Методичка (5) (Методические указания)

3.gEOMETRIQw \TOM RAZDELE METODI^ESKOGO POSOBIQ MY OSTANOWIMSQ NA LI[X NEKOTORYH WOPROSAH [KOLXNOGO KURSA GEOMETRII, KOTORYE, NA NA[ WZGLQD, MOGUTBYTX ISPOLXZOWANY PRI IZU^ENII NEKOTORYH RAZDELOW WYS[EJ MATEMATIKI,W ^ASTNOSTI, ANALITI^ESKOJ GEOMETRII.bOLEE PODROBNOE IZLOVENIE WOPROSOW GEOMETRII MOVNO NAJTI, NAPRIMER, W RANEE IZDAWAW[IHSQ KNIGAH a.b. bUDAKA I b.m. }EDRINA PO PODGOTOWKE K USTNOMU WSTUPITELXNOMU \KZAMENU PO MATEMATIKE NA FAKULXTETwmk mgu. pOSLEDNEE IZDANIE BYLO W 2007 G. POD NAZWANIEM "|LEMENTARNAQMATEMATIKA. mETODI^ESKIE UKAZANIQ K OTWETAM NA TEORETI^ESKIE WOPROSYBILETOW USTNOGO \KZAMENA PO MATEMATIKE", m: "makspress" (SM. [1]).w SWQZI S IZLOVENIEM LI[X ^ASTI WOPROSOW GEOMETRII, KOTORYE WYNOSILISX NA USTNYJ WSTUPITELXNYJ \KZAMEN PO MATEMATIKE NA FAKULXTET wmk(DO 2008 G.) WOZMOVNY W OTDELXNYH SLU^AQH SSYLKI NA TEOREMY, IZLOVENNYE W POSOBII POZDNEE, ^EM W TEKU]EM PUNKTE, ILI WOOB]E W POSOBII NEIZLOVENNYE.

oDNAKO \TI TEOREMY W SWOEM DOKAZATELXSTWE NA DANNU@ DOKAZYWAEMU@ TEOREMU ILI KAKIE-LIBO WYWODY IZ NEE NIKAK NE OPIRA@TSQ.sTALO BYTX, OB]AQ LOGI^ESKAQ STRUKTURA OSWE]ENIQ WOPROSOW \LEMENTARNOJ GEOMETRII PRI \TOM NE NARU[ENA.oTMETIM, ^TO L@BOJ POSLEDOWATELXNO IZLAGAEMYJ KURS GEOMETRII DOLVEN STROITXSQ NA BAZE RQDA WWODIMYH PERWI^NYH (NEOPREDELQEMYH) PONQTIJ I AKSIOM.

