Минорский - Высшая математика, страница 10

з 18. 3)ланецендентные кривые 359. Построить кривые: ,з )) д = (писсоида, рис. 85. с, 335); 2) д = ' (локон, рис. 76, с. 333). х +:)и 360. Каждан точка Хл!хо, до) параболы дэ = 2рх смещена параллельно оси Ох на расстояние 1'ЛХ = тОР. Найти геоллетрическое место точек ЛХ. 361. Птерллень ОЛ = а врашается вокруг начала координат О. Н точке А к нему прикреплен шарниром стержень ЛИ = 2и, консц которого скользит по Ох. Написать уравнение линии, которую будет описывать при этом середина ЛХ отрезка АВ. 362. Циссовда. Произвольный луч ОЛ (рпс. 85, с. 335) пересекает окружность х~ + д~ = ат в точке Л и прямую х = а в точке В. На дуче откладывается отрезок ОЛХ = АВ.

Поставить уравнение лоометрического места точек ЛХ. 363. Произвольный луч ОВ (рис. 85) пересекает прямую х = а в точке В. С проекция точки В на ось Од и Л1 проекция точки С на прямую ОВ. Показаттч что геометрическое место точек ЛХ есть циссоида. 364. Если из вершины параболы дз = — )ах опускать перпендикуляры на касательные к этой кривой, то геометрическим местом оснований перпендикуляров будет циссоида.

Доказать. 365. Локон. Произвольный луч ОА пересекает окружность хэ + дз = 2ад и прямую д = 2а в точках А и В, из которых проведены прямые, параллельные соответственно оси Ох и оси Оу до пересечения в кочке ЛХ. Определить геоллетрическос место точок Л1. 366.

Декартов лист ха+ да — Захд = !). Показать, что это уравнение поворотом осей координат на 45' приводится к виду Х~(36 — Х) а, Рх =, где 6 = —. Построить кривую, определив в 3(6+ Х) ' л22 новой системе координат область расположения кривой и ес симметрию, точки пересечении с прямой д = х (т.

с. с павой осью ОХ) и асимптоту. Показать, что уравнение асимптоты в новой системе координат будет Х = — 6, а в старой х + д+ и = О (ель рнс. 79, с. 334). 3 18. Трансцендентные кривые 367. Ци ало ида. Круг радиуса и катится по прямой ОХ без скольжения. Поставить параллетрические уравнения кривой, описанной точкой ЛХ окружности, приняв за параметр ! угол поворота 30 Гл. !. Аналитическая гсомстрпя ва плоскости катящегося круга и пололлив, что прп ! = 0 точка ЛХ находитсн в начале координат.

368. Развертка круга. Нитлч намотанная ца окружность т~ + у = аз, разматывается, оставаясь натянутой. Составить параметрические уравнения кривой, описанной концом нити, если вначале конец нити находится в точке (а: 0). За параметр ! припять длину смотанной дуги (в радиусах). 368. Евадрат рис а. Произвольный луч ОЛХ, состав.пнощий с осью Ой угол ! (в радианах), пересекает прямую т, = а! в точке ЛХ. Написать уравнение геометрического места точек ЛХ. 370. Э пи ци клоид а. 1Хруг радиуса г катится без скольжения по кругу радиуса Й снаружи его.

Составить параметрические уравнения кривой, описанной точкой ЛХ катящейся окружности. (При г = Л эпициклоида обращается в к а р д и о и д у. См. задачу 347.) 371. Г и п о ц и к л о и д а. Круг радиуса г катится без скольжения по кругу радиуса П > г внутри него. Составить параметрические уравнения кривой, описанной точкой ЛХ катящейся окружности. (При г = Л/'! гипоциклоида обрапщется в а с т р о и д у,гзуз + + 2/3 ' Хз ) Глава 2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В1. Сложение векторов.

Умножение вектора на скаляр 1'. Опрсделсния. Бсктором называется направлспяый отрезок — > Л В (рис. 13), в котором точка А рассматривается как начат, а точка су как кослссп. Вектор обозначается н.ш указанном сто начала и канна Л!з со стрелкой наверху, или одной какой-нибудь буквой, выдслслшой полужирным шрифтом, напримср а. !1Ходсрль (длина) асктора обозначается (АА), илсл а), или АВ, или а.

