Методичка (5) (Методические указания), страница 10

3.25 A). kOORDINATY TO^KI M (x; y) | KOORDINATYEE PROEKCIJ NA OSI ABSCISS Mx (x) I NA OSI ORDINAT My (y) SOOTWETSTWENNO(SM. RIS. 3.25 A). oTMETIM, ^TO DWE UPORQDO^ENNYE PARY ^ISEL (x1 ; y1) I(x2 ; y2) S^ITA@TSQ SOWPADA@]IMI (RAZLI^NYMI), ESLI x = x ; (x x )2 + x 6= x ;12 , 2112 , (x2 x1 )2 +:y1 = y2+(y2 y1 )2 = 0y1 =6 y2+(y2 y1 )2 > 0RIS.

3.25 AtEOREMA 4. pUSTXRIS. 3.25 BRIS. 3.25 WM1 | M1 (x1 ; yp1) ; M2 | M2 (x2; y2 ), TOGDAjM1 M2 j = (M1 ; M2) = (x2 x1)2 + (y2 y1 )2 :dOKAZATELXSTWOpUSTX TO^KI M1 I M2 RAZLI^NYE. rASSMOTRIM SLEDU@]IE SLU^AI.a) (M1 M2 ) k Ox ILI (M1 M2 ) 2 Ox, TOGDA TAK KAK Ox ? Oy, TO W SILUSLEDSTWIQ IZ TEOREMY 4 P. 3:5 (M1 M2 ) ? Oy. pUSTX M0 (y0 ) (M1 M2 ) \ Oy, M0 | SOWPADA@]IE PROEKCII TO^EK M1 I M2 NA OSX Oy,PO\TOMU ORDINATY TO^EK M1 I M2 RAWNY, y1 = y2 = y0 ) y2 y1 = 0(SM. RIS. 3.25 B).

eSLI OTREZOK M1 M2 2 Ox, TO W SILU TEOREMY 2 O RASSTOQNII MEVDU DWUMQ TO^KAMI NA ^ISLOWOJ PRQMOJ jM1M2 j = jx2 x1j.eSLI OTREZOK M1 M2 2= Ox, TO ESLI OPUSTITX IH \TIH TO^EK PERPENDIKULQRY NA OSX Ox, M1x I M2x | OSNOWANIQ \TIH PERPENDIKULQROW, MY POLU^IM PRQMOUGOLXNIK M1x M1 M2 M2x, U KOTOROGO (PO SOOTWETSTWU@]EMUSWOJSTWU) STORONY M1x M2x I M1 M2 RAWNY, OTKUDA I W SILU TEOREMY 2jM1 M2j = jM1x M2xj = jx2 x1j.

sLEDOWATELXNO, W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE:138pp(M1 ; M2) = jM1M2 j = jx2 x1j = (x2 x1)2 = (x2 x1)2 + 02 =p= (x2 x1)2 + (y2 y1 )2 :b) (M1 M2 ) k Oy ILI (M1 M2 ) 2 Oy, TOGDA TAK KAK Ox ? Oy, TO W SILUSLEDSTWIQ IZ TEOREMY 4 P. 3:5 (M1 M2 ) ? Ox. pUSTX M0 (x0 ) (M1 M2 ) \ Ox, M0 | SOWPADA@]IE PROEKCII TO^EK M1 I M2 NA OSX Ox,PO\TOMU ABSCISSY TO^EK M1 I M2 RAWNY, x1 = x2 = x0 ) x2 x1 = 0 (SM.RIS. 3.25 W). eSLI OTREZOK M1 M2 2 Oy, TO W SILU TEOREMY 2 O RASSTOQNIIMEVDU DWUMQ TO^KAMI NA ^ISLOWOJ PRQMOJ jM1M2 j = jy2 y1 j. eSLI OTREZOK M1 M2 2= Oy, TO, OPUSKAQ IH \TIH TO^EK PERPENDIKULQRY NA OSX Oy,M1y I M2y | OSNOWANIQ \TIH PERPENDIKULQROW, MY POLU^IM PRQMOUGOLXNIK M1y M1 M2 M2y , U KOTOROGO (PO SOOTWETSTWU@]EMU SWOJSTWU) STORONYM1y M2y I M1 M2 RAWNY, OTKUDA I W SILU TEOREMY 2: jM1M2 j = jM1y M2y j == jy2 y1 j.