w KA^ESTWE TAKIH PONQTIJ WYSTUPA@T: TO^KA, PRQMAQ,PLOSKOSTX.3:1. tEOREMY O PERESE^ENII MEDIAN, PERESE^ENII BISSEKTRIS IPERESE^ENII WYSOT TREUGOLXNIKA. nEKOTORYE ANALOGI TEOREMY OPERESE^ENII MEDIAN TREUGOLXNIKA DLQ TREUGOLXNOJ PIRAMIDYsFORMULIRUEM OPREDELENIQ TREUGOLXNIKA (KONTURNOGO I PLOSKOGO KAK^ASTI PLOSKOSTI), SEREDINNOGO PERPENDIKULQRA K OTREZKU, MEDIANY, BISSEKTRISY I WYSOTY TREUGOLXNIKA.pONQTIE PLOSKOGO TREUGOLXNIKA OSNOWYWAETSQ NA UTWERVDENII O TOM,^TO WSQKAQ PRQMAQ, LEVA]AQ W NEKOTOROJ PLOSKOSTI, DELIT EE NA DWE POLUPLOSKOSTI.|TO UTWERVDENIE MOVET WYSTUPATX W KA^ESTWE KAK TEOREMY, TAK I AKSIOMY W ZAWISIMOSTI OT TOGO, KAKAQ IZ SISTEM AKSIOM LEVIT W OSNOWE POSTROENIQ KURSA GEOMETRII.pRI \TOM DWE TO^KI, NE LEVA]IE NA UKAZANNOJ PRQMOJ, S^ITA@TSQ LEVA]IMI W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH (W ODNOJ POLUPLOSKOSTI) OTNOSITELXNO\TOJ PRQMOJ, ESLI OTREZOK S KONCAMI W \TIH TO^KAH IMEET WNUTRENN@@TO^KU, LEVA]U@ NA UKAZANNOJ PRQMOJ, TO ESTX EE PERESEKAET (NE IMEETWNUTRENNIH TO^EK NA \TOJ PRQMOJ, TO ESTX EE NE PERESEKAET).93nAPOMNIM, KAK WWODQTSQ OPREDELENIQ OTREZKA I LU^A, ISPOLXZUEMYE WDALXNEJ[IH RASSUVDENIQH.oTREZKOM PRQMOJ BUDEM NAZYWATX WSQKOE MNOVESTWO TO^EK \TOJ PRQMOJ, SOSTOQ]EE IZ DWUH TO^EK I WSEH TO^EK \TOJ PRQMOJ, LEVA]IH MEVDU*1 \TIMI DWUMQ TO^KAMI.eSLI TO^KI A I B SOWPADA@T (A B ), TO OTREZOK AA ILI BB NAZYWAETSQ NULEWYM, ESLI TO^KI A I B | RAZLI^NYE (A 6 B ), TO OTREZOK AB(OTREZOK PRQMOJ) BUDEM NAZYWATX NENULEWYM.kAVDU@ TO^KU PRQMOJ (AB ), LEVA]U@ MEVDU TO^KAMI A I B , BUDEMNAZYWATX WNUTRENNEJ TO^KOJ OTREZKA AB .

kAVDU@ TO^KU PRQMOJ (AB ),OTLI^NU@ OT TO^KI A I OT TO^KI B I NE LEVA]U@ MEVDU TO^KAMI A IB , BUDEM NAZYWATX WNE[NEJ TO^KOJ OTREZKA AB . sAMI TO^KI A I B ,OPREDELQ@]IE OTREZOK AB , BUDEM NAZYWATX KONCAMI OTREZKA AB (SM.RIS. 3.1).RIS. 3.1nA RIS. 3.1 AB | NENULEWOJ OTREZOK, C | EGO WNUTRENNQQ TO^KA,D | EGO WNE[NQQ TO^KA, EE | NULEWOJ OTREZOK (TO^KA).pONQTIE LU^A OSNOWYWAETSQ NA UTWERVDENII O TOM, ^TO WSQKAQ TO^KA,LEVA]AQ NA NEKOTOROJ PRQMOJ, DELIT EE NA DWE POLUPRQMYE W TOM SMYSLE,^TO WSQKIE DWE TO^KI ODNOJ POLUPRQMOJ (RAZNYH POLUPRQMYH) NE RAZDELQ@TSQ (RAZDELQ@TSQ) UKAZANNOJ TO^KOJ, TO ESTX UKAZANNAQ TO^KA NE LEVIT(LEVIT) MEVDU \TIMI DWUMQ TO^KAMI.

e]E SOOTWETSTWENNO GOWORQT, ^TO DWETO^KI PRQMOJ NE RAZDELQEMYE (RAZDELQEMYE) DANNOJ TO^KOJ PRQMOJ LEVATPO ODNU STORONU (PO RAZNYE STORONY) OTNOSITELXNO \TOJ TO^KI.|TO UTWERVDENIE MOVET WYSTUPATX W KA^ESTWE KAK TEOREMY, TAK I AKSIOMY W ZAWISIMOSTI OT TOGO, KAKAQ IZ SISTEM AKSIOM LEVIT W OSNOWE POSTROENIQ KURSA GEOMETRII.pUSTX NA PRQMOJ a WYBRANY TO^KI O I A (O 6 A).lU^OM (POLUPRQMOJ), OPREDELENNYM UKAZANNYMI TO^KAMI, NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH TO^EK PRQMOJ a, RASPOLOVENNYH WMESTE S TO^KOJ A POODNU STORONU OTNOSITELXNO TO^KI O, WKL@^A@]EE W SEBQ I TO^KU A (OBOZNA^AETSQ OA).

