Методичка (5) (Методические указания), страница 9

pOSKOLXKU OKOLO L@BOJ RAWNOBEDRENNOJ TRAPECII(W SMYSLE OPREDELENIQ 1) MOVNO OPISATX OKRUVNOSTX, A OKOLO PARALLELOGRAMMA, NE QWLQ@]EGOSQ PRQMOUGOLXNIKOM, OPISATX OKRUVNOSTX NELXZQ,TO PO\TOMU W OPREDELENII RAWNOBEDRENNOJ TRAPECII USLOWIE NEPARALLELX-NOSTI ILI PERPENDIKULQRNOSTI HOTQ BY ODNOMU IZ EE OSNOWANIJ BOKOWYHSTORON QWLQETSQ SU]ESTWENYM.3:8. fORMULA DLQ WY^ISLENIQ RASSTOQNIQ MEVDU DWUMQ TO^KAMI NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI. uRAWNENIE OKRUVNOSTIdLQ WYWODA FORMULY RASSTOQNIQ MEVDU TO^KAMI NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI NEOBHODIMO RASSMOTRETX WOPROS I O RASSTOQNII MEVDU TO^KAMI NA^ISLOWOJ OSI (^ISLOWOJ PRQMOJ ILI KOORDINATNOJ PRQMOJ). nAPOMNIM OPREDELENIE ^ISLOWOJ PRQMOJ.oPREDELENIE 1. pUSTX NA NEKOTOROJ PRQMOJ a WYBRANY: TO^KA O |NA^ALO OTS^ETA, MAS[TABNYJ OTREZOK OE , GDE TO^KI O I E RAZLI^NYE,DLINA KOTOROGO S^ITAETSQ RAWNOJ EDINICE (EDINICA IZMERENIQ OTREZKOW), I POLOVITELXNOE (OT TO^KI O K TO^KE E ) I PROTIWOPOLOVNOE EMUOTRICATELXNOE NAPRAWLENIQ.

tOGDA \TU PRQMU@ NAZYWA@T ^ISLOWOJ ILIKOORDINATNOJ PRQMOJ.RIS. 3.24 A134nAPOMNIM TEOREMU OB OBOSNOWANII KOORDINATNOGO METODA NA PRQMOJ.tEOREMA 1. mEVDU MNOVESTWAMI WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL R I WSEHTO^EK ^ISLOWOJ PRQMOJ (OSI) M MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE, PRI^EM ESLI PRQMAQ RASPOLOVENA GORIZONTALXNO, TOIZ DWUH TO^EK M1 I M2 NA \TOJ PRQMOJ LEVA]EJ PRAWEE (LEWEE) SOOTWETSTWUET BOLX[EE (MENX[EE) DEJSTWITELXNOE ^ISLO I NAOBOROT, IZDWUH DEJSTWITELXNYH ^ISEL BOLX[EMU (MENX[EMU) IZ NIH SOOTWETSTWUETTO^KA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ, LEVA]AQ PRAWEE (LEWEE).dEJSTWITELXNOE ^ISLO x, WZAIMNO ODNOZNA^NO SOOTWETSTWU@]EE TO^KE M NA ^ISLOWOJ OSI, NAZYWAETSQ KOORDINATOJ (^ISLOWOJ KOORDINATOJ)\TOJ TO^KI.

oBOZNA^AETSQ M (x). tO^KE O | NA^ALU OTS^ETA SOOTWETSTWUET ^ISLO 0, TO ESTX O(0), TO^KE E SOOTWETSTWUET ^ISLO 1, TO ESTX E (1) (SM.RIS. 3.34 A).pODROBNEE OB \TOJ TEOREME I WSEH FIGURIRU@]IH W NEJ TERMINAH MOVNONAJTI W KNIGE [1].oPREDELENIE 2. rASSTOQNIEM MEVDU DWUMQ TO^KAMI M I N ILI NAPRQMOJ, ILI NA PLOSKOSTI, ILI W PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ DLINA OTREZKA MN , TO ESTX jMN j . oBOZNA^AETSQ RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI M I N(M ; N ).tAKIM OBRAZOM, (M ; N ) df= jMN j I ONO POLOVITELXNO WO WSEH SLU^AQHKROME SLU^AQ SOWPADENIQ TO^EK, KOGDA ONO RAWNO NUL@.oTMETIM, ^TO SPRAWEDLIWA TEOREMA O TOM, ^TO 8a > 0 OT DANNOJ TO^KINA DANNOJ POLUPRQMOJ (TO ESTX NA POLUPRQMOJ S NA^ALOM W DANNOJ TO^KE) MOVNO OTLOVITX EDINSTWENNYJ OTREZOK, DLINA KOTOROGO RAWNA a.

