Методичка (5) (Методические указания), страница 2

wYSOTOJ TREUGOLXNIKA, PROWEDENNOJ IZ DANNOJ WER[INY, NAZYWAETSQ PERPENDIKULQR,** 4 PROWEDENNYJ IZ \TOJ WER[INY KPRQMOJ, KOTORAQ SODERVIT PROTIWOLEVA]U@ STORONU TREUGOLXNIKA.tEOREMA 1. sEREDINNYE PERPENDIKULQRY K STORONAM PROIZWOLXNOGO TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE.RIS. 3.4:3 *o NULEWOM I NENULEWOM UGLE SM.

P. 3 2, GDE GOWORITSQ OB IZMERENII UGLOW.4 **zDESX POD \TIM PONIMAETSQ OTREZOK ODNOJ PRQMOJ, PERPENDIKULQRNOJ DRUGOJ,\TOJ DRUGOJ PRQMOJ LEVIT ODIN IZ KONCOW UKAZANNOGO OTREZKA.97NAdOKAZATELXSTWOpUSTX W 4ABC AD = DB; BE = EC; CF = F A. ~EREZ TO^KI D IE W PLOSKOSTI (ABC ) PROWEDEM SOOTWETSTWENNO nc ? (AB ); na ? (BC )(SU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX \TIH PERPENDIKULQROW MOVET BYTX DOKAZANO). pOSKOLXKU PRQMYE (BA) I (BC ) RAZLI^NYE, TO^KI D I E OTLI^NYOT TO^KI B , \TI TO^KI RAZLI^NY. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO PRQMYE na I ncSOWPADA@T, TO \TO BUDET OZNA^ATX, ^TO K PRQMOJ na nc IZ TO^KI B PROWEDENY DWA PERPENDIKULQRA (BD) I (BE ), ^TO NEWOZMOVNO.

eSLI PREDPOLOVITX, ^TO na k nc , TO IZ (BA) ? nc ) (BA) ? na . tAK KAK (BC ) ? na , TO^KAB 62 na , TO POLU^AEM, ^TO IZ TO^KI B NA PRQMU@ na PROWEDENY DWA PERPENDIKULQRA: (BC ) I (BA), ^TO TAKVE NEWOZMOVNO. sLEDOWATELXNO, OSTAETSQEDINSTWENNAQ WOZMOVNOSTX, na \ nc O (TO^KU PERESE^ENIQ SEREDINNYHPERPENDIKULQROW K STORONAM BA I BC MY OBOZNA^ILI ^EREZ O). aNALOGI^NYM OBRAZOM MY DOKAVEM PERESE^ENIE PERPENDIKULQROW nc I nb , na I nb ,OTKUDA SLEDUET, ^TO WSE \TI PERPENDIKULQRY | RAZLI^NYE PRQMYE. w SILUSWOJSTWA SEREDINNOGO PERPENDIKULQRA K OTREZKU OA = OB I OB = OC , WSILU TRANZITIWNOSTI OTNO[ENIQ RAWENSTWA OTREZKOW OTS@DA SLEDUET, ^TOOA = OC .

w SILU PRIZNAKA SEREDINNOGO PERPENDIKULQRA K OTREZKU TO^KAO LEVIT NA SEREDINNOM PERPENDIKULQRE nb K OTREZKU AC . sLEDOWATELXNO,TAK KAK WSE \TI PERPENDIKULQRY na ; nb; nc | RAZLI^NYE PRQMYE, TO^KA OIH EDINSTWENNAQ OB]AQ TO^KA (TO^KA PERESE^ENIQ). tEOREMA 1 DOKAZANA.nAPOMNIM, ^TO OKRUVNOSTX@ NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH TO^EK PLOSKOSTI, RASPOLOVENNYH NA RAWNOM POLOVITELXNOM RASSTOQNII OT NEKOTOROJFIKSIROWANNOJ TO^KI \TOJ PLOSKOSTI (CENTRA OKRUVNOSTI). pOD RADIUSOMOKRUVNOSTI PONIMAETSQ OTREZOK S KONCAMI NA L@BOJ TO^KE OKRUVNOSTI I WCENTRE OKRUVNOSTI, A TAKVE | RASSTOQNIE OT CENTRA OKRUVNOSTI DO L@BOJTO^KI NA OKRUVNOSTI.oKRUVNOSTX NAZYWAETSQ OPISANNOJ OKOLO TREUGOLXNIKA ILI MNOGOUGOLXNIKA, ESLI WSE EGO WER[INY LEVAT NA \TOJ OKRUVNOSTI.sLEDSTWIE. tO^KA PERESE^ENIQ SEREDINNYH PERPENDIKULQROW K STORONAM TREUGOLXNIKA | CENTR OPISANNOJ OKOLO NEGO OKRUVNOSTI, POSKOLXKUSOGLASNO TEOREME O PRQMOJ, PERPENDIKULQRNOJ K OTREZKU, PROHODQ]EJ ^EREZEGO SEREDINU, WSE EE TO^KI RAWNOUDALENY OT KONCOW \TOGO OTREZKA.RIS.

