Минорский - Высшая математика, страница 7

Построить эллипс —. + — = 1, его директрисы и найти 25 9 расстояния от точки эллипса с абсциссой х = — 3 до правого фокуса и правой директрисы. хг л!г 232. Построить гиперболу, — ' = 1, ее директрисы и наупп 16 9 расстояния от точки гиперболы с абсписсой х = 5 до ле<лого фокуса и левой;ялректрисы. 233.

??вписать каноническое уравнение эллипса, директрисами 4 которого служат прямые х = х и болыпая полуось которого м3 равна 2. 234. Написать уравнение гиперболы, всимпготы которой у = = ж х, а директрисы х = ~т<<6. 235. Построить эллипс хг + 4уг = 16, диаметр у = — и сопря- 2 женный еч<у диаметр и найти длины ал и Ьл построенных полу- диаметров.

238. ??остроить гиперболу хг — ?уг = 4, диаметр у = — т и сопрял епньлй ему диаметр и найти угол между диаметрами. х у 237. Найти длину того диаметра эллипса — + — = 1, который аг Ьг равен своему сопряженному диаметру. у 238. Лситлптота гиперболы — = 1 составляет с осью Ох аг Ьг улое< 60'.

Написать уравнение диаметра, сопряженного с пива<стром у = 2х. Выбрав произвольно отрезок а, построить кривую, диаметры и хорды, параллельные данному диаметру. 239. Определить геометрическое место середин хорд параболы уг = 4:е, с<и тввляющих г Ох угол 45'. х уг 240. Дан эллипс — + — = 1.

Через точку ( — 2; 1) провести 9 1 хорду, делящуюся в этой точке пополам. 241. Дана парабола уг = — 4х. Через точку ( — 2; — 1) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам. 242. На примере задачи 235 проверить теорему Аполлония: ал + Ьл — — аг + Ьг и а<блага <Р = аб, где ал и Ьл длины сопри<ко<лных полудиаметров, а и Ь полуоси эллипса, а <р угол между сопряженнытли диамелратли. 243. Написать уравнения касательных к кривы к 1) хг+4уг = 16; 2) 3хг — уг = 3: 3) уг = 2х в точке с абсписсой хо=-. Гл.!. Аиа.тптическая геометрия иа плоскости 244. Показать, что если прямая,4х + Ву + С = О есть каса,г,г тельная к эллипсу — + — ' = 1, то йглг + Вгбг = Сг. аг ег У к а з а н и е. 11з пропорпиональности коэффициентов уравнений хи о ууо ег бг + — = 1 и;1х + Ву + С = О определить хе и уо и подставить ,г г их н уравнение — + — = 1.

'ог уг 245. !!вписать уравпепин касательных к эллипсу г:э+Луг = 20, параллельных биссектрисе первого координатного улла. 246. Написать уравнения касательных к эллипсу ха+ 2д = 8, проведенных из точки (О; 6). х у 247. Написать уравнение касательной к эллипсу + =!, отсеканпцей на осях координат равные положительные отрезки. 248. Показатль ыо если прямая Лх+Ву+С = О есть касатсльт,г пая к гиперболе — — — ' = 1, то йгег — Вгб = Сг (см. указание г !г к задаче 244).

249. Написать уравнения касательных к гиперболе 1хг — 9уг = = 36, перпендикулярных к прямой х+ 2у = О. 250.;!оказаттс что нормаль к эллипсу есть биссектриса угла между радпус-векторами соответствующей точки эллипса. 251. Доказать, что касательная к гиперболе есть биссектриса угла между радиус-векторами точки касания. 252. Доказать, что лучи, выходящие из фокуса параболы, отражаются от параболы по прямым, параллельным ее оси. У к а з а н ив. Нужно написать уравнение нормали Л1Ж, найти точку Х пересечения ее с осью параболы и доказать, что ГЛХ = Г Л', где Г фокус параболы.

х у 253. Найти точки пересечения асимптот гиперболы —,— — ' = 1 16 9 с ее директрисами. 254. Построить эллипс хг + .1уг = 16, его диаметр у = х и сопряженный ему диаметр и найти угол между этими диаметрами. 255. Определить геометрическое место середин хорд гиперболы хг — 4уг = 16, составляющих угол 4бь с осью Ох. 256. Дана гипербола 4хг — уг =- 4.

Через точку 12; 2) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам. 257. На эллипсе хг + 2уг = 6 взята точка ЛХ с ордипатой 1 и отрицательной абсписсой. Найти угол касательной к эллипсу в точке И с прямой ОМ. »з 13. 11реобразоваиие декартовых- координат 258. Показать, что если прямая Лх + Ву + С = 0 есть касательная к параболе уз = 2рх, то Вар = 2ЛС 1см. указание к задаче 2И). 259. Написать уравнение касательной к параболе дз = 8х, параллельной прямой;г+ д = О. 3 13.

Преобразование декартовых координат. Параболы = з+ + и = з+ + Гипербола 1'. Координаты 1х; у) в данной системс преобразуются к лоординатам (Х; У) в новой системс по формулам: Ц пра поразив.«»но.а сдеаге осей и перенесении начала координат н тече»у О»1о; 3) (1) х=Х+а, у=У+3 2) яра яоаороте осей на угол р 12) у = Х ып,р + У соа 9». х = Х сов«р — У ып уй 2'. Уравнение у = а1х — а)з+,'3 переносом начала координат в точку О»1«т; 3) «гривод»»тся л нилу У = аХ и, следовательно, определяет параболу с вершиной Ог (гк 3) и осьл» симметрии, параллельной Оу (р»гс. 8).