sLEDOWATELXNO, W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE:pp(M1 ; M2 ) = jM1 M2j = jy2 y1 j = (y2 y1 )2 = 02 + (y2 y1 )2 =p= (x2 x1)2 + (y2 y1 )2 :RIS. 3.25 GRIS. 3.25 Dw) (M1 M2 ) 6k Ox I (M1 M2 ) 6k Oy (SM. RIS. 3.25 G). ~EREZ TO^KU M1PROWEDEM PRQMU@ `1 k Ox (ESLI M1 2 Ox, TO `1 Ox), ^EREZ TO^KU M2PROWEDEM PRQMU@ `2 k Oy (ESLI M2 2 Oy, TO `2 Oy). tAK KAK `1 k OxILI `1 Ox, TO W SILU Ox ? Oy I SLEDSTWIQ IZ TEOREMY 4 P. 3:5 `1 ? Oy,A TAK KAK `2 k Oy ILI `2 Oy, TO W SILU TOGO VE SLEDSTWIQ `1 ? `2 .sLEDOWATELXNO, PRQMYE `1 I `2 PERESEKUTSQ W NEKOTOROJ TO^KE N . |TA TO^KAN OTLI^NA KAK OT TO^KI M1 , TAK I OT TO^KI M2 . pREDPOLAGAQ PROTIWNOE,^TO, NAPRIMER, N M1 POSKOLXKU N 2 `2 , TO I M1 2 `2 .

a TAK KAK M2 2 `2I M1 6 M2 , TO `2 (M1 M2 ). pOSLEDNEE OBSTOQTELXSTWO OZNA^AET, ^TO(M1 M2 ) k Oy, ^TO PROTIWORE^IT RASSMATRIWAEMOMU SLU^A@. aNALOGI^NOUSTANAWLIWAETSQ NEWOZMOVNOSTX SOWPADENIQ TO^EK M2 I N . pUSTX N |N (x0 ; y0). tAK KAK (M1 N ) k Ox, TO SOGLASNO SLU^A@ a) y0 = y1 , A TAK KAK(M2 N ) k Oy, TO SOGLASNO SLU^A@ b) x0 = x2, SLEDOWATELXNO, N | N (x2; y1 ).iZ USLOWIJ N 6 M1 I N 6 M2 SOOTWETSTWENNO WYTEKAET, ^TO139x1 6= x2 ;y1 6= y1 , x1 6= x2 Ix2 6= x2 ;y1 6= y2 , y1 6= y2 :tAKIM OBRAZOM, POPUTNO USTANOWLENO, ^TO IZ USLOWIJM1 (x1 ; y1) 6 M2 (x2 ; y2) I M1 M2 6k Ox, M1 M2 6k Oy, WYTEKAET, ^TO x 6= x ;12y1 6= y2 :oTMETIM, ^TO (M1 M2 ) k Ox(Oy) , y2 = y1 (x1 = x2), OTKUDA WYTEKAETOBRATNOE K SFORMULIROWANNOMUUTWERVDENIE x 6= x ; PERED\TIM12 ) M1 M2 6k Ox;y1 6= y2M1 M2 6k Oy :4M1 NM2 | PRQMOUGOLXNYJ, TAK KAK (M1 N ) ? (NM2 ), PO DOKAZANNOMU WSLU^AQH a) I b) jM1 N j = jx2 x1j; jNM2j = jy2 y1 j, SLEDOWATELXNO POTEOREME pIFAGORA DLQ 4pM1 NM2 I W SLU^AE w)pPOLU^AEM, ^TO(M1 ; M2) = jM1 M2 j = jM1 N j2 + jNM2 j2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 :oSTALOSX RASSMOTRETX POSLEDNIJ, PROSTEJ[IJ SLU^AJ, KOGDA M1 M2 .w SILU TEOREMY 3 \TO OZNA^AET, ^TO KOORDINATY \TIH TO^EK SOWPADA@T,TO ESTX x1 = x2 , (x2 x1) = 0 I y1 = y2 , (y2 y1 ) = 0.