pRI\TOM MOVNO UBEDITXSQ, ^TO ESLI W KA^ESTWE NA^ALXNOJ TO^KI POLUPRQMOJWYSTUPAET NA^ALO OTS^ETA O, IMENNO TO^KA M | M (a), LEVA]AQ PRAWEETO^KI O, TAKOWA, ^TO jOM j = a, I IMENNO TO^KA M 0 | M 0( a), LEVA]AQLEWEE TO^KI O, TAKOWA, ^TO jOM 0j = a. tO^EK M~ NA ^ISLOWOJ OSI, OTLI^NYHKAK OT M , TAK I OT M 0 TAKIH, ^TO jOM~ j = a, NE SU]ESTWUET. sLEDOWATELXNO, ESLI ^ISLO x 2 R QWLQETSQ KOORDINATOJ TO^KI M NA ^ISLOWOJ OSI,TO (O; M ) = jOM j = jxj.

tAKIM OBRAZOM, GEOMETRI^ESKIJ SMYSL MODULQ DEJSTWITELXNOGO ^ISLA x | RASSTOQNIE OT TO^KI M NA ^ISLOWOJ OSI SKOORDINATOJ x DO TO^KI O | NA^ALA OTS^ETA NA \TOJ OSI.tEOREMA 2. pUSTX M1 (x1 ) I M2 (x2 ) | TO^KI NA ^ISLOWOJ OSI SO SWOIMIKOORDINATAMI. tOGDA (M1 ; M2 ) = jM1 M2 j = jx2 x1j.dOKAZATELXSTWOrASSMOTRIM SLEDU@]IE SLU^AI:a) M1 A(a); M2 B (b). sM.

RIS. 3.24 A, GDE TO^KA A LEVIT NE LEWEETO^KI O NA ^ISLOWOJ OSI, TO ESTX ILI A O, ILI A LEVIT PRAWEE O, ATO^KA B LEVIT PRAWEE TO^KI A. w SILU TEOREMY 1: b > a > 0. pRI UKAZAN135NYH USLOWIQH PRI RASPOLOVENII TO^KI A PRAWEE TO^KI O \TA TO^KA BUDETLEVATX MEVDU TO^KAMI O I B , A POTOMU W SILU OPREDELENIJ SUMMY OTREZKOW, DLINY OTREZKA, SWOJSTW DLINY OTREZKA W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE(W TOM ^ISLE I KOGDA A O) OB = OA + AB ) jOB j = jOAj + jAB j ,, jAB j = jOB j jOAj = jbj jaj = b a = jb aj = ja bj.b) M1 M (x); M2 N (y). CM. RIS.

3.24 A, GDE TO^KA N LEVIT NE PRAWEETO^KI O NA ^ISLOWOJ OSI, TO ESTX ILI N O, ILI N LEVIT LEWEE O, A TO^KAM LEVIT LEWEE TO^KI N . w SILU TEOREMY 1: x < y 6 0. pRI UKAZANNYHUSLOWIQH PRI RASPOLOVENII TO^KI N LEWEE TO^KI O \TA TO^KA BUDET LEVATXMEVDU TO^KAMI O I M , A POTOMU ANALOGI^NO SLU^A@ a) W RASSMATRIWAEMOMSLU^AE (W TOM ^ISLE I KOGDA N O) OM = ON + NM ) jOM j = jON j ++jNM j , jNM j = jOM j jON j = jxj jyj = x + y = jy xj = jx yj.w) M1 N (y); M2 A(a).

