Методичка (5) (Методические указания), страница 4

a \TO I OZNA^AET, ^TO ONO LEVIT MEVDU KONCAMI GIPOTENUZY,TO ESTX QWLQETSQ EE WNUTRENNEJ TO^KOJ. tEOREMA 1 DOKAZANA.oPREDELENIE 1. tREUGOLXNIK NAZYWAETSQ PRQMOUGOLXNYM, ESLI U NEGOESTX WNUTRENNIJ PRQMOJ UGOL. sTORONA, PROTIWOLEVA]AQ PRQMOMU UGLU,NAZYWAETSQ GIPOTENUZOJ, A OSTALXNYE STORONY KATETAMI.tEOREMA 2. pUSTX a; b | DLINY KATETOW, c | DLINA GIPOTENUZY PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA, hc | DLINA WYSOTY, PROWENNOJ IZ WER[INYPRQMOGO UGLA NA GIPOTENUZU, ca | DLINA PROEKCII KATETA DLINY a NAGIPOTENUZU, cb | DLINA PROEKCII KATETA DLINY b NA GIPOTENUZU. tOGDAhc = cb , h2 = c c , h = pc c ;(1)a ba bccccaa = ahc , a2 = c c , a = pc c ;(2)aacab = bc , b2 = c c , b = pc c :(3)bbb cw SOOTWETSTWIIS OPREDELENIEM 1 UTWERVDENIQ TEOREMY OZNA^A@T, ^TO:1) DLINA WYSOTY, PROWEDENNOJ IZ WER[INY PRQMOGO UGLA NA GIPOTENUZU, ESTX SREDNQQ PROPORCIONALXNAQ MEVDU DLINAMI OTREZKOW, NA KOTORYEOSNOWANIE \TOJ WYSOTY RAZBIWAET GIPOTENUZU (W FORMULIROWKE TEOREMYMY NAZWALI \TI OTREZKI PROEKCIQMI KATETOW NA GIPOTENUZU);2) DLINA KAVDOGO KATETA ESTX SREDNQQ PROPORCIONALXNAQ MEVDU DLINOJ GIPOTENUZY I DLINOJ PROEKCII \TOGO KATETA NA GIPOTENUZU.RIS.

3.12dOKAZATELXSTWO(DsM. RIS. 3.12. pUSTX W TREUGOLXNIKE ABC \C | PRQMOJ, CD ? AB2 (AB )), PO DOKAZANNOMU W TEOREME 1 TO^KA D | OSNOWANIE PERPENDI107KULQRA, PROWEDENNOGO IZ WER[INY PRQMOGO UGLA C NA GIPOTENUZU, QWLQETSQWNUTRENNEJ TO^KOJ OTREZKA (GIPOTENUZY) AB . sLEDOWATELXNO, RASSMATRIWAQ PRQMOUGOLXNYE 4ACD I 4ACB , U KOTORYH SOOTWETSTWENNO \ADC I\ACB | PRQMYE, W SILU RAWENSTWA PRQMOMU UGLU SUMMY OSTRYH WNUTRENNIH UGLOW W PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE IMEEM : \ACD + \CAD == \CBD + \CAD, OTKUDA \ACD = \CBD.

sOWER[ENNO ANALOGI^NO, RASSMATRIWAQ PRQMOUGOLXNYE 4BCD I 4ACB , DOKAVEM, ^TO \BCD == \CAD. dALEE, DOKAZATELXSTWO TEOREMY MOVNO PROWODITX DWOQKIM OBRAZOM. rASSMATRIWAQ 4ACD I 4CBD, POLU^IM, ^TO ONI PODOBNY, KAKIME@]IE RAWNYE OSTRYE WNUTRENNIE UGLY, IZ RAWENSTWA OTNO[ENIJ DLINIH SHODSTWENNYH STORON WYTEKA@T DOKAZYWAEMYE RAWENSTWA (1); ZATEM RASSMATRIWAQ 4ACD I 4ABC , POLU^IM, ^TO ONI PODOBNY, KAK IME@]IE OB]IJ OSTRYJ WNUTRENNIJ UGOL (\A), IZ RAWENSTWA OTNO[ENIJ DLIN IH SHODSTWENNYH STORON WYTEKA@T DOKAZYWAEMYE RAWENSTWA (3); NAKONEC, RASSMATRIWAQ 4BCD I 4BAC , POLU^IM, ^TO ONI PODOBNY, KAK IME@]IE OB]IJOSTRJ WNUTRENNIJ UGOL (\B ), TAKVE IZ RAWENSTWA OTNO[ENIJ DLIN IH SHODSTWENNYH STORON WYTEKA@T DOKAZYWAEMYE RAWENSTWA (2).wTOROJ SPOSOB. pO DOKAZANNOMU ACD = C BD = ; B CD = C AD = ,OTKUDA (SM. RIS. 3.12) IZ PRQMOUGOLXNYH 4BCD I 4ACDhc = cb ) (1) ;tg =ca hcIZ PRQMOUGOLXNYH 4ACD I 4ABC : cos = cbb = bc ) (3) ;IZ PRQMOUGOLXNYH 4BCD I 4ABC : cos = caa = ac ) (2).tEOREMA 2 POLNOSTX@ DOKAZANA.sLEDSTWIE.