tO^KA O NAZYWAETSQ NA^ALOM LU^A, EE S^ITA@T GRANICEJLU^A, A TAKVE TO^KOJ PRILOVENIQ UKAZANNOGO LU^A.eSLI TO^KU O S^ITATX NE PRINADLEVA]EJ UKAZANNOMU W \TOM OPREDELENII MNOVESTWU, TO TAKOJ LU^ NAZYWA@T OTKRYTYM LU^OM, A ESLI TO^KU OS^ITATX PRINADLEVA]EJ UKAZANNOMU MNOVESTWU, TO TAKOJ LU^ NAZYWA@TZAMKNUTYM LU^OM.1 * "lEVATX MEVDU" WYSTUPAET PRI DANNOJ SHEME IZLOVENIQ GEOMETRII W KA^ESTWEPERWI^NOGO (NE OPREDELQEMOGO) PONQTIQ.94dOGOWORIMSQ, ^TO ESLI RASSMATRIWATX ZAMKNUTYJ LU^, TO \TO BUDETWSEGDA OGOWARIWATXSQ, ESLI RE^X IDET PROSTO O LU^E, TO POD \TIM BUDETPODRAZUMEWATXSQ OTKRYTYJ LU^.oTMETIM, ^TO W OTLI^II OT OTREZKA, W OBOZNA^ENII KOTOROGO NE SU]ESTWENEN PORQDOK EGO KONCOW, W OBOZNA^ENII LU^A DWUMQ BUKWAMI WSEGDANA PERWOE MESTO BUDET STAWITXSQ EGO NA^ALO.RIS.

3.2 ARIS. 3.2 BsFORMULIROWANNOE UTWERVDENIE O RAZDELENII TO^KOJ, LEVA]EJ NA PRQMOJ a, EE NA DWE POLUPRQMYE OZNA^AET, ^TO NA PRQMOJ a OPREDELENY DWALU^A | LU^ OA I LU^ OA0, GDE A0 ; O; A 2 a I O 2 A0 A. pRI \TOM WAVNOOTMETITX, ^TO LU^I OA I OB , GDE O 62 AB TOVDESTWENNY, TO ESTX PREDSTAWLQ@T SOBOJ ODNO I TO VE MNOVESTWO TO^EK NA PRQMOJ a (ODIN I TOT VELU^), LU^I OA0 I OB 0 TAKVE TOVDESTWENNY, GDE O 2 AA0 I O 2 BB 0 (SM.RIS. 3.2 A, 3.2 B).eSLI TO^KI A0 , O, A LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ a I O 2 A0 A, TO LU^I OAI OA0 NAZYWA@TSQ WZAIMNO DOPOLNITELXNYMI, KAVDYJ IZ NIH NAZYWAETSQ DOPOLNITELXNYM PO OTNO[ENI@ K DRUGOMU.eSLI ODIN IZ WZAIMNO DOPOLNITELXNYH LU^EJ OBOZNA^ITX h, TO DRUGOJIZ NIH OBOZNA^AETSQ h (SM.

