Методичка (5) (Методические указания), страница 8

rASSMOTRIM TREUGOLXNIKI ABD I CBD, KAVDYJ IZNIH QWLQETSQ RAWNOBEDRENNYM S OB]IM OSNOWANIEM BD. tAK KAK W SILUSWOJSTWA DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA (SM. TEOREMU 4, SWOJSTWO 5) OB == OD OA I OC | MEDIANY 4ABD I 4CBD SOOTWETSTWENNO. sLEDOWATELXNO, W SILU SWOJSTW RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLXNIKA (SM.

WY[E WOPROS2) \DAO = \BAO; \DCO = \BCO I AC ? BD. aNALOGI^NYM OBRAZOM,RASSMATRIWAQ 4ABC I 4ADC , DOKAVEM RAWENSTWA UGLOW: \ABO = \CBO,\ADO = \CDO. tEOREMA 10 DOKAZANA. iMEET MESTO I OBRATNAQ TEOREMA.tEOREMA 100. eSLI W PARALLELOGRAMME DIAGONALI WZAIMNO PERPENDIKULQRNY ILI HOTQ BY ODNA IZ EGO DIAGONALEJ QWLQETSQ BISSEKTRISOJ HOTQBY ODNOGO IZ EGO WNUTRENNIH UGLOW, TO ON | ROMB.dOKAZATELXSTWOeSLI W PARALLELOGRAMME ABCD DIAGONALI AC I BD WZAIMNO PERPENDIKULQRNY, TO, RASSMATRIWAQ, NAPRIMER, 4ABC , U KOTOROGO WYSOTA BO(PO USLOWI@) QWLQETSQ MEDIANOJ (PO SWOJSTWU DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA), POLU^IM, ^TO ON RAWNOBEDRENNYJ (AB = BC ), W SILU OPREDELENIQ 8\TO OZNA^AET, ^TO ABCD | ROMB.pUSTX W PARALLELOGRAMME ABCD DIAGONALX AC QWLQETSQ BISSEKTRISOJUGLA A, TOGDA \BAC = \DAC , POSKOLXKU W SILU PARALLELXNOSTI STORONAD I BC , WYTEKA@T RAWENSTWA UGLOW \BAC = \ACD, OTKUDA W SILU TRANZITIWNOSTI RAWENSTWA UGLOW \DAC = \ACD, A POTOMU 4ADC | RAWNOBEDRENNYJ, AD = DC , POLU^ILI, ^TO W PARALLELOGRAMME ABCD RAWNY DWESMEVNYE STORONY AD I DC , SLEDOWATELXNO W SILU OPREDELENIQ 8 ABCD| ROMB.

tEOREMA 100 POLNOSTX@ DOKAZANA.oPREDELENIE 9. kWADRATOM NAZYWAETSQ PARALLELOGRAMM, U KOTOROGOHOTQ BY ODIN WNUTRENNIJ UGOL PRQMOJ I HOTQ BY DWE SMEVNYE STORONYRAWNY (SM. RIS. 3.21 W).iZ \TOGO OPREDELENIQ I OPREDELENIJ 7 I 8 WYTEKAET, ^TO KWADRAT | \TOPARALLELOGRAMM, KOTORYJ QWLQETSQ I PRQMOUGOLXNIKOM, I ROMBOM. pO\TOMUON OBLADAET WSEMI SWOJSTWAMI PARALLELOGRAMMA, PRQMOUGOLXNIKA I ROMBA, W ^ASTNOSTI WSE EGO STORONY RAWNY, A WSE EGO WNUTRENNIE (I WNE[NIE)UGLY | PRQMYE; EGO DIAGONALI OBLADA@T WSEMI SWOJSTWAMI DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA, PRQMOUGOLXNIKA I ROMBA, TO ESTX, W ^ASTNOSTI, ONI RAWNY,WZAIMNO PERPENDIKULQRNY, QWLQ@TSQ BISSEKTRISAMI EGO WNUTRENNIH UGLOW.mOVNO SFORMULIROWATX I DOKAZATX ANALOGI^NYE TEOREMAM 90 I 100 PRIZNAKI KWADRATA.

