   0 x : 0  x  a    ( x )  1 . Таким образом, при x  a  (x)ограничена. Лемма доказана.Вернёмся к теореме. По доказанной лемме  2 ( x) - ограничена при x  a .Осталось применить свойство 2) бесконечно малых, доказанное выше.Теорема 13.4. (Арифметические свойства предела)Пусть две функции f ( x1 ) и f ( x 2 ) , имеют пределы A1 и A2, соответственно,при x  a . Тогда предел суммы, разности, произведения, и, если,частного этих функций равны соответственно сумме, разности,произведению и частному значения этих пределов, т.е.lim f ( x1 )  A1 lim f ( x 2 )  A2  lim f ( x1 )  f ( x 2 )  A1  A2x ax ax alim f ( x1 )  f ( x 2 )  A1  A2 , если A2  0 , то limx ax af ( x1 ) A1f ( x 2 ) A2Аналогично теорема верна и для последовательностей.Доказательство.

По теореме 13.2 из условия следует, чтоf 1 ( x)  A1   1 ( x ), где 1 ( x),  2 ( x) - бесконечно малые при x  af 2 ( x )  A2   2 ( x)59.Тогда f1 ( x)  f 2 ( x)  A1  A2   1 ( x)   2 ( x)  A1  A2   1 ( x)   2 ( x) . Потеореме 13.3 алгебраическая сумма бесконечно малых 1 ( x)   2 ( x) бесконечно малая, т.е. lim  f1 ( x)  f 2 ( x)   A1  A2 , снова по теореме 13.2.x aПерейдем к произведениюf1 x  f 2 x   A1   1 x  A2   2 x   A1  A2   1 x  A2  A1   2 x   2 x   1 x .Последние слагаемые - бесконечно малая величина при x  a .

По свойствам 2и 3 бесконечно малых, - бесконечно малые при x  a . По свойству 1 их. По теореме 13.2, lim  f1 x  f 2 x   A1  A2 .сумма – бесконечно малая приx aПерейдем к пределу частного и докажем сначала лемму:Лемма 13.2. Еслинеравенство f 2 ( x ) A2  0 , то   0 : x : 0  x  a   выполняетсяA2.2Доказательство. Выберем    0 : x : 0  x  a   f 2 ( x)  A2 A22. Тогда   0 x : 0  x  a  A2AAA A2  2  f 2 ( x)  A2  2  f 2 (x)  2 .2222Лемма доказана.Теперь докажем следующее утверждение:Лемма 13.3. ЕслиA2  0 , то limx a11.f 2 ( x ) A2Доказательство. Имеет место равенствоA  f 2 ( x)  2 ( x)11 2. По лемме 8.2 в U  (a ) выполняетсяf 2 ( x) A 2A2  f 2 ( x)A2  f 2 ( x)неравенство f 2 ( x)  A2 функцияA22 A2 , следовательно,12 2 .

Значит,f 2 ( x)  A2A1  2 ( x)ограничена при x  a , и- бесконечно малая приf 2 ( x)  A2A2  f 2 ( x)60x  a . Таким образом,11f 2 ( x) A 2бесконечно малая, т.е. limx a11.f 2 ( x ) A2Лемма доказана.Для доказательства равенства limx af ( x1 ) A1f ( x 2 ) A2применим лемму 13.3 ичасть теоремы 13.4 о пределе произведения функций.Теорема 13.5. Если функция имеет предел при x  a , равный А ив некоторой проколотой окрестности U (a ) точки a принимаетнеотрицательные значения, то A  0 .Доказательство. Будем доказывать методом от противного.

Допустим,что A<0. Возьмем  AA. Тогда   0 : x : 0  x  a   , f ( x )  A  ,22откудаf ( x)  A  A  A  022Получаем, что для любогоиз пересечения проколотых окрестностейU (a ) и U  (a ) одновременно выполняются неравенства f ( x )  0 и f ( x )  0 . Темсамым мы пришли к противоречию. Теорема доказана.Теорема 13.6. Если для двух функций f 1 ( x) и f 2 ( x ) , имеющихпределы, соответственно, А1 и А2 , в некоторой проколотой окрестностиU (a ) выполняется неравенство f1 ( x )  f 2 ( x ) , то А1  А2 .Доказательство.