RIS. 3.2 A).oPREDELENIE 1. tREUGOLXNIKOM NAZYWAETSQ FIGURA, SOSTOQ]AQ IZTREH TO^EK, NE LEVA]IH NA ODNOJ PRQMOJ, I TREH POPARNO SOEDINQ@]IHIH OTREZKOW.uKAZANNYE TO^KI NAZYWA@TSQ WER[INAMI TREUGOLXNIKA, A UKAZANNYE OTREZKI NAZYWA@TSQ STORONAMI TREUGOLXNIKA (SM. RIS. 3.3 A).eSLI, NAPRIMER, OBOZNA^ITX BUKWAMI A, B , C WER[INY TREUGOLXNIKA,TO SAM TREUGOLXNIK OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM 4ABC .gOWORQT, ^TO WER[INA A (STORONA BC ) PROTIWOLEVIT STORONE BC(WER[INE A), ANALOGI^NO PROTIWOLEVA]IMI DRUG DRUGU QWLQ@TSQ WER[INAB I STORONA AC , WER[INA C I STORONA AB .oTMETIM, ^TO WO MNOGIH SLU^AQH PORQDOK WER[IN W TREUGOLXNIKE NEQWLQETSQ SU]ESTWENNYM, PO\TOMU OBOZNA^ENIQ 4ABC , 4BCA, 4CBA IT.P. PREDSTAWLQ@T SOBOJ ODIN I TOT VE TREUGOLXNIK. oDNAKO W TEH SLU^AQH,KOGDA BUDET SU]ESTWENEN PORQDOK WER[IN ILI STORON TREUGOLXNIKA, \TOSPECIALXNO OGOWARIWAETSQ.oPREDELENIE 2.

wNUTRENNEJ TO^KOJ 4ABC (TO^KOJ, LEVA]EJ WNUTRI 4ABC ) NAZYWAETSQ WSQKAQ TO^KA X , KOTORAQ1) LEVIT W TOJ VE POLUPLOSKOSTI (PO ODNU STORONU) OTNOSITELXNOPRQMOJ (AB ), ^TO I TO^KA C ;952) LEVIT W TOJ VE POLUPLOSKOSTI (PO ODNU STORONU) OTNOSITELXNOPRQMOJ (BC ), ^TO I TO^KA A ;3) LEVIT W TOJ VE POLUPLOSKOSTI (PO ODNU STORONU) OTNOSITELXNOPRQMOJ (AC ), ^TO I TO^KA B .oPREDELENIE 20.

wNUTRENNEJ OBLASTX@ TREUGOLXNIKA NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH EGO WNUTRENNIH TO^EK. pRI \TOM SAM TREUGOLXNIK: EGO STORONY (WSE WNUTRENNIE TO^KI EGO STORON) I WER[INY NAZYWA@T GRANICEJWNUTRENNEJ OBLASTI \TOGO TREUGOLXNIKA.RIS. 3.3 ARIS. 3.3 BRIS. 3.3 WsM. RIS. 3.3 B, NA KOTOROM WNUTRENNQQ OBLASTX TREUGOLXNIKA ZA[TRIHOWANA TROJNOJ [TRIHOWKOJ.oPREDELENIE 3. tO^KOJ, LEVA]EJ NA STORONE TREUGOLXNIKA, NAZYWAETSQ WSQKAQ TO^KA Y , QWLQ@]AQSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ \TOJ STORONY.oPREDELENIE 4.

