Минорский - Высшая математика, страница 8

279. Написвть уравнение окружности, пивметром которой с.тужит отрезок прямой х + у = 6, отселенный гиперболой ху = 8. Пснт1)пить ьке Т1ьи линии. 288. Точка Л вершина пврвболы у = хз+бх+5, ХЗ точка пересечения параболы с ос:ьиь Оус Написать урввнение перпендикуляра, восставленного из середины отрезка ЛВ. 281. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и отсеквюшей па ней отрезок — 4, в яв оси Оу отрезки 1 и — 1.

Укезанне. Уравнение параболы должно иметь вид х = аль~ + е 1почему'). 282. Построить по точкам пересечения с осими координат пвраб оды: Ц;5у — 9 — хз; 2) ут = 9 — Зх; З5 у~=4+и: 4) х~=4+2у. 283. Написать уравнение геометрического места точек ЗХ(х: у), отношение расстонций от которых до точки Хг(4: 0) к рвсстояниям до прямой х = 1О равно 1/2. 2 14. Смешанные задачи на кривые второго порядка 284.

Написать уравнение окружности, диаметром ксиорой слух у жит отрезок прямой — + — ' = 1, отсеченный осями координат. а 5 285. Найти расстояние от центра окружности ьгт + уз + ау = 0 до прямой у = 2(а — х). 286. Через центр окружности хз + ут = 2ах проведспв прямая, параллельная прямой .г + 2у = 0 и пересекающая окружность в точках Л и В. Найти плошадь слАОВ.

287. Покззвть, что геометрическое место точек ЛХ, которые удзлены в т, раз дальше от данной точки А, чем от другой данной точки В, есть пряльая при ьл = 1 и окружность при ьгь ф 1. 288. Отрезок АВ разделен нз части АО = а, и ОВ = 5. Показать, что геометрическое место точек, из которых отрезки ЛО и ОВ видны под равными углами, есть пряльая при а = 5 и окружность при а, ~= 5 (вььоььльониевьь окружность). Э 14.

Смешанные задачи на кривые второго по!лидка 39 289. Определить траекторию точки л!Х(х; у), движущейся гак, что сумма квадратов расстояний от нее до прямых у = Йх и у = — ух осгаелся постоянной и равной а . 290. Эллипс, симметричный относительно оси Ох и прямой х = — о, праха сит через точки ( — 1: !. 8) н ( — 5; 3). ) !вписать уран- пение эллипса и построить его, 291.

Найти плоьцадь равностороннего треугольника, вписан- ного в гиперболу т, —. у~ = а~. 292. Найти угол между диагоналями прямоугольника, вершины которого находятся в точках пересечения гкшнпса хх + Зут = 12!т лл ьиьлербсьлльь х2 Зут 612 293. Окружность с центром в начало координат проходит че- рез фокусы гиперболы х~ — у = ал. Найти точки пересечения окружности с асимптотами гиперболы.

294. Построить гиперболы ху = — 1 н хх — ут = 6 и найти площадь ь'..ьЛВС, где Л и В вершины двух пересекающихся ветвей гипербол, а С точка пересечения двух других ветвей гипербол, 295. !!оказатгч что произведение расстояний ллобой точен гиахьот перболы от ее аспмптот есть величина постоянная, равная сл 290. Найти длину и уравнение перпендикуляра, опушенного ,з из фокуса параболы у = — на прямую, отсеканльльую на осях координат отрезки а = 6 = 2.

297. 11остроить эллипс хт + 4ут = 4 и параболу хт = бу и найти площадь трапеции. основания ли которой служат болыная ось эллипса н общая хорда эллипса и парабольл. 298. Из фокуса параболы у = 2рх, как из центра, описана т окружность лак, чло общан хорда кривых одинаково удалена ог вершины и от фокуса параболы. Написать уравнение окружности. 299. Найти длину и уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины параболы Ьу = хж+2ах+ат+от на прямуьо, отсеканлшую на осах координат отрезки а и !ь 300. 11остроить по точкам пересечения с осями коордьлнат па- раболы 4у = 12 — хз ьл 4х = 12 — уэ и найти дльлпу их общей хорды. 301. Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках пересечения параболы у =- 4 — хж с осью Ох н с прямой у = Зх.

302. Написать уравнение окружности, проходящей через на- Х чало координат и через точки пересечения параболы у = а — 2х+ а с осами координат. 10 Гл.!. Ана.тити таская гсомстрия иа плоскости 303. Дан эллипс ил+ 4у = 16. Из его вершины Л(4: 0) проведены всевазл|ожные хорды. Определить гсаллстричаскас места середин этих хард и построить кривые. 304. Определить траекторию тачшз |1ст'(х; у), движущейся так, что разность квадратов расстояний ат нее до биссектрис координатных углов остается равной 8.

305. Составить уравнение геометрического места пентров окружностей, проходящих через точку .413; 4) и касакпцихся аси О г. 308. Выделением полных квадратов и переносом начала упростить уравнение линии хз — уз — 4х — бу — Π— О. Построить с:тарые и новые оси каардина| и кривую. 307. Найти геометрическое места середин факальных радиусвсктаров, правсдешзых |л,з краина фокуса ка всслз инкам гипер- .

2 2 балы — — — = 1. 0 16 308. Написать уравнение эллипса. проходящего через точку ,4(а: — и), если фокусы его находятся в точках Г)а:, сс) и Гт ~ — а: — а). Упростить уравнение поворотам осей координат на 45'. 1 309. Павараталз осей координат на угол ~р — агс18 — упростить 2 ' уравнсние:шнии Зхз+8ху — Оуэ = 20. Построить старые и новые аси координат и кривую. 310. Написать уравнение гс сзлзст1шчсгкога лтс ста точек, разность квадратов расстояний ат которых до прямой Зх + 4у = 0 и до оси Ох остается постоянной и равной 2, '1.