oTNO[ENIE KWADRATOW DLIN KATETOW RAWNO OTNO[ENI@DLIN IH PROEKCIJ NA GIPOTENUZU.|TO UTWERVDENIE SLEDUET IZ (2) I (3) SLEDU@]IMOBRAZOM:2 c ca caa22a = c ca ; b = c cb ) b2 = c c = c .bbtEOREMA 3 (pIFAGORA). w L@BOM PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE KWADRATDLINY GIPOTENUZY RAWEN SUMME KWADRATOW DLIN EGO KATETOW, TO ESTX,ESLI a I b | DLINY EGO KATETOW, A c | DLINA EGO GIPOTENUZY, TO\\ \\c2 = a2 + b2 .dOKAZATELXSTWOwOSPOLXZOWAW[ISX REZULXTATOM PREDYDU]EJ TEOREMY, PO^LENNO SKLADYWAQ RAWENSTWA a2 = cca ; b2 = ccb, POLU^IM S U^ETOM TOGO, ^TO ca +cb = c,a2 + b2 = c (ca + cb ) = c c = c2. tEOREMA 3 DOKAZANA.sLEDSTWIE. iMEET MESTO RAWENSTWO sin2 + cos2 = 1, GDE | WELI^INA OSTROGO UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA (OSNOWNOE TRIGONOMETRI^ESKOE TOVDESTWO).108defiZ OPREDELENIJ SINUSA (sin def= a=c) I KOSINUSA (cos = b=c) (SM.

RIS.3.12) WELI^INY OSTROGO UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA WYTEKAET, ^TOa2 b2 a2 + b2 = c2 = 1.sin2 + cos2 = 2 + 2 =c cc2c2(OBRATNAQ TEOREMA pIFAGORA). eSLI W TREUGOLXNIKEtEOREMA 4SUMMAKWADRATOW DLIN DWUH STORON RAWNA KWADRATU DLINY TRETXEJ STORONY,TO TREUGOLXNIK | PRQMOUGOLXNYJ.dOKAZATELXSTWOpUSTX W 4ABC jAB j2 = jAC j2 + jBC j2, DOKAVEM, ^TO \C | PRQMOJ.dLQ \TOGO RASSMOTRIM 4A0B 0 C 0 , U KOTOROGO A0C 0 = AC; B 0 C 0 = BC I \C 0| PRQMOJ. tAKOJ TREUGOLXNIK MOVNO POSTROITX, WYBIRAQ NA NEKOTOROJPRQMOJ TO^KU C 0, OTKLADYWAQ NA KAKOM-NIBUDX EE LU^E S NA^ALOM W TO^KEC 0 OTREZOK C 0 A0 = CA, ZATEM PROWODIM LU^, PERPENDIKULQRNYJ PRQMOJ(C 0 A0), NA \TOM LU^E S NA^ALOM W TO^KE C 0 OTKLADYWAEM OTREZOK C 0B 0 = CB ,SOEDINQEM OTREZKOM TO^KI A0 I B 0 .

4A0B 0 C 0 | PRQMOUGOLXNYJ S PRQMYMUGLOM \C 0, W SILU TEOREMY pIFAGORA jA0B 0 j2 = jA0C 0j2 + jB 0 C 0j2 == jAC j2 + jBC j2 = jAB j2 , jA0 B 0 j = jAB j. pOLU^ILI, ^TO 4ABC == 4A0 B 0 C 0 (PO TREM STORONAM), SLEDOWATELXNO, \C = \C 0 , A POTOMU \C |PRQMOJ I 4ABC | PRQMOUGOLXNYJ. tEOREMA 4 DOKAZANA.zAME^ANIE. uTWERVDENIE OBRATNOJ TEOREMY pIFAGORA MOVNO POLU^ITXI IZ TEOREMY KOSINUSOW (SM.