3.5 ARIS. 3.5 B98RIS. 3.5 WsTALO BYTX, TO^KA PERESE^ENIQ SEREDINNYH PERPENDIKULQROW K STORONAM TREUGOLXNIKA RAWNOUDALENA OT WSEH EGO WER[IN.nA RIS. 3.5 A, B, W POKAZANO RASPOLOVENIE CENTRA OKRUVNOSTI, OPISANNOJOKOLO TREUGOLXNIKA W ZAWISIMOSTI OT TOGO, QWLQETSQ LI ON OSTROUGOLXNYM,PRQMOUGOLXNYM I TUPOUGOLXNYM.w UPOMQNUTOJ WY[E KNIGE [1], A TAKVE I WO MNOGIH U^EBNIKAH GEOMETRII \TI FAKTY OBOSNOWANY. e]E W UPOMQNUTOJ KNIGE, A TAKVE W KNIGE a.w.pOGORELOWA "|LEMENTARNAQ GEOMETRIQ", m: "nAUKA", 1977 (SM.

[2]) MOVNONAJTI DOKAZATELXSTWA SLEDU@]IH WAVNYH TEOREM 2 I 3. w DANNYH DOKAZATELXSTWAH GOWORITSQ O NEKOTORYH MOMENTAH, KOTORYE MOVNO DOKAZATX, WUPOMQNUTYH KNIGAH \TI WSE MOMENTY OBOSNOWANY.tEOREMA 2. dWE MEDIANY PROIZWOLXNOGO TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ(KAK OTREZKI).RIS. 3.6 ARIS. 3.6 BdOKAZATELXSTWO. sM. RIS. 3.6 A. pUSTX W 4ABC AD I CF | DWE MEDIANY, BD = DC , AF = FB .

tAK KAK TO^KI D I F | SEREDINY STORONBC I AB SOOTWETSTWENNO, TO MOVNO DOKAZATX, ^TO \TO WNUTRENNIE TO^KIOTREZKOW BC I AB . tAK KAK TO^KA A NE LEVIT NA PRQMOJ (BC ), TO LU^AD PERESEKAET OTREZOK BC W EGO WNUTRENNEJ TO^KE D, A POTOMU TO^KI B IC RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD). dALEE, TAK KAK TO^KA F LEVIT MEVDU TO^KAMI A I B , TO TO^KA A NE LEVITMEVDU TO^KAMI F I B , A POTOMU \TI TO^KI RASPOLOVENY NA ODNOM LU^ES NA^ALOM W TO^KE A I, STALO BYTX, ONI RASPOLOVENY W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD). sLEDOWATELXNO, TO^KI C I F LEVAT WRAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD), A POTOMU OTREZOK CFPERESEKAET PRQMU@ (AD) W NEKOTOROJ WNUTRENNEJ TO^KE O 2 CF . aNALOGI^NYM OBRAZOM DOKAZYWAETSQ PERESE^ENIE OTREZKA AD I PRQMOJ (CF ).

wSILU EDINSTWENNOSTI TO^KI PERESE^ENIQ PRQMYH (AD) I (CF ) TO^KA O |TO^KA PERESE^ENIQ OTREZKOW AD I CF . mOVNO TAKVE DOKAZATX, ^TO TO^KAO LEVIT WO WNUTRENNEJ OBLASTI 4ABC .tO^NO TAKVE DOKAZYWAETSQ PERESE^ENIE KAVDOJ IZ MEDIAN AD I CF STRETXEJ MEDIANOJ 4ABC . tEOREMA 2 DOKAZANA.tEOREMA 3. dWE BISSEKTRISY PROIZWOLXNOGO TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ (KAK OTREZKI).dOKAZATELXSTWOsM.

