Минорский - Высшая математика, страница 6

бг 197. Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой составляет с вещественной оськ> угол: !) 60', 2) о. 198. Определить область расположе- ния кривой у = -~/9 + хг. Построить . Ул криву ю. 199. Определить траекторию точки ЛХ(х; у), кото!тая нри своем движении остается вдвое ближе к примой х = !, им к танте Г(сР О) о а .

200. Даны точки А( — 1: О) и В(2; О). Точка ЛХ движется так, что в ХтАЛХВ Ь угол В остается вдвое больше угла А. Определить траектории> движения. 201. Дана точка А(а; О). По оси Оу двил~ется точка В. На прямой ВХ',, параллельной Ох, откладываются отрезки Рнс. 3 ВЛХ и Е1Л(т, равные АВ. Определить геометрическое место точек ЛХ и ЛХы 202.

Даны прямые х = ~б и х = жа (б ( а). Произвольный луч ОА (рис. 3) пересекает прямую х = б (или х = — !г) в точке В и прямую х — а (или х = — а) в точке А. Радиусом ОА описана дуга, пересекающая О:с в точке С. Из точек В и С проведены прямые, параллельные соответственно Ох и Оу, до пересечения в точке ЛХ. Определить геометрическое место точек ЛХ. 203. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния от одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1. з 1!. Парабола 204. Найти тачки пересечения асимптат гиперболы лэ — Зуз = = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы лл прахадящей через начала каардллнат. 205.

Гипербола проходит через тачку Л1(6; 3тт,'л12), сллммегрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось а = 4. Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из левага фокуса гиперболы на ее асимптаты. 200. На гиперба.ле Плв — 16ув = 144 найти тачку, расстанпие ат катаре)й да левага фокуса вдвое иелльше, чем да правого. 207. На липербале лз — уз = 4 найти тачку, фекальные радиус- векторы катарай перпендикулярны (см. указание к задаче ) 84). 208. "Гочка л)4 делит расстояние между факусамн гиперболы Пжз — 1буэ = 144 в отношении /''!ЛГ; Л4В = 2: 3, где В! левый фокус гиперболы.

Через тачку ЛХ проведена примни пад углом 165е к аси Ол. Найти тачки перел ечепия этой примой с асимпгатами гиперболы. 209. Определить траекторию точки М, которая движется так, чта остается вдвое дальше ат точки Г( — 8: О), чем ат прямой ж = — 2. 210. Даны точки Л( — а: О) и В(2а; О).

Тачлла Л4 движетсн так, лта угад 1ИАВ остается втрое меньше внешнего угла .4ЛХС треугольника т1МБ. Определить траектарила движения тачки ЛХ. 9 11. Парабола П арабо пой па;лывается гео.иетрпческое.иет:тна итачск, одинаково удпи~ нных ою данны! тоти (фокуса) и данное нраиои (директрисы). Бононичеекае уравнение параболы пасет два аида: ) ) уа = йри парабола симметрична относительно асп Ок (рис.

4); 2) лх = 2ру параба,ю симметрична атнасигельна аси Оу (рис. б). к еа. е ; у) Директриса Рис Б Рис. 4 13 абаих случаях ес!линна параболы, т. и. тачка, леи~алллая на аси симметрии, находится в начале каардинат. Гл.!. Аналххти лаская геометрия =а плоскости Парабола уэ = 2рх имеет фокус Г ~ —; О) и директрису х = — —; фекальный радиус-вектор ,хр л р ~2' ) 2' то'ши ЛХ(х; у) на ней г = х + —. р 2 Парабола 2 имеет фокус Р (О; —,) и директрису у = — —; фекальный радиус-вектор рл . р '2) ' 2' то'ши х!4 (лб ЛХ) на ней 7' = у + —.

р 2 211. Составить уравнение геометрического месха точек, одинаконо удаленных от точки Ел(0; 2) и от пряллой у = 4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее. 212. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой х = — 4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат н построить ее. 213. Построить параболы, заданные уравнениями: !) уз =:!т; 2) уз = — 4х; 3) хз = 4у; 4) хз = — Еу, а также их фокусы и дироктрисы и написать уравнения директрис. 214.

Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки (О; 0) и (1; — 3) и симметричной относительно оси Ох; 2) проходящей через точки (О; 0) и (2; — 4) и симметричной относихедьно оси Оу. 215. Канат подвесного моста имеет форму параболы (рис. 6). Написать ее уравнение относительно указанных на чертеже осей, если прогиб каната ОЛ = а, а длина пролета ВО = 2Еь 216. Написать уравнение окружности, имеющей пентр в фокусе параболы уз = 2рх и касаюшейлсп ее директрисы.