CM. RIS. 3.24 A, GDE TO^KA N LEVIT LEWEETO^KI O NA ^ISLOWOJ OSI, A TO^KA A LEVIT PRAWEE TO^KI O. w SILU TEOREMY1: y < 0 < a. pRI UKAZANNOM RASPOLOVENII TO^EK N , O I A TO^KA O BUDETLEVATX MEVDU TO^KAMI N I A, A POTOMU NA = NO + OA ) jNAj == jON j + jOAj = jyj + jaj = y + a = ja yj = jy aj.g) M1 M2 , x1 = x2 (W SILU TEOREMY 1). pRI \TOM(M1 ; M2) df= jM1 M2 j df= 0 = jx2 x1 j. tEOREMA 2 POLNOSTX@ DOKAZANA.oPREDELENIE 3. oTREZOK AB NAZYWAETSQ NAPRAWLENNYM, ESLI ON ZA!. wDAN UPORQDO^ENNOJ PAROJ * 9 TO^EK A I B . oBOZNA^AETSQ AB ILI AB\TIH OBOZNA^ENIQH TO^KA A PERWAQ (NA^ALXNAQ), TO^KA B WTORAQ).! (OT(KONE^NAQeSLI TO^KI A I B RAZLI^NYE, TO NAPRAWLENIE WEKTORA ABNA^ALXNOJTO^KI A K KONE^NOJ TO^KE B ) S^ITAETSQ TAKIM, PRI KOTOROM NA WYBRANNOMNAPRAWLENII NA PRQMOJ (AB ) TO^KA A PRED[ESTWUET TO^KE B (PO POWODUPONQTIQ "PRED[ESTWUET" SM.

[1], o11 STR. 158).eSLITO^KI A I B SOWPADA@T (A B ), TO NAPRAWLENNYJ OTREZOK AA! NAZYWAETSQILI AANULEWYM. nAPRAWLENIE NULEWOGO WEKTORA S^ITAETSQNEOPREDELENNYM.!dLQ NULEWYH NAPRAWLENNYH OTREZKOW ISPOLXZU@TSQ OBOZNA^ENIQ 0 ILI 0 .dLQ NAPRAWLENNYH OTREZKOW WWODITSQ PONQTIE DLINY, IME@]EE TAKOJ VESMYSL, ^TO I DLQ OBY^NOGO OTREZKA AB . dLINA NAPRAWLENNOGO OTREZKA OBOZNA^AETSQ jAB j. s U^ETOM TOGO, ^TO DLINA OTREZKA AB OBOZNA^ALASX jAB j,jAB j = jAB j. pO\TOMU DLINA L@BOGO NENULEWOGO NAPRAWLENNOGO OTREZKA |^ISLO POLOVITELXNOE, A DLINA NULEWOGO WEKTORA RAWNA NUL@ (jAAj = 0).9 * pARA TO^EK S^ITAETSQ UPORQDO^ENNOJ, ESLI UKAZANO, KAKAQ IZ NIH | PERWAQ, A KAKAQIZ NIH | WTORAQ.136-RIS.

3.24 BpUSTX NEKOTORYJ NAPRAWLENNYJ OTREZOK M1M2 ILI LEVIT NA ^ISLOWOJOSI, ILI LEVIT NA PRQMOJ, PARALLELXNOJ ^ISLOWOJ OSI. tOGDA x1 I x2 |KOORDINATY TO^EK M1 I M2 SOOTWETSTWENNO (W SLU^AE PRINADLEVNOSTI ^ISLOWOJ OSI OTREZKA M1 M2 ), ILI x1 I x2 | KOORDINATY TO^EK M1x I M2x ,GDE M1x I M2x | OSNOWANIQ PERPENDIKULQROW, PROWEDENNYH IZ TO^EK M1 IM2 (PROEKCIJ TO^EK M1 I M2 ) SOOTWETSTWENNO, NA ^ISLOWU@ OSX.oPREDELENIE 4. wELI^INOJ NAPRAWLENNOGO OTREZKA M1M2 NAZYWAETSQ ^ISLO, RAWNOE x2 x1 , GDE x1 I x2 | KOORDINATY TO^EK NA^ALA I KONCAUKAZANNOGO NAPRAWLENNOGO OTREZKA (ILI IH PROEKCIJ) NA ^ISLOWOJ OSI.wELI^INA NAPRAWLENNOGO OTREZKA M1 M2 OBOZNA^AETSQ M1 M2 , PRI \TOM SU]ESTWENEN PORQDOK TO^EK M1 I M2 (W OTLI^II OT OBY^NOGO OTREZKA M1 M2 ).iZ \TOGO OPREDELENIQ WYTEKAET, ^TO PRI M1 6 M2 M1 M2 = jM1 M2j,ESLI NAPRAWLENIE M1M2 SOWPADAET S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM ^ISLOWOJ OSI (TO ESTX TO^KA M1 ILI EE PROEKCIQ PRED[ESTWUET TO^KE M2ILI EE PROEKCII NA ^ISLOWU@ OSX), I M1 M2 = jM1 M2 j, ESLI NAPRAWLENIEM1 M2 PROTIWOPOLOVNO POLOVITELXNOMU NAPRAWLENI@ (SOWPADAET S OTRICATELXNYM NAPRAWLENIEM) ^ISLOWOJ OSI (TO ESTX TO^KA M2 ILI EE PROEKCIQ PRED[ESTWUET TO^KE M1 ILI EE PROEKCII NA ^ISLOWU@ OSX).