nAPRIMER, ESLI U PARALLELOGRAMMA DIAGONALI RAWNY IWZAIMNO PERPENDIKULQRNY, TO ON KWADRAT.129zAME^ANIE. kWADRAT MOVNO OPREDELITX I KAK PRQMOUGOLXNIK, U KOTOROGO HOTQ BY DWE SMEVNYE STORONY RAWNY, I KAK ROMB, U KOTOROGO HOTQ BYODIN WNUTRENNIJ UGOL PRQMOJ.wY[E WWODILOSX OPREDELENIE RASSTOQNIQ OT TO^KI DO PRQMOJ KAK DLINAOTREZKA PERPENDIKULQRA, PROWEDENNOGO IZ \TOJ TO^KI NA PRQMU@. dOKAVEMSLEDU@]U@ TEOREMU.RIS.

3.21 GtEOREMA 11. eSLI DWE PRQMYE PARALLELXNY, TO RASSTOQNIQ OT L@BOJTO^KI ODNOJ IZ \TIH PRQMYH DO DRUGOJ PRQMOJ RAWNY. dRUGIMI SLOWAMI,WSE TO^KI ODNOJ IZ PARALLELXNYH PRQMYH ODINAKOWO UDALENY OT DRUGOJ IZ\TIH PRQMYH, \TO OZNA^AET, ^TO PARALLELXNYE PRQMYE WEZDE ODINAKOWOUDALENY ODNA OT DRUGOJ.dOKAZATELXSTWOsM. RIS. 3.21 G. pUSTX (AB ) k (CD), OPUSTIM IZ TO^KI M 2 (AB ) PERPENDIKULQR MP NA PRQMU@ (CD), TO^KA P 2 (CD) | OSNOWANIE PERPENDIKULQRA MP , OPUSTIM TAKVE IZ TO^KI N 2 (AB ); N 6 M PERPENDIKULQRNQ NA PRQMU@ (CD), TO^KA Q 2 (CD) | OSNOWANIE PERPENDIKULQRA NQ.kAK OTME^ALOSX WY[E, W SLEDSTWIQH IZ TEOREM 3 I 4 P. 3:5 IZ TOGO, ^TO(MP ) ? (CD) I (NQ) ? (CD) WYTEKAET, ^TO (MP ) k (NQ), (MP ) ? (AB )I (NQ) ? (AB ) A TAK KAK (AB ) k (CD), TO ^ETYREHUGOLXNIK ABCD |PARALLELOGRAMM, PRI^EM S PRQMYMI WNUTRENNIMI UGLAMI, TO ESTX | PRQMOUGOLXNIK. sLEDOWATELXNO, W SILU WTOROGO SWOJSTWA PARALLELOGRAMMA (SM.WY[E TEOREMU 4) MP = NQ ) jMP j = jNQj.

tEOREMA 11 DOKAZANA.nA OSNOWE REZULXTATA \TOJ TEOREMY MOVNO WWESTI OPREDELENIE RASSTOQNIQ MEVDU PARALLELXNYMI PRQMYMI.oPREDELENIE 10. pUSTX PRQMYE a I b PARALLELXNY (SM. RIS. 3.21 G).rASSTOQNIEM MEVDU PARALLELXNYMI PRQMYMI a I b NAZYWAETSQ DLINA IHOB]EGO PERPENDIKULQRA (TO ESTX OTREZKA PRQMOJ, PERPENDIKULQRNOJ IM,KONCY KOTOROGO LEVAT NA \TIH PRQMYH). oBOZNA^ENIQ (a; b) ILI((AB ); (CD)), (a; b) = ((AB ); (CD)) = jMP j = jNQj.1303:7.