Вскторы, параллсльпыс одной прямой, называются ьоллипсарпьсли. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарпыла. Два вектора а и Ь !рис. 13) называются роьнылп, стли оии: 1) имспгг рванью модулю 2) кол,пснсарпы; 3) направлсны о одну сторону. 2'. Умно мснггс всктора на скал яр. Произосдсписьв вектора а па число (скаляр) т называется новый вектор, имеющий длину ссссо и направленный одинаково с а (при сп > О) вли прогнссопотпкно а (слрлл т ( О). 3'. Сложение во кторов. Оув вой вскпсороо а+Ь+с называется всктор лт.

= ОО (рис. !4), замьпсанппкй ломаную ОАВО, построенную О и С Рис. 14 Рис. 13 из данных векторов. В частности, в параллелограмме, построенном на данных векторах О 4 = а и Осз = Ь, одна вектор-диагональ Ос, есть сумма а+ Ь, а другая В.4 есть разность а — Ь данных векторов. 4'. Про с кция вектора на ось. Пусть вслстор а составляет угол <р с оскал Ол.

!слла проскйол ссскспора па згссу ось опрсдслястся форму.сой пр а = а! соа со = а соа )а, Ол). Рл,2. Векторная алгебра Йроскцил сунны сспсчоров на ось росна суха( проекций составляющих векторов на ту же освс пр 1а+ Ь) = пр,а+ пр Ь. 372. По сторонам Г)Л и Г)В прямоугольника ОАСВ отлолссны единичные векторы 1 и 3 (рис. 15).

Выразить через 1 п 3 векторы в м ( Г)А, АГ, СВ, ВГ), ОГ," и ВА, если ОЛ = 3 и — — —,— à — с ОВ =4. 373. Пусть на рис. 15 ЛХ середина ВС и М середина АС. Определить векторы ОЛу., ОЛ( и ЛХп( при ОА = 3 и ОВ = *1. ж 374. На плоскости даны точки А(0: — 2), В14; 2) и С14; — 2). И начале координат приложены силы ОА, ОВ и ОГ:. Построить их 1 равнодействуюгцую ОЛЛ4, найти ее проекции о д на оси координат и величину.

Выразить сиРис. (5 лы Г)т1, ОХт, ОГ: и ОЛ' через единичные век- торы 1 п 3 координатных осей. 375. Даны три компланарпых единичных вектора ш, и и р, причем 1ш. и) = 30~ и 1йр) = 60~. Построить вектор и = ш + + 2п — Зр и вычислить его модуль. У к а з а и и е. В ломаной построенной из векторов ш, 2п и — Зр, продолжить первое звено до пересечения с третьим. 376. Проверить аналнтическн и геометрически векторные тождества: Ь вЂ” а а+Ь а+Ь а — Ь 1)а+ =; 2)а— 2 2 ' 2 2 — > 377. На трех некомпланарных векторах ОА = а. ОВ = Ь и ОГ = с построен параллелепипед. Указать те (го вектор-диагонали, ко(орые соответственно равны а+ Ь вЂ” с, а — Ъ+ с, а — Ъ вЂ” с и Ь вЂ” а — с. 378.

О помогцыо чертежа задачи 377 проверить переместительное свойство векторной суммы а + Ь вЂ” с = а — с + Ь = Ь + а — с = Ь вЂ” с + а. 379. Даны векторы ОА = а и Г)Х) = Ь. Вектор ОС = с медиана схОАВ. Рвало(вить аналитически н геометрически; 1) вектор с по векторам а и Ь; 2) вектор а по векторам Ь и с. 380. В прямоугольнике ОАСВ (рис. 15) ЛХ и Х середины сторон ВС = 3 и ЛС = 4. Разложить геометрически и аналити- — — — > чески вектор ОС вЂ” с по векторам ОЛХ = а и Оту = Ь. У к а з а н и е. В условие с = та + пЬ подставить выражения а, Ь и с через 1 и 1 и сравнить козффициепгы слева и справа при 1 и 1. 'з 2. Лрямоутольные поордннвты точктт н векторе в прострънстве 53 381. Дпн правильный шестиугольник ОАЛСХдЕ со стороной ОЛ = 3. Обознвчив единичные векторы нвпрввлений ОЛ, ЛЛ, ИС через ит, и и р, устаяовить зависимость между ними (ттаттример, рзссмотрением трзпептти ОЛБС). Выразить затем через ш и и векторы ОХХ, ЛХ.', Ест, От'.т и Хт:1.

