Методичка (5) (Методические указания), страница 5

3.14 WpUSTX W 4ABC SLU^AEW. oTMETIM, ^TONA RIS. 3.14 A, B, W, G, D OBOZNA^ENIQ a; b; c; a0 ; b0 ; c0 ; h OZNA^A@T DLINYSOOTWETSTWU@]IH OTREZKOW.sM. RIS. 3.14 A. \C I \B | OSTRYE, TOGDA OSNOWANIE WYSOTY AD4ABC , PROWEDENNOJ IZ WER[INY A NA PRQMU@ (CB ), LEVIT NA STORONECB . |TO DOKAZYWAETSQ TO^NO TAKVE, KAK I TEOREMA 1 W P. 3:2. iZ PRQMOUGOLXNOGO 4ADB PO TEOREME pIFAGORA h2 = c2 (c0 )2 , A TAK KAK TO^KA DLEVIT MEVDU TO^KAMI B I C , TO c0 = a b0 . s DRUGOJ STORONY, IZ PRQMOUGOLXNOGO 4ACD PO TEOREME pIFAGORA h2 = b2 (b0 )2 I PO OPREDELENI@KOSINUSA WELI^INY OSTROGO UGLA b0 = b cos . sLEDOWATELXNO,c2 (a b0 )2 = b2 (b0 )2 , c2 a2 + 2ab0 (b0)2 = b2 (b0 )2 ,, c2 = a2 + b2 2ab0 = a2 + b2 2ab cos .sM.

RIS. 3.14 B. \C | OSTRYJ, \B | TUPOJ, TOGDA SMEVNYJ S NIM\ABD | OSTRYJ. w SILU TEOREMY 1 P. 3:2 OSNOWANIE D WYSOTY AD 4ABCI 4ABD, PROWEDENNOJ IZ WER[INY A NA PRQMU@ (CB ), LEVIT NA LU^E BD,DOPOLNITELXNOM LU^U BC . sLEDOWATELXNO, TO^KA B LEVIT MEVDU TO^KAMIC I D. iZ PRQMOUGOLXNOGO 4ACD PO TEOREME pIFAGORA h2 == b2 (b0)2 , A TAK KAK TO^KA B LEVIT MEVDU TO^KAMI C I D, TO c0 = b0 a.pO OPREDELENI@ KOSINUSA WELI^INY OSTROGO UGLA b0 = b cos . s DRUGOJSTORONY, IZ PRQMOUGOLXNOGO 4ABD PO TEOREME pIFAGORA h2 = c2 (c0 )2 .112sLEDOWATELXNO, b2 (b0 )2 = c2 (c0 )2 , c2 = (c0 )2 + b2 (b0)2 ,, c2 = (b0 a)2 + b2 (b0 )2 = (b0)2 + a2 2ab0 + b2 (b0 )2 ,, c2 = a2 + b2 2ab cos .sM. NIVE RIS.

3.14 G. \C | OSTRYJ, \B | PRQMOJ, TOGDA PO OPREDELENI@ KOSINUSA WELI^INY OSTROGO UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA I TEOREME pIFAGORA a = b cos I c2 = b2 a2 = b2 + a2 2a2 = a2 + b2 2ab cos .sM. WY[E RIS. 3.14 W. \C | TUPOJ, TOGDA SMEVNYJ S NIM \BCD |OSTRYJ I \A | OSTRYJ. w SILU TEOREMY 1 P. 3:2 OSNOWANIE D WYSOTY BD4ABC I 4CBD, PROWEDENNOJ IZ WER[INY B NA PRQMU@ (AC ), LEVIT NALU^E CD, DOPOLNITELXNOM LU^U CA.