RIS. 3.6 B. pUSTX W 4ABC AD I CF | BISSEKTRISY. w SILU OPREDE99LENIQ BISSEKTRISY TREUGOLXNIKA OTREZOK AD LEVIT NA LU^E AD (c NA^ALOMW TO^KE A), KOTORYJ QWLQETSQ BISSEKTRISOJ \BAC . sOGLASNO OPREDELENI@LU^ AD PROHODIT WO WNUTRENNEJ OBLASTI \BAC , A POTOMU SOGLASNO SFORMULIROWANNOMU UTWERVDENI@ LU^ AD PERESE^ET OTREZOK BC W NEKOTOROJEGO WNUTRENNEJ TO^KE D.

aNALOGI^NYM OBRAZOM LU^ CF (c NA^ALOM W TO^KEC ) PERESE^ET OTREZOK AB W NEKOTOROJ EGO WNUTRENNEJ TO^KE F . dALEE DOKAZATELXSTWO PROWODITSQ TO^NO TAK VE (BUKWALXNO DOSLOWNYM POWTORENIEM),^TO I DOKAZATELXSTWO TEOREMY 2. tAKIM VE OBRAZOM DOKAZYWAETSQ PERESE^ENIE KAVDOJ IZ BISSEKTRIS AD I CD S TRETXEJ BISSEKTRISOJ 4ABC .mOVNO TAKVE, KAK I W TEOREME 2 DOKAZATX, ^TO TO^KA PERESE^ENIQ BISSEKTRIS TREUGOLXNIKA LEVIT W EGO WNUTRENNEJ OBLASTI.

tEOREMA 3 DOKAZANA.tEOREMA 4. mEDIANY TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE, KOTORAQ DELIT KAVDU@ MEDIANU NA OTREZKI, DLINY KOTORYH OTNOSQTSQ KAK2 : 1, S^ITAQ OT WER[INY, IZ KOTOROJ ONA PROWEDENA.RIS. 3.7 A dOKAZATELXSTWO RIS. 3.7 BsM. RIS. 3.7 A. rASSMOTRIM W 4ABC MEDIANY AD I CF . w SILU TEOREMY 2 ONI (KAK OTREZKI) PERESEKA@TSQ W NEKOTOROJ TO^KE O. sOEDINIMOTREZKOM TO^KI D I F .

pOSKOLXKU AD I CF | MEDIANY, TO^KI D I F| SEREDINY STORON BC I AB , A POTOMU DF | SREDNQQ LINIQ 4ABC . wSILU TEOREMY 3 (SM. NIVE P. 3:7) DF k AC I jDF j : jAC j = 1 : 2. tAKKAK (DF ) k (AC ) I TO^KI C I F (A POTOMU I LU^I AC I DF ) NAHODQTSQW RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD), TO \ADF I \DAC| WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE UGLY PRI (DF ) k (AC ) I SEKU]EJ (AD),A W SILU SWOJSTW PARALLELXNYH PRQMYH (SM. NIVE P. 3:5) \ADF = \DAC .aNALOGI^NYM OBRAZOM POKAZYWAETSQ, ^TO \DF C I \F CA | WNUTRENNIENAKREST LEVA]IE UGLY PRI (DF ) k (AC ) I SEKU]EJ (CF ), SLEDOWATELXNO,\DFC = \F CA.

iTAK, 4FOD 4AOC (PO DWUM UGLAM). sLEDOWATELXNO,jAOj jCOj jAC j 22jADjjODj = jOF j = jF Dj = 1 ) jAOj = 3 .aNALOGI^NYM OBRAZOM, PROWODQ TRETX@ MEDIANU BE , MY DOKAVEM, ^TO ONAPERESE^ETSQ, NAPRIMER, S MEDIANOJ AD W TAKOJ TO^KE O0 , ^TO jAO0j == 2jADj : 3. sLEDOWATELXNO, jAO0j = jAOj ) AO0 = AO, A POTOMU TO^KI O IO0 SOWPADA@T. iTAK, WSE TRI MEDIANY 4ABC : AD; BE; CF PERESEKLISX100AOj = jCOj = jBOj = 2 .O TO^KE O (SM.