311. Написать уравнение геометрического места точек Ю(х; у), ,/ р отношение расстояний ат которых да точки Р')л; 0 и расс:+1 стояниям до прямой х =— р равна с. г(с + 1) 312. Построить области, координаты точек которых удавлствар|иат неравенствам: 1) |12<,2+ 2< 1Нз 2> с!2 2) хз ут>азихз<4аэ. 3) х1с > а и ~х+ у~ < 4а; 4) 2х < уз + 4у и хэ + дэ + 4х + 4у < О. 315. Общее уравнение линии второго порядка 1'. Л и пи е и от о р а г а и а р я д к а называется линия, определяемая уравнением 2-й степени, которое в общем виде лыжне написат|, так: 1х~+ 2Вху+ Сзд~+ 20х+ 2Ед+ Р = О, 1З 15.

Обшсе уравяеппс .тинии второго порядка 41 Составим нз коэффициентов уравнения [Ц два определителя: Л В О б= 73~ ~бу, Л= В С: В; О Е Р 2'. Преобразование уравнения (г) к центру. Гсти б = 4 В ф О, то линия имеет центр, координаты которого находятся из уравнений Ф.(к, у) = О, Ф 1гг, гг') = О, 12) где Ф(,с, у) левая часть уравнения (1). Перенеся начато в центр Ог(то, уо) (рггс. 10), приведем уравнение (1) к виду Лат+ 2дтгуг + Суп+ Ег = О, Р) где гх Гг = Ого + Еуо+ Р = —. д И) 3'.

Преобразование уравнения (3) в оснм симметрии. Поворотом осей Огаг и Оггуг на некоторый угол гр (рис. 10) уравнение (3) приводится к каноническому виду: Л,Х +С,1' +Р =О. Ф) Коэффициенты Лг и Сг являются корцяхли уравнения Л вЂ” (Л + С) Л г д = О. Угол поворота гг находится по фору|уле 77 1йр = (6) (7) Опредеггитель гх называегса дггскргг.оонагггпо„гг урааненая (1), а Б дгггкрггоггггоггтои гтортмг еео членов. В зависимости от значений Б и ех уравггение (1) определяет следующий геометрический образ.

42 Гл.!. Аналитическая геометрия иа плоскости 4'. Преобразование уравнения линии второго порядка, по яме юлией центра. Если д = О, го линия нс имеет центра или не имеет опрс,леленного пенгра. Ее уравнение можно тогда записать в виде !ах+ Ву) + 2Ох+ 2Еу+ Е = О. (8) Слу'лай 1. О и Е пропордиопальпы а и В: 1> = лпа, Е = тлВ. Уравнение (2) примет вид (ах -~ Ву)2 + 2т(ах+,Зу) + Е = О, откуда а,с+ Зу = — гп х ъ т~ — Е пара прямых. Слу пай 2.

О и Е пс цропорпиопальны а и,В. Уравнение (8) можно переписать в виде (ах+ Ву+ и) + 2трВх — ау+ д) = О. Р) Параметры гп, и и д найдутся сравнением коэффициентов в уравнениях (8) и (9). Далее, приняв за ось ОлХ прямую сох+ Ву+ п = О, за с'х + Ру + г' ось ОлУ прямую Вх* — ау+ д = О (рис. 11), написал: У = а2+ В2 Вх — а,у+ д Х = ' . После этого уравнение (9) примет вид Уэ = 2рХ, где Я2+В2 Рпс. 11 Рпс. 10 р = ™ . Ось ОгХ направляется в ту потуплоскостль в которой Гга2+ В2 Вх — ау+ д имеет знак, противолголожпый злаку глл, как вто следует из уравнения (9).

313. Выяснить геоьлетрический смысл уравнений: 1) 422 — у2 = О; 2) 422+ уэ = О: 3) т2+ у2+ 2х + 2 = О; 4) 22+ у2 бэ. Пу+ 2о О, ог) э.2+ т.у О. 6) у — 16 = О: 7) х2 — Зху+ 2у2 = О. !д 15. Г)бшсе уравнение линии второго порядка 43 314. Найти центры и преобразовать к центру уравнения линий: 1) 2хд+ Здд — 4х+ бу — 7 = 0; 2) х — д — 4х+2д — 4=0: 3) 2х~+ 5хд+ йуз — бх — Зд — 8 = О. 315. Поворотом осей координат преобразовать уравнения ь каноническому виду и построить кривые: 1) бхз — 4хд+ 2дз = 24: 2) 2хз+ 4хд — дз =.

12. 316. Преобра,ювать к каноническому виду уравнения ц построить кривыс; 1) Зхз — 2я у + Зуд — 4х — 4у — 12 = 0; 2) х — бху+ у~ — 4х — 4д+ 12 = О. 317. Преобразовать к каноническому виду уравнения линий: 1) хз + >!ту + 4уз — 20х + 10у — 50 = 0; 2) хз — 4ту+ 4уз — бх+ 12у+ 8 = 0 и построить их. 318. По днскриминантаы Б и Л определить геометрический смысл уравнений: !) хв — 4ху+ Зуд — 8х + 14у+ 15 = 0; 2) хз + 2хд+ 4уз — 2х + 4д+ 1 = 0; 3) ха + 1ху+ !уз + Зх + бу+ 2 = О.