NIVE, P. 3:4).3:3. sWOJSTWO OTREZKOW, NA KOTORYE BISSEKTRISA TREUGOLXNIKADELIT PROTIWOPOLOVNU@ STORONUoPREDELENIQ TREUGOLXNIKA I BISSEKTRISY TREUGOLXNIKA SM. SOOTWETSTWENNO W P. 3:1.tEOREMA 1. eSLI W TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENA BISSEKTRISA UGLA A,AD, TO ONA DELIT PROTIWOLEVA]U@ WER[INE A STORONU BC NA OTREZKIBD I DC , PROPORCIONALXNYE PRILEVA]IM WER[INE A STORONAM ABAB j = jAC j , jAB j = jBDj ; D 2 BC .I AC , TO ESTX jjBDj jCDj jAC j jCDjRIS. 3.13 ARIS.

3.13 B109RIS. 3.13 WdOKAZATELXSTWOsM. RIS. 3.13 A. ~EREZ TO^KU C PROWEDEM PRQMU@ (CE ) k (AD), ETO^KA PERESE^ENIQ PRQMYH (CE ) I (BA). tAKAQ TO^KA E SU]ESTWUET WSILU PARALLELXNOSTI (AD) I (CE ), TOGO ^TO A (AD) \ (BE ) I SLEDSTWIQ IZ AKSIOMY PARALLELXNOSTI PRQMYH (SM.

P. 3:5). tAK KAK AD |BISSEKTRISA UGLA A (STALO BYTX, LU^, PROHODQ]IJ WNUTRI UGLA A), D (AD) \ (BC ), STALO BYTX, TO^KA D LEVIT MEVDU TO^KAMI B I C . sLEDOWATELXNO, TO^KA A LEVIT MEVDU TO^KAMI B I E . 4BAD 4BEC ,POTOMU jBDj : jDC j = jBAj : jAE j. w SILU SWOJSTW PARALLELXNOSTI PRQMYH WYTEKAET, ^TO \ACE = \CAD KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IEPRI (CE ) k (AD) I SEKU]EJ (AC ), \BAD = \BEC KAK SOOTWETSTWENNYE PRI (CE ) k (AD) I SEKU]EJ (BE ).

pO USLOWI@ \BAD = \CAD, SLEDOWATELXNO W SILU SWOJSTWA TRANZITIWNOSTI OTNO[ENIQ RAWENSTWA UGLOW\ACE = \AEC , A POTOMU W SILU PRIZNAKA RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLXNIKA4CAE | RAWNOBEDRENNYJ, U KOTOROGO AC = AE , OTKUDA jAC j = jAE j.sLEDOWATELXNO, W SILU RAWENSTWA jBDj : jDC j = jBAj : jAE j POLU^AEM RAAB j = jBDj , jAB j = jAC j .WENSTWA jjACj jCDj jBDj jCDjtEOREMA 1 DOKAZANA.

sPRAWEDLIWA I TEOREMA, OBRATNAQ TEOREME 1.tEOREMA 10. eSLI W PLOSKOM TREUGOLXNIKE ABC PROWEDEN OTREZOK ADTAKOJ, ^TO D 2 BC , (D | WNUTRENNQQ TO^KA STORONY BC I WYPOLNQETAB j = jBDj , TO AD | BISSEKTRISA TREUGOLXNIKA ABC ,SQ SOOTNO[ENIE jjACj jCDjPROWEDENNAQ IZ EGO WER[INY B . dOKAZATELXSTWOsHEMA RASSUVDENIJ ANALOGI^NA, NAPRIMER, OBOSNOWANI@ PROHOVDENIQMEDIANY TREUGOLXNIKA ^EREZ TO^KU PERESE^ENIQ DWUH DRUGIH EGO MEDIAN.pROWODQ IZ WER[INY A BISSEKTRISU TREUGOLXNIKA AD0 , POLU^IM, ^TO D0| WNUTRENNQQ TO^KA STORONY BC I PO DOKAZANNOMU W TEOREME 1 IMEEMjAB j = jBD0 j . sOPOSTAWLQQ \TO S RAWENSTWOM jAB j = jBDj , NETRUDNOjAC j jCD0 jjAC j jCDjPOLU^ITX, ^TO jBDj = jBD0 j, STALO BYTX, BD = BD0 , A POTOMU D0 D.sLEDOWATELXNO, AD | BISSEKTRISA 4ABC , PROWEDENNAQ IZ EGO WER[INYB .

tEOREMA 10 DOKAZANA.mOVNO DOKAZATX TEOREMU, WYRAVA@]U@ ANALOGI^NOE SWOJSTWO BISSEKTRISY WNE[NEGO UGLA TREUGOLXNIKA.tEOREMA 2. eSLI W TREUGOLXNIKE ABC STORONY AB I AC NE RAWNY, TOBISSEKTRISA AD EGO WNE[NEGO UGLA A PERESEKAET PRQMU@ (BC ) W TO^KED, QWLQ@]EJSQ WNE[NEJ TO^KOJ OTREZKA BC TAKOJ, ^TO RASSTOQNIQ OTTO^KI D DO TO^EK A I C PROPORCIONALXNY DLINAM STORON AB I AC , TOESTX110jBDj = jCDj , jAB j = jBDj .jAB j jAC j jAC j jCDjeSLI VE AB = AC , TO BISSEKTRISA WNE[NEGO UGLA A PARALLELXNA BC .dOKAZATELXSTWO MOVNO NAJTI W KNIGE [1], E]E W U^EBNIKE GEOMETRII a.p.kISELEWA I DR.