Уравнен»ге у = ахх + ух + с ньцелением в правой часттл полного квадрата приводится л предыдугцему и пою ому тоже определяет параболу. При а > О парабола от першины направлена «вверх», при а < О ««»ннз» 3'. Уравнение ху = к при повороте осей координат на угол р = 48» приводится к виду Ха — Уа = 29 и, следовательно. определяет Рис.

9 Ряс. З роьносо«ороняюю еиоербга«у, асимпготамн которой служат оси координат (рис. 9). Уравнение (х — а)(у — 3) = и переносом начала координат в точку 0»1а;,3) приводится к виду Х 1' = У и контачу го»ле определяет ранносторонннло гиперболу. Гл.!. Аиалпти геекая геометрия иа плоскости 260.

1) "1ачка Л(3: 1) при параллельном сдвиг е асей координат получщт поные координаты !2:, — 1). Построить данные и смеп5еяные оси координат и точку А. 2) Найти острый угол поворота осей координат, прп котором точка Л(2; 4) получит новую абсписсу 4. Построить оое системы координат и точку А. 261. Перенесением начала координат упростить уравнения: ) + ~ + 1)~ 1 2) ~ + 4 У 9 1 3) (Ч+ 2)2 = 4(х — 3); 4) 2у = — (х+ 2)2„ 5);гт 4-4ут — бх ~- Зу = 3: 15) уз — Зу = 1х: 7) хв 4уз+йх 2,1у 24.

8) ха+Ох+5 2у Построить старые и новые оси координат и кривые. 262. Поворотам осей координат яа 45' упростить уравнения: 1) 5х~ — бху+ бу~ = 32; 2) Зхт — !Оху+ Зу~+ 32 = О. Настроить старые и новые оси координат и кривые. 263. Построить по точкам кривую ху = — 4 и поворотом осей на угол у = — !5' преобразовать уравнение. 264. Переносом начала координат привести к виду ху = 1 уравнения кривых: 1) ху — 2х = 6; 2):гу — 2х — у+ 8 = 0; 3) ту — т+ 2у = 6; 4) ху+'2:г = Зу.

Указание. Уравнение ху+ Ах+ Ву+ С = О можно написать в виде (х+ В)(у+ Л) = Л — 6. 265. Построить параболы: 1) у = (х — 2)з; 2) у = (х — 2)т+ 3; 3) у = (х+ 2)з; 4) у = (х+ 2)т — 3. 266. Построить параболы: Ц у=из — 4х+5; 2) у=х~+2х+3; :5) у = — хт + 2т, — 2, выделив в правых частях уравнений полные квадрапд. 267. Настроить параболы: 1) у = 4х — хт н 2) 2у = 3+ 2т, — хт, найдя их точки пересечения с осью О:г. 268.

Струя воды фонтана достигает напбольщей высоты 4 ьг на расстоянии 0,5 м от вертикали, проходящей через точку О выхода струи. Найти высоту струи над горизонталью Ох на расстоянии 0,75м от точки О. Лз 13. 11реобразоваиие декартовых координат 269. Наставить уравнение параболы, симметричной относлпельно осп Оу н отсекающей на пей отрезок б, а на осп Ох отрезки а и — и,.

указание. В уравнении параболы вида у = А:ег+ Вх+ С 1гали ставить координаты данных на параболе точек ( — а; 0), (а; О) и (О; 6) и затем найти А, Б и С. 270. Парабола у = ахг + Ьх + с проходит через тачки О(0; 0), А( — 1; — 3) и Л( — '2; — 4). Написать уравнение окружности, диамет- ром которой служит отрезок оси Ох, отсеченный параболой. 271. На какой угол нужно повернуть асн координат, чтобы ис- чез член, содержащий ху, в уравнениях: 1) хг .гу+ уг 3 О.

2) -,хг,1ху+ 2уг 24 02 Построить старые и новые оси координат и кривые. 272. Определять траекторию движения пули, брошенной под уллом,е к горизонту с начальной скоростью е„. Определить также дальность полета пули и наивысшую точку траектории (сопратгл- влением воздуха пренебречь). 273. Написать уравнение геометрического места точек Л1 (х: у), отношение расстояний от которых до точки 1-'(4: 0) к расстояниям до прглллойл х = — 2 равно 2. 274. Показать, что переносом начала координат в левую верх2 92 шипу гпшнпса — + — ' = 1 илн в правую вершину гипербо,ды аг 1,г х у — — — = 1 оба уравнения приводятся к одинаковому виду: у г аг бг Ьг = 2рх + (1хг, где р =, а Ч = е2 — 1, 275. По результатаъл задачи 274 определить эксцентриситет и 2 2 2 2 тпп крллвой: 1) уг = т,— — хг; 2) уг = х+ — хг; 3) уг = х.

Построить кривые, найдя длп первых двух точки пересечения их с осью О.е и параметры а и б. 276. Выделением по:шых квадратов н 1лереносолл начала координат упростить уравнения линий; 1) 2х2 + 5уг — 122 + 10у + 13 = О; 2) тг — уг+ бх + 4у — 4 = 0; 3) уг+4у = 2.г; 4) хг — 10х = 4у — 13.

Построить старые и новые оси и кривые. Гл.!. Аиа.тити легкая геометрия иа плоскости 277. Поворотом осей координат нв 45 упростить уравнение Зх — 2ху+Зу — 8 = О. Определить координаты фокусов в старой 3, 3 системе координат. 278. Нвписвть урвши*иве окружности, диаметром которой служит отрезок, отсекаемый на осн Ох параболой у = 3 — 2х — хз. Построить обе кривые.