RIS. 3.7 B) I jjODj jOF j jOE j 1zAME^ANIE. mOVNO DOKAZATX, ^TO O | WNUTRENQQ TO^KA 4ABC . tEOREMA4 POLNOSTX@ DOKAZANA.rASSMOTRIM NEKOE OBOB]ENIE TEOREMY 4 NA SLU^AJ TREUGOLXNOJ PIRAMIDY.pUSTX ABCD | TREUGOLXNAQ PIRAMIDA, A | EE WER[INA, PROTIWOLEVA]AQ GRANI (BCD), A0 | TO^KA PERESE^ENIQ MEDIAN GRANI (BCD); B | EEWER[INA, PROTIWOLEVA]AQ GRANI (ACD), B 0 | TO^KA PERESE^ENIQ MEDIANGRANI (ACD); C | EE WER[INA, PROTIWOLEVA]AQ GRANI (ABD), C 0 | TO^KA PERESE^ENIQ MEDIAN GRANI (ABD); D | EE WER[INA, PROTIWOLEVA]AQGRANI (ABC ), D0 | TO^KA PERESE^ENIQ MEDIAN GRANI (ABC ).bUDEM NAZYWATX OTREZKI AA0 , BB 0 , CC 0, DD0 MEDIATRISSAMI TREUGOLXNOJ PIRAMIDY ABCD.tEOREMA 40 .

mEDIATRISSY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE, KOTORAQ DELIT KAVDU@ IZ NIH NA OTREZKI, DLINY KOTORYHOTNOSQTSQ KAK 3 : 1, S^ITAQ OT WER[INY, IZ KOTOROJ ONI PROWEDENY.RIS. 3.8dOKAZATELXSTWOsM. RIS. 3.8. w GRANI (ADB ) PROWEDEM MEDIANY AG I DF , C 0 | TO^KAIH PERESE^ANIQ. w GRANI (CDB ) PROWEDEM MEDIANY CG I DE , A0 | TO^KAIH PERESE^ENIQ. w PLOSKOSTI 4AGC BUDUT PROHODITX MEDIATRISSY AA0 ICC 0. pOSKOLXKU SOGLASNO TEOREME 4 AC 0 = 2AG=3, CA0 = 2CG=3, TO^KI C 0 I A0 QWLQ@TSQ WNUTRENNIMI TO^KAMI STORON SOOTWETSTWENNO AG ICG.

sTALO BYTX, PO ANALOGII S RASSUVDENIQMI A DOKAZATELXSTWAH TEOREM2 I 3 DOKAZYWAETSQ, ^TO MEDIATRISSY AA0 I CC 0 BUDUT PERESEKATXSQ WNEKOJ TO^KE O. rASSMATRIWAQ TREUGOLXNIKI 4C 0DA0 I 4F DE , POLU^AEM,^TO ONI0 PODOBNY0 , POSKOLXKU IME@T OB]IJ UGOL \F DE I SOGLASNO TEOREMEjC Gj = jA Gj = 2 . sTALO BYTX, \A0 C 0G = \EF G, A POSKOLXKU \TI4jFGj jEGj 3101UGLY QWLQ@TSQ PRIPRQMYH (C 0A0 ) I (EF ), POLU^AEM IH PARALLELXNOSTX00jC A j = 2 . pOSKOLXKU W SILU SWOJSTW SREDNEJ LINII TRE(C 0 A0 k EF ) IjFE j 3UGOLXNIKA AC k EF I EF = AC=2 SOGLASNOOTNO[ENI@ TRANZITIWNOSTI0A0j jC 0A0 j jF E j 2 1 1jC00PARALLELXNOSTI PRQMYH C A k AC I jAC j = jF E j jAC j = 3 2 = 3 .sTALO BYTX, W SOOTWETSTWIIS TEORIEJ PODOBIQ TREUGOLXNIKOW 4OC 0A0 0j jOA0j jC 0A0 j 1jOC 4OCA I jOC j = jOAj = jAC j = 3 .