sLEDOWATELXNO, TO^KA C LEVIT MEVDUTO^KAMI A I D. iZ PRQMOUGOLXNOGO 4CBD PO TEOREME pIFAGORA h2 == a2 (a0 )2 , A TAK KAK TO^KA C LEVIT MEVDU TO^KAMI A I D, TO c0 == a0 + b. pO OPREDELENI@ KOSINUSA WELI^INY OSTROGO UGLA I SOOTNO[ENI@MEVDU KOSINUSAMI WELI^IN SMEVNYH UGLOW a0 = a cos(180 ) == a cos = a cos . s DRUGOJ STORONY, IZ PRQMOUGOLXNOGO 4ABD POTEOREME pIFAGORA h2 = c2 (c0)2 . sLEDOWATELXNO, a2 (a0)2 = c2 (c0 )2 ,, c2 = (c0 )2 + a2 (a0)2 , c2 = (a0 + b)2 + a2 (a0 )2 == (a0 )2 + 2a0 b + b2 + a2 (a0)2 , c2 = a2 + b2 2ab cos .sM. RIS.

3.14 D. \C | PRQMOJ, PO TEOREME pIFAGORA c2 = a2 + b2. tAKKAK cos = 0 ( = Cb = 90), TO RAWENSTWO c2 = a2 + b2 2ab cos BUDETSPRAWEDLIWO I W \TOM SLU^AE. tEOREMA KOSINUSOW POLNOSTX@ DOKAZANA.sLEDSTWIE 1. s POMO]X@ TEOREMY KOSINUSOW MOVNO DOKAZATX SWOJSTWO6 PARALLELOGRAMMA (SM. NIVE P. 3:6) sUMMA KWADRATOW DLIN DIAGONALEJPARALLELOGRAMMA RAWNA SUMME KWADRATOW DLIN EGO STORON.RIS. 3.14 GRIS.

3.14 DdOKAZATELXSTWORIS. 3.14 EsM. RIS. 3.14 E. w SILU SWOJSTW PARALLELOGRAMMA (SM. TEOREMU 4 P. 3:7)bA + Bb = 180, jADj = jBC j; jAB j = jCDj. pO TEOREME KOSINUSOW DLQTREUGOLXNIKOW ABC I ABDjAC j2 = jAB j2 + jBC j2 2jAB j jBC j cos(Bb );jBDj2 = jAB j2 + jADj2 2jAB j jADj cos(Ab):sKLADYWAQ PO^LENNO \TI RAWENSTWA, S U^ETOM jADj = jBC j; jAB j = jCDj Ib) = cos(Ab) POLU^IM: jAC j2 + jBDj2 = jAB j2 + jAB j2 + jBC j2 + jADj2 =cos(B= jAB j2 + jCDj2 + jBC j2 + jADj2 . sLEDSTWIE 1 DOKAZANO.sLEDSTWIE 2. iMEET MESTO FORMULA DLQ WY^ISLENIQ DLINY MEDIANY113TREUGOLXNIKA, WYRAVENNOJ ^EREZ DLINY EGO STORON (SM.

RIS. 3.14 Z NA PRIMERE WY^ISLENIE DLINY MEDIANYp TREUGOLXNIKA, PROWEDENNOJ K EGO STORONE22 2DLINY b)mb = 2a +22c b :|TO RAWENSTWO POLU^AETSQ, ESLI DOSTROITX TREUGOLXNIK NA UKAZANNOMRIS. DO PARALLELOGRAMMA, DIAGONALQMI KOTOROGO BUDUT STORONA AC S DLINOJ b I UDWOENNAQ MEDIANA \TOGO TREUGOLXNIKA, DLINA KOTOROJ BUDET 2mb ,IZ RAWENSTWA (2mb )2 + b2 = 2a2 + 2c2.RIS. 3.14 VRIS. 3.14 ZnA OSNOWE TEOREMY KOSINUSOW DOKAVEM FORMULU, WYRAVA@]U@ DLINUBISSEKTRISY UGLA W TREUGOLXNIKE ^EREZ DLINY EGO STORON (SM. RIS. 3.14 V).nA \TOM RIS a; c; ba ; bc ; b = ba + bc | DLINY SOOTWETSTWU@]IH STORON4ABC; 4ABB1 I 4CBB1 , lb | DLINA MEDIANY 4ABC , PROWEDENNOJ IZWER[INY B :lb2 = ac ba bc.dOKAZATELXSTWO.