sWOJSTWA SREDNEJ LINII TREUGOLXNIKA. sWOJSTWA SREDNEJLINII TRAPECIIoPREDELENIE 1. tRAPECIEJ NAZYWAETSQ ^ETYREHUGOLXNIK, * 8 U KOTO-ROGO PO KRAJNEJ MERE DWE STORONY PARALLELXNY.iZ \TOGO OPREDELENIQ WYTEKAET, ^TO PARALLELOGRAMM QWLQETSQ TRAPECIEJ (TO ESTX # | ^ASTNYJ SLU^AJ TRAPECII). sM. RIS. 3.22 A, B.RIS. 3.22 ARIS. 3.22 BRIS. 3.22 WRIS.

3.22 GpARALLELXNYE STORONY TRAPECII NAZYWA@TSQ EE OSNOWANIQMI, A DWEDRUGIE STORONY | EE BOKOWYMI STORONAMI.eSLI BOKOWYE STORONY TRAPECII RAWNY, NO ILI NE PARALLELXNY MEVDUSOBOJ, ILI PERPENDIKULQRNY ODNOMU IZ EE OSNOWANIJ, TO ONA NAZYWAETSQRAWNOBEDRENNOJ (RAWNOBOKOJ ILI RAWNOBO^NOJ). sM. RIS. 3.22 W.eSLI TRAPECIQ IMEET HOTQ BY ODIN PRQMOJ UGOL, TO ONA NAZYWAETSQPRQMOUGOLXNOJ. sM. RIS.

3.22 G.tAK KAK (SM. DOKAZATELXSTWO TEOREMY 11 P. 3:6) WSE OTREZKI S KONCAMI NAOSNOWANIQH TRAPECII, KOTORYE LEVAT NA PRQMYH, PERPENDIKULQRNYH \TIMOSNOWANIQM, RAWNY MEVDU SOBOJ, TO MOVNO OPREDELITX WYSOTU TRAPECII,KAK L@BOJ TAKOJ OTREZOK.iMEET MESTO TEOREMA.tEOREMA 1. tRAPECIQ | WYPUKLYJ ^ETYREHUGOLXNIK.dOKAZATELXSTWO SM. W KNIGE [1].sLEDSTWIE. w SILU TEOREMY 1 P.

3:6 DIAGONALI TRAPECII (KAK OTREZKI)PERESEKA@TSQ I TO^KA IH PERESE^ENIQ NAHODITSQ WO WNUTRENNEJ OBLASTITRAPECII.tEOREMA 2. u RAWNOBEDRENNOJ TRAPECII WNUTRENNIE UGLY PRI KAVDOMIZ OSNOWANIJ RAWNY I DIAGONALI RAWNY.8*nAPOMNIM, ^TO POD TERMINOM "^ETYREHUGOLXNIK" MY PONIMAEM PROSTOJ MNOGOUGOLXNIK S ^ETYRXMQ STORONAMI, OPREDELENIE PROSTOGO MNOGOUGOLXNIKA SM. WY[E, W P.3:6.131dOKAZATELXSTWOrASSMOTRIM RAWNOBEDRENNU@ TRAPECI@ ABCD, U KOTOROJ AD k BC IAB = CD (SM.

RIS. 3.22 W). pUSTX BE ? AD I CF ? AD, W SILU TEOREMY11 P. 3:6 BE = CF , A POTOMU PO KATETU I GIPOTENUZE 4ABE == 4DCF . sLEDOWATELXNO, \BAD = \CDA, A POTOMU I \ABC = \DCB .eSLI PROWESTI W \TOJ TRAPECII DIAGONALI AC I BD, TO RASSMATRIWAQ4ABD I 4DCA, U KOTORYH AB = CD; AD | OB]AQ STORONA \BAD == \CDA, POLU^IM, ^TO ONI RAWNY PO DWUM STORONAM I UGLU MEVDU NIMI.sLEDOWATELXNO, AC = BD.oPREDELENIE 2. sREDNEJ LINIEJ TREUGOLXNIKA NAZYWAETSQ OTREZOKS KONCAMI NA SEREDINAH (SOEDINQ@]IJ SEREDINY) DWUH EGO STORON.oPREDELENIE 3.