eSLIM1 M2 , x1 = x2 (M1 M2 | NULEWOJ), TO EGO WELI^INA RAWNA NUL@(M1 M1 = M2 M2 = 0). eSLI IZMENITX PORQDOK KONCOW NAPRAWLENNOGO OTREZKA, TO EGO DLINA NE IZMENITSQ, A WELI^INA IZMENIT ZNAK NA PROTIWOPOLOVNYJ M1 M2 = M2 M1 ; jM1M2 j = jM2M1 j.wY[E, NA RIS. 3.24 B AB = jAB j = jb aj = b a;MN = jMN j = jy xj = (y x) = x y; OE = jOE j = 1 0 = 1.oPREDELENIE 5. eSLI NA NEKOTOROJ PLOSKOSTI ZADANY DWE WZAIMNOPERPENDIKULQRNYE ^ISLOWYE PRQMYE S OB]IM NA^ALOM OTS^ETA (TO^KOJO IH PERESE^ENIQ), RAWNYMI NA \TIH OSQH EDINICAMI IZMERENIQ OTREZKOW (TO ESTX EDINYM MAS[TABOM NA WSEJ PLOSKOSTI), TO GOWORQT, ^TONA \TOJ PLOSKOSTI ZADANA DEKARTOWA PRQMOUGOLXNAQ SISTEMA KOORDINAT, \TA PLOSKOSTX NAZYWAETSQ KOORDINATNOJ PLOSKOSTX@, A \TIOSI NAZYWA@TSQ KOORDINATNYMI OSQMI, TO^KA O NAZYWAETSQ NA^ALOMKOORDINAT.eSLI ODNA IZ \TIH OSEJ RASPOLOVENA GORIZONTALXNO | OSX ABSCISS, ADRUGAQ | WERTIKALXNO | OSX ORDINAT, TO POLOVITELXNOE (OTRICATELXNOE)137NAPRAWLENIQ NA NIH WYBRANY SOOTWETSTWENNO WPRAWO (WLEWO) I WWERH (WNIZ)OT TO^KI O.

oSX ABSCISS OBOZNA^AETSQ Ox, OSX ORDINAT OBOZNA^AETSQ Oy,KOORDINATNAQ PLOSKOSTX OBOZNA^AETSQ Oxy.tEOREMA 3. mEVDU MNOVESTWAMI WSEH TO^EK M KOORDINATNOJ PLOSKOSTI I WSEH UPORQDO^ENNYH PAR DEJSTWITELXNYH ^ISEL (x; y) MOVNOUSTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE.sHEMU DOKAZATELXSTWA \TOJ TEOREMY SM. [1], STR. 304 | 306. uPORQDO^ENNU@ PARU ^ISEL (x; y), GDE x; y 2 R NAZYWA@T KOORDINATAMI TO^KI MNA PLOSKOSTI, OBOZNA^A@T M (x; y), x | ABSCISSA TO^KI M , y | ORDINATATO^KI M . tO^KA O | NA^ALO KOORDINAT IMEET KOORDINATY RAWNYE NUL@,TO ESTX O(0; 0) (SM. RIS.