tAK KAK POOPREDELENI@ W \TOM SLU^AE (pM1 ; Mp2) = jM1M2pj = 0, TO(M1 ; M2) = jM1M2 j = 0 = 0 = 02 + 02 = (x2 x1)2 + (y2 y1 )2 :tEOREMA 4 POLNOSTX@ DOKAZANA.uRAWNENIE OKRUVNOSTI. sFORMULIRUEM (E]E RAZ) OPREDELENIE OKRUVNOSTI.oPREDELENIE 6. oKRUVNOSTX@ NAZYWAETSQ FIGURA, SOSTOQ]AQ IZ WSEHTO^EK PLOSKOSTI, RASPOLOVENNYH NA RAWNOM POLOVITELXNOM RASSTOQNII OT NEKOTOROJ FIKSIROWANNOJ TO^KI \TOJ PLOSKOSTI. uKAZANNAQTO^KA NAZYWAETSQ CENTROM OKRUVNOSTI.rADIUSOM OKRUVNOSTI NAZYWAETSQ L@BOJ OTREZOK, SOEDINQ@]IJ TO^KU OKRUVNOSTI S EE CENTROM, A TAKVE RADIUSOM NAZYWAETSQ RASSTOQNIE (DLINA OTREZKA) OT L@BOJ TO^KI OKRUVNOSTI DO EE CENTRA.zAME^ANIE.

tREBOWANIE POLOVITELXNOSTI RASSTOQNIQ W OPREDELENII 6WYZWANO TEM, ^TO ESLI BY \TO RASSTOQNIE RAWNQLOSX NUL@ (A \TO WOZMOVNOMEVDU SOWPADA@]IMI TO^KAMI), TO TOGDA OKRUVNOSTX@ (S NULEWYM RADIUSOM) MOGLA BYTX I WSEGO ODNA TO^KA. tRADICIONNO ODNU TO^KU NE PRINQTOS^ITATX OKRUVNOSTX@.w SILU DOKAZANNOJ TEOREMY 4 O RASSTOQNII MEVDU DWUMQ TO^KAMI NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI I OPREDELENIQ 6 TO^KA M (x; y) PRINADLEVIT OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE M0 (x0; y0 ) RADIUSA R > 0 TOGDA I TOLXKO TOGDA,KOGDA (M ; M0 ) = R ILI (x x0)2 + (y y0 )2 = R2. sLEDOWATELXNO, URAW140NENIE OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE M0 (x0 ; y0) RADIUSA R > 0 IMEET WIDWY[E RIS.

57 D) (x x0 )2 + (y y0 )2 = R2.eSLI M0 | O(0; 0), TO ESTX x0 = y0 = 0, TO SLEDOWATELXNO, x2 + y2 = R2| URAWNENIE OKRUVNOSTI RADIUSA R S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT.(SM.3:9. pRIZNAK PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ I PLOSKOSTI. tEOREMA OB OB]EM PERPENDIKULQRE K DWUM SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM.tEOREMA O TREH PERPENDIKULQRAHw SLU^AE PROSTRANSTWA KROME SITUACII, KOGDA DWE PRQMYE NAHODQTSQ WODNOJ PLOSKOSTI I NE IME@T OB]IH TO^EK (TO ESTX PARALLELXNY), WOZMOVNOI TAKOE RASPOLOVENIE PRQMYH, KOGDA ONI NE LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI.oPREDELENIE 1. pRQMYE W PROSTRANSTWE, KOTORYE NE LEVAT W ODNOJPLOSKOSTI, NAZYWA@TSQ SKRE]IWA@]IMISQ.RIS.

3.26 ARIS. 3.26 BRIS. 3.26 WtEOREMA 1 (O SU]ESTWOWANII SKRE]IWA@]IHSQ PRQMYH). eSLI ODNA IZDWUH PRQMYH LEVIT W NEKOTOROJ PLOSKOSTI, A DRUGAQ IZ \TIH PRQMYHPERESEKAET \TU PLOSKOSTX W TO^KE, NE LEVA]EJ NA PERWOJ PRQMOJ, TOTAKIE PRQMYE QWLQ@TSQ SKRE]IWA@]IMISQ.dOKAZATELXSTWOsM.