iZ TEOREMYDLQ 4ABB1 I 4CBB1 SLEDUET 2 2KOSINUSOW2bc = c + lb 2lb c cos ;b2a = a2 + lb2 2lb a cos :uMNOVAQ PERWOE RAWENSTWONA a, WTOROE NA b I ZATEM WY^ITAQ IZ PERWOGORAWENSTWA WTOROE, POLU^AEM b2c a b2a c = ac2 a2 c lb2 (c a). u^ITYWAQ, ^TOW SILU SWOJSTWA BISSEKTRISY UGLA TREUGOLXNIKA (SM.

P. 3:3) bc a = ba c,OTKUDA lb2 (a c) = (ac ba bc)(a c). eSLI a 6= c, TO, DELQ POSLEDNEE RAWENSTWONA a c, IMEEM lb2 = ac ba bc, ESLI VE a = c, TO ba = bc = b=2, I POTOMUlb2 = a2 b2=4 = ac babc , ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.iZ POLU^ENNOGO SOOTNO[ENIQ, PRIMENENNOGO K DLINE BISSEKTRISY la TREUGOLXNIKA ABC (SM. RIS. 3.14 Z), POLU^AEM S U^ETOM WYRAVENIJ DLQ DLINOTREZKOW jBE j = ca = b acI jEC j = cb = b abSLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ+c" p+ c2#la :la2 = bc 1 b +a cILI la = bc(b + c b +a)(c b + c + a) .pRIMENQQ TEOREMU KOSINUSOW, MOVNO WYWESTI FORMULU gERONA WYRAVENIQ PLO]ADI TREUGOLXNIKA ^EREZ DLINY EGO STORON. pRI \TOM MY, U^ITYWAQ, ^TO | WELI^INA UGLA TREUGOLXNIKA, STALO BYTX, 0 < < 180,A POTOMU sin > 0, ISPOLXZUEM SOOTNO[ENIEp , WYTEKA@]EE IZ OSNOWNOGOTRIGONOMETRI^ESKOGO TOVDESTWA sin = + 1 cos2 .

sM. RIS. 3.14 Z.114pp = bc 1 cos2 = bc 1 (b2 + c2 a2 )2=4b2c2 =S4ABC = bc sin2p 2 2 2 2 2 2 2 2p4b c(b + ca)(2bc b2 c2 + a2)(2bc + b2 + c2 a2 )===44pp 2222(a(b c) )((b + c)a ) = (a + c b)(a + b c)(b + c a)(a + b + c) .=44pOPUTNO MY POLU^AEM WYRAVENIE DLQ DLINY WYSOTY TREUGOLXNIKA ABC ,PROWEDENNOJ IZ EGO WER[INY Bp K EGO PROTIWOLEVA]EJ STORONE DLINY bhb = 2S4bABC , OTKUDA hb = (a + c b)(a + b 2cb)(b + c a)(a + b + c) .wWEDEM OBOZNA^ENIQ: P = a + b + c | PERIMETR TREUGOLXNIKA (SUMMADLIN EGO STORON), p = a + 2b + c | POLUPERIMETR TREUGOLXNIKA, TOGDAa + b c = a + b + c 2c = 2p 2c = 2(p c), ANALOGI^NO a + c b == 2(p b), b + c a = 2(p a), a + b + c = 2p. pODSTAWLQQ IH W POLU^ENNU@WY[E FORMULU DLQ PLO]ADI TREUGOLXNIKA ABC , POLU^AEM FORMULU gERONAPLO]ADI TREUGOLXNIKA, WYRAVENNU@p ^EREZ DLINY EGO STORONS4 ABC = p(p a)(p b)(p c),GDE p | POLUPERIMETR \TOGO TREUGOLXNIKA.pRI \TOM SLEDUET OTMETITX, ^TO W SILU NERAWENSTWA TREUGOLXNIKAa + b > c; a + c > b; b + c > a, OTKUDA p a > 0; p b > 0; p c > 0.zAME^ANIE.