sREDNEJ LINIEJ TRAPECII NAZYWAETSQ OTREZOK SKONCAMI NA SEREDINAH (SOEDINQ@]IJ SEREDINY) EE BOKOWYH STORON.tEOREMA 3. sREDNQQ LINIQ TREUGOLXNIKA, SOEDINQ@]AQ SEREDINY DWUHKAKIH-LIBO EGO STORON, PARALLELXNA TRETXEJ STORONE I RAWNA EE POLOWINE.tEOREMA 4. sREDNQQ LINIQ TRAPECII PARALLELXNA EE OSNOWANIQM I RAWNAIH POLUSUMME.RIS. 3.23 AdOKAZATELXSTWO TEOREMY 3fORMULIROWKA TEOREMY 3 OZNA^AET, ^TO PRQMAQ, SODERVA]AQ SREDN@@LINI@ TREUGOLXNIKA, PARALLELXNA PRQMOJ, SODERVA]EJ EGO TRETX@ STORONU.sM.

RIS. 3.23 A. pUSTX W 4ABC DE | SREDNQQ LINIQ, KOTORAQ SOEDINQET OTREZKOM SEREDINY D I E STORON AB I BC SOOTWETSTWENNO. tOGDAPO OPREDELENI@ 2 AD = DB , CE = EB . oTLOVIM NA POLUPRQMOJ, DOPOLNITELXNOJ OTNOSITELXNO POLUPRQMOJ ED, OTREZOK EF = EA, STALO BYTX,TO^KI D I F BUDUT W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (BC ).a POSKOLXKU D | SEREDINA STORONY AB , TO TO^KI A I D BUDUT W ODNOJPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (BC ), TOGDA TO^KI A I F BUDUT W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (BC ). sTALO BYTX, LU^I BA ICF BUDUT W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (BC ), A POTOMU \ABC I \BCF BUDUT WNUTRENNIMI NAKREST LEVA]IMI UGLAMI PRIPRQMYH (BA) I (CF ) I SEKU]EJ (BC ).

dALEE, W TREUGOLXNIKAH EDB I132EFC : \DEB= \F EC KAK WERTIKALXNYE, STORONY BE = EC SOGLASNO USLOWIQM TEOREMY, STORONY DE = EF PO POSTROENI@. sLEDOWATELXNO,4EDB = 4EFC (PO DWUM STORONAM I UGLU MEVDU NIMI), STALO BYTX, STORONY CF = DB I \DBE = \ECF . sOGLASNO SOOTWETSTWU@]EMU PRIZNAKUPARALLELXNOSTI PRQMYH (SM. P. 3:5) CF k BD, A, STALO BYTX, I CF k DA,DALEE, POSKOLXKU PO USLOWI@ DB = AD, TO CF = DA. tAKIM OBRAZOM,W ^ETYREHUGOLXNIKE ADFC ESTX PARA PROTIWOPOLOVNYH PARALLELXNYH IRAWNYH STORON, A POTOMU ADFC | PARALLELOGRAMM, OTKUDA UVE SLEDUETPARALLELXNOSTX DE I AC I RAWENSTWO STORON AC = DF .

pO POSTROENI@jAC j .DF = 2DE , STALO BYTX, I AC = 2DE , OTKUDA DE = AC,jDEj=22tEOREMA 3 DOKAZANA.RIS. 3.23 BdOKAZATELXSTWO TEOREMY 4fORMULIROWKA TEOREMY 4 OZNA^AET, ^TO PRQMAQ, SODERVA]AQ SREDN@@LINI@ TRAPECII PARALLELXNA PRQMYM, SODERVA]IM EE OSNOWANIQ.sM. RIS.