Обозначим ( x)  f 2 ( x)  f1 ( x) . При этомx  U (a)  ( x )  0 lim  ( x )  lim f 2 ( x)  lim f 1 ( x)  A2  A1 . По теореме 13.5 имеемx axaxaA2  A1  0 , т.е. A2  A1 . Теорема доказана.Замечания:эти две теоремы означают, что при переходе к пределу сохраняетсянестрогое неравенство;строгое неравенство между функциями может не сохраниться дляпределов.61Например, для функций f 1 ( x)  0 , f 2 ( x )  x 2 в любой U (0) выполняетсянеравенство 0  x 2 , т.е. f 1 ( x )  f 2 ( x) . Однако, lim f1 ( x )  lim f 2 ( x)  0x 0x 0Теорема 13.7. (Теорема о “зажатой” переменной).Если x  U (a) выполняется неравенство f1 ( x)  f ( x)  f 2 ( x) , и еслиlimf ( x )  limf ( x )  A , то limf ( x)  A .x a 1x a 2x aДоказательство.

Для доказательства данной теоремы докажем лемму:Лемма 13.4. Еслиx  U (a ) выполняется неравенство0   ( x)   ( x ) , и если lim ( x)  0 , то и lim  ( x)  0 .x ax aДоказательство. Требуется доказать, что:  0   0 x : 0  x  a   ( x)   . Имеется:   0  0  0 x : 0  x  a   0 ( x)  Выберем  таким, что U  (a )  U (a) , а также удовлетворяющимнеравенству    0 , из которого следует, что U  (a )  U  (a ) .Тогда0x  U (a)  ( x)  0 x  U (a) 0   ( x)   ( x)   , что означает, что lim ( x )  0 .x aЛемма доказана.Перейдем к доказательству теоремы и обозначим ( x)  f ( x )  f 1 ( x), ( x)  f 2 ( x )  f 1 ( x ) . При этом  ( x), ( x) удовлетворяютусловиям леммы.Далее, lim  ( x )  A  A  0 и, по лемме, lim( x )  0 .

Наконец,x ax af ( x)   ( x)  f1 ( x)  A при x  a (т.к.  ( x)  0 , f 1 ( x)  А при x  a ).Таким образом, теорема доказана.xaДополнительный материал:Теорема 13.8. (Критерий Коши для функции).62Условие: для любого   0 существует такое    ( ) , что для любыхx0 , x1 из U (a ) разность значений функцииf ( x) в этих точках поабсолютной величине меньше , равносильно тому, что существуетпредел этой функции при x  a , т.е.  0  ( ) x 0 , x1  U  (a ) f ( x 0 )  f ( x1 )     lim f ( x ) .xaНеобходимость ()Пусть существует предел lim f ( x)  A . Тогдаx a   0   0  x  U  ( a) f ( x )  A f ( x0 )  A . Так как x0 , x1  U  (a) , то f ( x1 )  A  ,22.

Следовательно,2f ( x 0 )  f ( x1 )  f ( x 0 )  A  A  f ( x1 )  f ( x 0 )  A  f ( x1 )  A   .2 2Достаточность ()Доказательство достаточности значительно труднее и его необязательно рассказывать на экзамене.Однако для заинтересованного читателя ниже приводится схема этого доказательства.Сначала дадим ещё одно определение предела функции приОпределение 13.5 (предела функцииf ( x)приx a .x a по Гейне ). Говорят, что функцияf ( x) имеет при x a предел A , если для любой последовательности {an } такой, что lim an  aиn такой, что для всехnвыполнено неравенствоan  a , предел lim f (an )  A .n Теорема 13.9.