wSQKAQ TO^KA X 0 PLOSKOSTI (ABC ) NAZYWAETSQ WNE[NEJ TO^KOJ 4ABC (TO^KOJ, LEVA]EJ WNE 4ABC ), ESLI ONA NE QWLQETSQEGO WNUTRENNEJ TO^KOJ, NE LEVIT NI NA ODNOJ IZ EGO STORON I NE SOWPADAET NI S ODNOJ IZ EGO WER[IN.oPREDELENIE 5. wSQKIJ TREUGOLXNIK, OB_EDINENNYJ SO SWOEJ WNUTRENNEJ OBLASTX@ (MNOVESTWOM WSEH EGO WNUTRENNIH TO^EK), NAZYWAETSQPLOSKIM TREUGOLXNIKOM.oPREDELENIE 6. wNUTRENNIM UGLOM TREUGOLXNIKA ABC PRI WER[INEA NAZYWAETSQ UGOL \BAC , WNUTRENNQQ OBLASTX KOTOROGO SODERVIT WSEBE WNUTRENN@@ OBLASTX \TOGO TREUGOLXNIKA. aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQWNUTRENNIE UGLY PRI WER[INAH B I C .pRI \TOM POD WNUTRENNEJ OBLASTX@ UGLA (OSTROGO, PRQMOGO, TUPOGO KAKFIGURY, OBRAZOWANNOJ DWUMQ LU^AMI, IME@]IMI OB]EE NA^ALO | SOOTWETSTWENNO STORONAMI I WER[INOJ UGLA) PONIMAETSQ PERESE^ENIE OTKRYTYH*2 POLUPLOSKOSTEJ OTNOSITELXNO PRQMYH, SODERVA]IH STORONY UGLA.o PONQTIQH OSTROGO, PRQMOGO I TUPOGO UGLOW SM.

NIVE W P. 3:2.2*sAMI PRQMYE W POLUPLOSKOSTI NE WKL@^ENY.96uGOL, OB_EDINENNYJ SO SWOEJ WNUTRENNEJ OBLASTX@, NAZYWAETSQ PLOSKIM UGLOM.nA RIS. 3.3 B ILL@STRIRU@TSQ OPRELELENIQ 2 | 5, A NA RIS. 3.3 W ILL@STRIRUETSQ OPRELELENIE 6, WNUTRENNIMI UGLAMI 4ABC BUDUT UGLY: \BAC ,\ABC , \ACB .oPREDELENIE 7. sEREDINNYM PERPENDIKULQROM K OTREZKU NAZYWAETSQ PRQMAQ, PROHODQ]AQ ^EREZ SEREDINU OTREZKA I PERPENDIKULQRNAQ EMU(TO ESTX OBRAZU@]AQ PRQMOJ UGOL S SOVERVA]EJ EGO PRQMOJ).oPREDELENIE 8. mEDIANOJ TREUGOLXNIKA, PROWEDENNOJ IZ DANNOJ WER[INY, NAZYWAETSQ OTREZOK, SOEDINQ@]IJ \TU WER[INU S SEREDINOJ PROTIWOLEVA]EJ EJ STORONY TREUGOLXNIKA.oPREDELENIE 9.

bISSEKTRISOJ TREUGOLXNIKA, PROWEDENNOJ IZ DANNOJWER[INY, NAZYWAETSQ OTREZOK BISSEKTRISY WNUTRENNEGO UGLA TREUGOLXNIKA, SOEDINQ@]IJ \TU WER[INU S TO^KOJ NA PROTIWOLEVA]EJ EJ STORONE.oPREDELENIE 90 . bISSEKTRISOJ UGLA NAZYWETSQ LU^, PROHODQ]IJ WOWNUTRENNEJ OBLASTI UGLA, WER[INA KOTOROGO SOWPADAET S WER[INOJ UGLA,DELQ]IJ SOOTWETSTWU@]IJ PLOSKIJ UGOL NA DWA RAWNYH PLOSKIH UGLA.mOVNO DOKAZATX, ^TO KAVDYJ NENULEWOJ UGOL* 3 IMEET EDINSTWENNU@BISSEKTRISU; KAVDYJ LU^ S WER[INOJ W WER[INE UGLA PROHODIT WO WNUTRENNEJ OBLASTI UGLA (OSTROGO, PRQMOGO, TUPOGO) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDAON IMEET OB]U@ WNUTRENN@@ TO^KU S L@BYM OTREZKOM, KONCY KOTOROGO NESOWPADA@T S WER[INOJ UGLA, A LEVAT: ODIN NA ODNOJ STORONE UGLA, DRUGOJ| NA DRUGOJ EGO STORONE.oPREDELENIE 10.