3.23 B. pUSTX ABCD | TRAPECIQ, AD k BC , MN | EE SREDNQQLINIQ, KOTORAQ SOEDINQET OTREZKOM SEREDINY M I N STORON AB I CDSOOTWETSTWENNO. tOGDA PO OPREDELENI@ 3: AM = MB , CN = ND.pROWEDEM PRQMU@ ^EREZ TO^KI B I N , TAK KAK TO^KI B , C I N NE LEVATNA ODNOJ PRQMOJ, TO TO^KA B | TO^KA PERESE^ENIQ PRQMYH (BC ) I (BN ). wSILU SLEDSTWIQ IZ AKSIOMY PARALLELXNOSTI PRQMYH TAK KAK (BC ) k (AD),TO PRQMAQ (BN ) PERESE^ET PRQMU@ (AD) W NEKOTOROJ TO^KE E . w SILU WYPUKLOSTI TRAPECII ABCD (SM. TEOREMU 1) TO^KI B I N LEVAT W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD).

sLEDOWATELXNO, TO^KI E I N |RAZLI^NYE. tO^KA E TAK VE OTLI^NA OT TO^KI D, POSKOLXKU W PROTIWNOMSLU^AE PRQMYE (CD) I (BE ) SOWPADALI BY, A \TO NE TAK. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO TO^KA E LEVIT NA LU^E (DA), TO TOGDA OTREZOK BE CELIKOMLEVAL BY W POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (CD) I NE MOG BY PERESEKATX STORONU CD W TO^KE N . tAKIM OBRAZOM, TO^KA E LEVIT NA LU^E,DOPOLNITELXNOM LU^U DA, STALO BYTX, TO^KA D LEVIT MEVDU TO^KAMI AI E , LU^I DE I DA BUDUT W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ(BC ), A POTOMU \NED I \NBC BUDUT WNUTRENNIMI NAKREST LEVA]IMIPRI (AD) k (BC ) I SEKU]EJ (BE ).133rASSMOTRIM 4BNC I 4END.

u NIH \BNC = \DNE KAK WERTIKALXNYE, \NCB = \NDE KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI (CB ) k (DE )I SEKU]EJ (CD), CN = ND PO USLOWI@. sLEDOWATELXNO, 4BNC = 4ENDPO STORONE I DWUM PRILEVA]IM EJ UGLAM, A POTOMU BN = NE I BC = DEKAK STORONY, LEVA]IE PROTIW SOOTWETSTWENNO RAWNYH UGLOW. tAKIM OBRAZOM, DLQ 4ABE : MN | SREDNQQ LINIQ, A PO\TOMU PO TEOREME 2 MN == AE=2 = (AD + DE )=2 = (AD + BC )=2. tEOREMA 4 POLNOSTX@ DOKAZANA.zAME^ANIE 1. pRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY 4 MY NIGDE NE ISPOLXZOWALIPARALLELXNOSTX ILI NE PARALLELXNOSTX BOKOWYH STORON TRAPECII AB ICD.

w SLU^AE AB k CD WYTEKALO BY, ^TO AM = MB = AB=2 = CD=2 == CN = ND, OTKUDA W SILU AM k DN; MB k NC SLEDOWALO, ^TO AMNDI MBCN | PARALLELOGRAMMY, A POTOMU AD k MN k BC I AD = MN == BC = (AD + BC )=2.zAME^ANIE 2. pOSKOLXKU PRIMENITELXNO K PARALLELOGRAMMU WERNA I TEOREMA O PLO]ADI TRAPECII (ONA RAWNA PROIZWEDENI@ DLINY SREDNEJ LINIITRAPECII NA DLINU EE WYSOTY), TO ESTESTWENNO S^ITATX PARALLELOGRAMM^ASTNYM SLU^AEM TRAPECII, ^TO NE WO WSEH U^EBNIKAH PRINQTO.zAME^ANIE 3.