Определение определение предела по Коши, равносильно определению 13.5предела по Гейне.◄Пусть сначала функция имеет предел по Коши. Рассмотрим произвольнуюпоследовательность{an } такую, что lim an  an и такую, что для всехnвыполнено неравенствоan  a .По определению предела по Коши,определению предела последовательности,nNвыполняется условиеозначающее, что   0   0  x  U  ( a ) f ( x )  A    0 N  N ( ) n  N an  a   . Значит, приa  U (a) , из которого сразу следует неравенство f an   A   ,nlim f (an )  A , Тем самым, предел этой функции по Гейне также существует.n .

По63Предположим теперь, что предел по Коши не существует и докажем, что не существует и предел поГейне. По предположению, существует такое число*точка a  U  0 , что для любого числа   0 существует такая(a) , что f ( a )  A   . Последовательно выбирая в качестве  числа  n  1 ,nнаходим точки a  U 1 ( a ) такие, чтоnnf (an )  A   . Эти точки представляют собойпоследовательность точек, удовлетворяющую всем условиям, входящим в определение предела по Гейне,однако для этой последовательности условиеlim f (an )  A не выполнено.►n Докажем теперь, что из условия (1) вытекает, что функция имеет предел по Гейне.Действительно, возьмём любую последовательность{an } такую, что lim an  aи такую, чтоn для всехnвыполнено неравенствоan  a .

Рассмотрим соответствующую последовательностьf (an ). Зафиксируем   0 и выберем соответствующее   0 с помощью (1). Так какlim an  a , имеем:   0 N  N ( ) n  N an  a   . Далее, при n, m  Nn a , a  U (a ) и ,по условию (1) , f (an )  f (am )   . Значит,  f (an )-фундаментальнаяm nпоследовательность. По теореме 12.3 существует предел последовательностиf (an ), обозначим егоlim f (an )  A .n Осталось доказать, что если взять любую другую последовательность{bn } такую, что lim bn  an и такую, что для всехnвыполнено неравенствоbn  a , то lim f (bn )  A .n Для этого рассмотрим последовательностьточек, сходящаяся к точкеa1 , b1 , a2 , b2 ,..., an , bn ,...

. Это – последовательностьa и не принимающая значение a , согласно своему определению. Поэтомупоследовательность значенийf ( a1 ), f (b1 ), f ( a2 ), f (b2 ),..., f ( an ), f (bn ),... также имеет предел,по доказанному выше. Тогда по теореме 12.1 предел этой последовательности равен пределуподпоследовательностиf (bn ) и пределу подпоследовательности f (an ), равному A .64Билет 14.

Вычислениеsin x1x0xlimОпределение 14.1. Если   0   0 x f ( x )  A   , то говорят, чтосуществует предел функции f (x) при стремлении х к а справа иобозначают это так: xlimf ( x)  A . Аналогично, если   0   0a 0x    x  a  0 f ( x )  A   , то говорят, что существует пределфункции f (x) при стремлении х к а слева и обозначают это так:lim f ( x)  A .x a 0Теорема 14.1. Функция f (x) имеет при x  a предел,равный A, тогда и только тогда, когда он имеет пределы пристремлении х к а справа и слева, причем оба эти предела равныА.Доказательство.

Если limf ( x)  A , то   0   0 x 0  x  a  x af ( x )  A   . Поскольку из неравенств 0  x  a   и    x  a  0 следуетнеравенство 0  x  a   , xlimf ( x)  A и xlimf ( x)  A .a 0 a 0Обратно, xlimf ( x)  A тогда и только тогда, когда   0   1 0a 0x 0  x  a  1 , f ( x )  A   ; lim f ( x)  A тогда и только тогда, когдаx a 0  0   2 x   2  x  a  0 , f ( x )  A   .Положим   min( 1 ,  2 ) . Тогда если 0  x  a   , то либо0  x  a    1 , либо   2    x  a  0 .И в том, и в другом случае f ( x )  A   , т.е. limf ( x)  A .x aЗамечание: разумеется, для пределов справа и слева верны всетеоремы об арифметических свойствах предела и о предельном переходе внеравенствах.65Теорема 14.2.