wY[E, W P. 3:2 OTME^ALOSX, ^TO SPRAWEDLIWOSTX OBRATNOJTEOREMY pIFAGORA MOVNO POLU^ITX I IZ TEOREMY KOSINUSOW. |TO POLU^AETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: ESLI a, b, c | DLINY STORON TREUGOLXNIKA, I | WELI^INA UGLA MEVDU STORONAMI DLIN a, b (ILI UGLA, PROTIWOLEVA]EGO STORONE S DLINOJ c), TO PO TEOREME KOSINUSOW DLQ \TOGO TREUGOLXNIKAc2 = a2 + b2 2ab cos I RAWENSTWA c2 = a2 + b2 POLU^AEM, ^TO TAK KAK a > 0I b > 0 cos = 0.

sLEDOWATELXNO, = 90 , A POTOMU UGOL MEVDU STORONAMIDLIN a, b | PRQMOJ, SLEDOWATELXNO TREUGOLXNIK | PRQMOUGOLXNYJ.tEOREMA 2 (SINUSOW). sTORONY TREUGOLXNIKA PROPORCIONALXNY SINUSAM WELI^IN PROTIWOLEVA]IH UGLOW, PRI^EM OTNO[ENIE DLINY STORONYTREUGOLXNIKA K SINUSU WELI^INY PROTIWOLEVA]EGO EJ UGLA ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ, RAWNAQ DLINE DIAMETRA OPISANNOJ OKOLO TREUGOLXNIKA OKRUVNOSTI, TO ESTX ESLI a; b; c | DLINY STORON TREUGOLXNIKA,; ; | WELI^INY PROTIWOLEVA]IH IM UGLOW, TOasin =bsin =csin = 2R,GDE R | RADIUS (DLINA RADIUSA) OPISANNOJ OKOLO TREUGOLXNIKA OKRUVNOSTI.115dOKAZATELXSTWORIS. 3.15 ARIS. 3.15 BRIS.

3.15 WoPI[EM OKRUVNOSTX OKOLO TREUGOLXNIKA ABC OKRUVNOSTX (O; R)(O | CENTR OKRUVNOSTI, R > 0 | EE RADIUS). tOGDA WSE WNUTRENNIE UGLY4ABC STANOWQTSQ WPISANNYMI W \TU OKRUVNOSTX UGLAMI.nAPOMNIM, ^TO UGLOM, WPISANNYM W OKRUVNOSTX, NAZYWAETSQ UGOL, WER[INA KOTOROGO LEVIT NA \TOJ OKRUVNOSTI, A EGO STORONY PERESEKA@TOKRUVNOSTX (STALO BYTX, IME@T S OKRUVNOSTX@ KROME WER[INY E]E POODNOJ OB]EJ TO^KE).