Найти точки пересечения параболы и окружности. 21л. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечении прямой х + у = 0 н Рнс. Е окружности х~+ у~+ 4у = 0 и симметрична относллтельно ослл Оу. Построить окружность, п1лямую и параболу. з 1!.

Нарабола 218. На параболе дг = бх найти точку, фокдльпый радиусвскхор которой равен 4!5. 219. Зсркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг се оси симмстрии. Диаметр зеркала 80см, а глубина его 10см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей парюиельным пучком он должен быть в !)!опусе параболы? пг 'чг вз в! 220. Определить область расположания кривой у = -~/ — х. Построить кривую. 221.

Из вершины параболы у = д4 = 2рт, проведены всевозможные хор- дб ды. Написать уравнение геометриче- дл ского места с!редин этих хорд. 'хг 222. Опрсдслить геометрическое место ценхров окружносхсй, касаю- ! шихся окружности юг + уг = 2а!г, и оси Оу. о х 223. Даны точки 4(0; а) и В!а: а).

Рис. 7 Отрезки ОЛ и ЛВ разделены на и, равных частей точками Лх, Аг, Аз, ... и Вх, Вг, Вз.... (рис. 7). Пусть ЛХь — хочка пересечения луча ОВь с прямой АлЛ1ь~ Ох. Показать, что такие точки !1/ь лежат на параболе у = хль Настроить 2 этим приемом параболы у = 4х, у = 5л! у = Зт,. 224. Составить уравнение геометрического места точек, о,!инакова удаленных от начала координат и от прямой х = 4. Найти точки псрсссчсния этой кривой с осями координат и построить ее.

225. Составить уравнение гсометричсского места точек, одинаково удаленных от точки Г(2; О) и от прял!ой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с От, и построить ее. 226. Написать уравнение параболы: !) проходя!пей через тачки (О; О) и ( — 1; 2) и симметричной относитсльна аси Ол; 2) праходшпей через точки (О! О) и (2;:!) и симметричной относите.льна оси Оу. 227. Написать ураны ние параболы и ес директрисы, если парабола проходит через точки пересечспия прямой у = л и окружности лг + уз + бж = 0 и симлхстрична ахноситсльно оси Ол.

Построить прямую, окружность и параболу. 228. В параболу уг = 2л вписан правильный треугольник. Определить его вершины (сл!. указание к задаче 173). 229. Написать уравнения касательных к параболе уг = бж, проведенных из точки А(0; — 2). Гл.!.

хгпаяптпчсская геометрия яа плоскости 230. Через фокус параболы уг = — йх проведена прнмвя под утлом 120 к оси Ох. !!вписать уравнение прямой н найти д.гину образовавшейся хорды. 2 12. Директрисы, диаметры и касательные к кривым второго порядка г гг !и. Директрисами гллипса — + — ' = 1 (при а ) 6) и гиперболы г 1г ..г г = 1 называ~отся прямые, параллельные оси Оу и отстоящие от аг Ьг нее на расстояние —.

где е зкспентриситет кривой. Уравнения директрис: х = ж —. (1) е Свойство директрис: отношение расстояний от точки криоой до фокуса и до соотоетсигвующсй директрисы росно ексиснтрисшислоу красой — = с. Р) 2'. Диаметром кривой второго порндка называется еео.исгнущческое .кесто середин нараааельных горд. Диаметртди аллииса и гиперболы оквзынак>тся отрезки и лучи прямых, прохощппих через дентр, а диаметрами параболы лучи, параллельные ее оси. Уравнение диаметра. делящего пополам хорды с наклоном гд о = Й, будет .г г для кривых х = 1; аг Р 1,г у=т ага !Д) для параболы уг = 2рх: у: Н) Два диаметра аллипса и гиперболы, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому, пазываготся азаипно сонряпеснныпи.

Их угловые козффициеггты !. и Аг связаны зависимостью Ыг = 1г гг (у заливов) и Рйг = (у гиперболы). аг ' '" ' аг 3'. Уравнения касательной: к параболе !у точка касанигг. /,,г к зллипсу 1 — + ,гг /хг к гиперболе 1 ~,аг у з) ххо ууа г — =1 + — '' =1: Р У аг Р уг г ' 'в ууо =- 1) ьг ) аг ьг 2рх) ууо = р(а+хо) гле (:го1 уо) Л< 12. Директрисы, диаметры и касательные к кривым 2-го порядка 33 хг,г 231.