RIS. 3.26 A. pUSTX PRQMAQ a LEVIT W PLOSKOSTI , PRQMAQ b PERESEKAET PLOSKOSTX W TO^KE C . sLEDUET OTMETITX, ^TO PODOBNAQ KONFIGURACIQSU]ESTWUET. eSLI PROWESTI ^EREZ TO^KI A I B PRQMU@ a (PO SOOTWETSTWU@]EJ AKSIOME SM. [1], RAZDEL II, P. 2.3.0) ONA BUDET LEVATX W PLOSKOSTI ,TO^KA C (SU]ESTWOWANIE TAKOJ TO^KI C TAKVE GARANTIRUETSQ ODNOJ IZ AKSIOM, SM.

[1], RAZDEL II, P. 2.3.0), A TAKVE ESLI ^EREZ TO^KI C I D (D 62)PROWESTI PRQMU@ b, TO PRQMAQ b NE BUDET LEVATX W PLOSKOSTI , TAK KAKW PROTIWNOM SLU^AE TO^KA D LEVALA BY W PLOSKOSTI , ^TO NEWERNO. eSLIPREDPOLOVITX, ^TO SU]ESTWUET NEKOTORAQ PLOSKOSTX , SODERVA]AQ PRQMYEa I b, A STALO BYTX, I WSE ^ETYRE TO^KI A, B , C , D, TO W SILU EDINSTWENNOSTI PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI A, B , C , PLOSKOSTI I SOWPADUT,STALO BYTX, TO^KA D DOLVNA BUDET OKAZATXSQ W PLOSKOSTI , ^TO NEWERNO.sLEDOWATELXNO, PRQMYE a I b NE LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI, A POTOMU ONISKRE]IWA@TSQ. tEOREMA 1 DOKAZANA.141zAME^ANIE. sKRE]IWA@]IESQ PRQMYE NE IME@T OB]IH TO^EK. |TO LEGKO DOKAZYWAETSQ OT PROTIWNOGO.

pREDPOLAGAQ SU]ESTWOWANIE OB]EJ TO^KIU \TIH PRQMYH, MY POLU^IM, ^TO ESLI \TI PRQMYE RAZLI^NY, TO ONI LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI, ESLI \TI PRQMYE SOWPADA@T (A \TO PRI NALI^IIU NIH DWUH RAZLI^NYH OB]IH TO^EK), TO ^EREZ NIH PROHODIT BESKONE^NOEMNOVESTWO PLOSKOSTEJ.tEOREMA 2. ~EREZ KAVDU@ IZ DWUH SKRE]IWA@]IHSQ PRQMYH PROHODITEDINSTWENNAQ PLOSKOSTX, PARALLELXNAQ DRUGOJ PRQMOJ, PRI^EM \TI PLOSKOSTI PARALLELXNY.dOKAZATELXSTWOsM. RIS.

3.26 B. pUSTX a (AB ) I b (CD) | DWE SKRE]IWA@]IESQ PRQMYE. dOKAVEM, ^TO, NAPRIMER, ^EREZ PRQMU@ (CD) PROHODIT EDINSTWENNAQPLOSKOSTX, PARALLELXNAQ PRQMOJ (AB ). pROWEDEM ^EREZ TO^KU C PRQMU@a0 (CE ), PARALLELXNU@ PRQMOJ a, tAK KAK b 6k a, TO PRQMYE b I a0 |RAZLI^NYE. pOSKOLXKU \TI PRQMYE IME@T OB]U@ TO^KU C , TO C | TO^KAIH PERESE^ENIQ. ~EREZ PRQMYE a0 I b MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@ PLOSKOSTX (OBOZNA^IM EE ZA ), PRI \TOM, TAK KAK PRQMYE a I b SKRE]IWA@TSQ,a NE LEVIT W PLOSKOSTI .