ISTO^NIKAH. sM. ILL@STRACI@ \TOJ TEOREMY NA RIS. 3.13 BI W. nA RIS. 3.13 B PROILL@STRIROWAN SLU^AJ, KOGDA STORONA AC MENX[ESTORONY AB .pRIWEDEM (S WYWODOM) DWE FORMULY, WYRAVA@]IE DLINU BISSEKTRISYUGLA TREUGOLXNIKA, ODNU IZ NIH SEJ^AS, DRUGU@ W SLEDU@]EM PUNKTE.\\RIS. 3.13 GsM. RIS. 3.13 G. b = jAC j; a = jBC j; lc = jCDj; ACD = B CD == =2. sOGLASNO FORMULE WY^ISLENIQ PLO]ADI TREUGOLXNIKA PO IZWESTNYMDLINAM EGO STORON I WELI^INE UGLA MEVDU NIMI, PRIMENQQ FORMULU SINUSADWOJNOGO ARGUMENTA, POLU^IM: = blc sin =2 + alc sin =2 ,S4ACB = S4ACD + S4BCD , ab sin222, ab sin 2 cos 2 = (a + b)l2c sin =2 , fsin 2 > 0g , lc = (a2+abb) cos 2 .zAME^ANIE. pRI WYWODE \TOJ FORMULY DLQ DLINY BISSEKTRISY TREUGOLXNIKA BYLO ISPOLXZOWANO TRETXE USLOWIE, FIGURIRU@]EE W OPREDELENII PLO]ADI PLOSKOJ FIGURY (ONA PREDSTAWLQET SOBOJ MNOVESTWO WSEH TO^EK EE GRANICY, OB_EDINENNOE SO WSEMI EE WNUTRENNIMI TO^KAMI), KOTOROEIMEET WID.pLO]ADX@ PLOSKOJ FIGURY NAZYWAETSQ POSTAWLENNOE EJ W SOOTWETSTWIE POLOVITELXNOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO, OBLADA@]EE SLEDU@]IMISWOJSTWAMI:1) SU]ESTWUET PLOSKAQ FIGURA PLO]ADI, RAWNOJ 1 (EDINICA IZMERENIQ), TAKOJ FIGUROJ QWLQETSQ KWADRAT, IME@]IJ RAWNU@ 1 (EDINICE IZMERENIQ DLIN) DLINU STORONY;2) RAWNYE PLOSKIE FIGURY IME@T RAWNYE PLO]ADI;3) ESLI PLOSKAQ FIGURA RAZBIWAETSQ NA ^ASTI (PLOSKIE FIGURY), NIKAKIE DWE IZ KOTORYH NE IME@T OB]IH WNUTRENNIH TO^EK, TO PLO]ADX\TOJ PLOSKOJ FIGURY RAWNA SUMME PLO]ADEJ EE ^ASTEJ.111pRI \TOM PLO]ADX FIGURY, SOSTOQ]EJ IZ KONE^NOGO KOLI^ESTWA TO^EK,OTREZKOW, DUG, LINIJ I T.P., PO OPREDELENI@ S^ITAETSQ RAWNOJ NUL@.3:4.

tEOREMY KOSINUSOW I SINUSOW DLQ TREUGOLXNIKA. pRIMENENIQ TEOREMY KOSINUSOW.oPREDELENIQ TREUGOLXNIKA I KOSINUSA WELI^INY UGLA W TREUGOLXNIKESM. SOOTWETSTWENNO W PREDYDU]IH PUNKTAH I RAZDELE "tRIGONOMETRIQ".tEOREMA 1 (KOSINUSOW). w PROIZWOLXNOM TREUGOLXNIKE KWADRAT DLINYSTORONY RAWEN SUMME KWADRATOW DLIN DWUH DRUGIH STORON MINUS UDWOENNOEPROIZWEDENIE DLIN \TIH STORON NA KOSINUS WELI^INY UGLA MEVDU NIMI.c2 = a2 + b22ab cos ,GDE | WELI^INA UGLA, PROTIWOLEVA]EGO STORONE S DLINOJ c, a I b |DLINY DRUGIH STORON TREUGOLXNIKA.RIS. 3.14 A\RIS. 3.14 BdOKAZATELXSTWO= ACB . rASSMOTRIM PQTXRIS.