|TOT UGOL IZMERQETSQ POLOWINOJ DUGI OKRUVNOSTI, NAKOTORU@ ON OPIRAETSQ. |TO OZNA^AET, ^TO MERA WPISANNOGO UGLA (GRADUSNAQ,RADIANNAQ) RAWNA POLOWINE MERY (SOOTWETSTWENNO GRADUSNOJ, RADIANNOJ)DUGI, WNUTRENNIE TO^KI KOTOROJ LEVAT WO WNUTRENNEJ \TOGO OBLASTI UGLA,A KONCY \TOJ DUGI LEVAT NA STORONAH UGLA.rASSMOTRIM SLU^AI.\BAC | OSTRYJ (SM. RIS. 3.15 A), TOGDA DUGA ^ BmC , NA KOTORU@OPIRAETSQ UGOL \BAC , MENX[E POLUOKRUVNOSTI, SLEDOWATELXNO, CENTR OI WER[INA A LEVAT W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (BC ).pO\TOMU, ESLI PROWESTI DIAMETR BA1 , TO WSE EGO TO^KI (KROME TO^KI B ),W TOM ^ISLE I KONEC A1 OKAVUTSQ W TOJ VE POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNOPRQMOJ (BC ), ^TO I TO^KA A, STALO BYTX, TO^KI A I A1 BUDUT WNUTRENNIMI TO^KAMI ODNOJ DUGI ^ BnC , DOPOLNITELXNOJ PO OTNO[ENI@ K DUGE^ CmB . tAKIM OBRAZOM, \BAC I \BA1 C | WPISANNYE W OKRUVNOSTX UGLY, OPIRA@]IESQ NA ODNU DUGU ^ BmC , A POTOMU \BAC = \BA1 C , OTKUDAB A1 C = B AC = .

w TREUGOLXNIKE BA1 C \A1 CB PRQMOJ, TAK KAK OPIRAETSQ NA DIAMETR BA1 . sOGLASNO OPREDELENI@ SINUSA WELI^INY OSTROGOUGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA a = jBC j = jBA1 j sin = 2R sin .\BAC | TUPOJ (SM. RIS. 3.15 B), TOGDA DUGA ^ BmC , NA KOTORU@ OPIRAETSQ UGOL \BAC , BOLX[E POLUOKRUVNOSTI, SLEDOWATELXNO, CENTR O IWER[INA A LEVAT W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (BC ).pO\TOMU, ESLI PROWESTI DIAMETR BA1 , TO WSE EGO TO^KI (KROME TO^KI B ), WTOM ^ISLE I KONEC A1 OKAVUTSQ W TOJ VE POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (BC ), ^TO I CENTR O, STALO BYTX, TO^KI A I A1 BUDUT WNUTRENNIMITO^KAMI WZAIMNO DOPOLNITELXNYH DUG ^ CmB I ^ CnB . tAKIM OBRAZOM,\BAC I \BA1 C | WPISANNYE W OKRUVNOSTX UGLY, OPIRA@]IESQ NA WZA-\\116\\IMNO DOPOLNITELXNYE DUGI ^ BmC I ^ BnC , A POTOMU ESLI B AC = ,TO B A1 C = 180 . w TREUGOLXNIKE BA1 C \A1 CB PRQMOJ, TAK KAKOPIRAETSQ NA DIAMETR BA1 .

sOGLASNO OPREDELENI@ SINUSA WELI^INY OSTROGO UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA I RAWENSTWU sin(180 ) = sin a = jBC j = jBA1 j sin(180 ) = 2R sin .eSLI \BAC | PRQMOJ (SM. RIS. 3.15 W), TO BC | DIAMETR OPISANNOJOKRUVNOSTI, B AC = = 90 . tAK KAK jBC j = a = 2R I sin 90 = 1 TORAWENSTWO a = jBC j = 2R sin WERNO I W \TOM SLU^AE.rAWENSTWA b = jAC j = 2R sin ; c = jAB j = 2R sin DOKAZYWA@TSQANALOGI^NO. tEOREMA SINUSOW DOKAZANA.zAME^ANIE. nA OSNOWE TEOREMY SINUSOW MOVNO DOKAZATX, ^TO W TREUGOLXNIKE PROTIW BOLX[EJ (MENX[EJ) STORONY LEVIT BOLX[IJ (MENX[IJ) UGOL,OTKUDA, W ^ASTNOSTI, WYTEKAET, ^TO W PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE GIPOTENUZA | NAIBOLX[AQ STORONA, A W TUPOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE NAIBOLX[AQSTORONA LEVIT PROTIW TUPOGO UGLA. oB \TOM SM.