382. В равнобедренной трапеции ОАСЛ (рить 16) уптл ЛОЛ = = 60~, ОЛ = ЛС = С4 = 2, ПХ и У середины сто!)он ЛС и АС. ВьтХттвзттть векторы АГм 01', Отт и Ъ|тт через ти и и единич— 1 ные векторы направлений Ол и ОЛ. Ф 383. Дзны векторы а и Ь, угол 60 между которыми 120'. Построить вектор с = 2а — 1, оЬ я определить его А модуль, если а =- 3 н )т = 4. Ряс. 16 384.

Нв плоскости даны точки Л(3; 3), Л( — 3, :3) и С( — 3; О). В начале координат приложены силы 0 1, ОЛ и ОС. Построить равноттействующуто ОПХ, пойти ее проекции нв оси коор,тинвт н величину. Выразить силы ОА, ОЛ, ОС и От11 через единичные векторы т и т координатных осей. ˄— ~,Х 385.

1) В трапеции ОАСЛ имеем ЛС = ОА/3 и 11СООЛ. Рвзложить геометрически и апзлитическн вектор 0 А = а по векторам ОС = с и ОХ) = Ь. У к я з е н не. Из Е ОЛС можно с выразить через Ь и в и зятем решить полученное уравнение относительно в. 2) '!'очка Л де.нлт дугу окружности ЛС= 90 в отношении 1: 2. 0 центр окружности. 1'взлолить вектор ОС = с по вектарвм Оут = а тт ОХ) = Ь.

32. Прямоугольные координаты точки н вектора в пространстве 1~. 0 и р с д е л е н и с. Пусть лены три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом О и дене точка Я (рис. 17). ГХросклпп сс РодпУс-Ясктоуа Оттт = г нв оси кооутипет 03Хт = в, Отруз = У н ОМз = - ттвзыввпттстт ттрвветуео.тенет.тттт ьоордояотттпло точки 31 нлн векторе г = тд 1т. 2'. Радиус-вектор точки в пространстве.

ЛХодузь или длина ридпус-есктворо ОАт = г: ° —,/Р+ е + е Гл. 2. Векторная алгебра Единичные векторы координатных осей 1, 1 и 1с называются орта.ми. Радиус-вектор выражается через орты: г = х)+ ул + 2!с. (2) 3'. Вектор, заданный координатами начала и конца. Пусть ,лапы точки А(хл.', ул, 21) и 71(хг! у2! -2).

Проекции вектора и = Алл на оси координат будут: пр„АА = Х = пр„Аут = У = у, — ул !3) Рнс. 17 ИР -'4лл — д — 22 21. л-' Ыожно написать формулы, аналогичные формулам (1), !2): ° = лл. лУ' ° л = ( — В' ° а,— г,е ° Е,— Е', (л) и = Л ллл = Х ! + Ул+ Лс. !6) углы лектора и = Лтл с осями координат, то Х У Х саво= —, говд= —, сова = —, м о' ц Если о,,д и., (6) причем сов о + сов,З + сов 7 = 1, !7) т. е. сум,оа ландратов ллаправ„лвмелцих носннусов вектора раюла 1. Из формул (4) (6) следует, что вектор и аполне опреде.ляется тремя числами: Х, У и Я его проскпиями или его ноордпнатами. Повтому иногда пишут или говорят: дан вектор иллХ: У; о).

386. Построить точку АХ(5; — 3: 4) и определить длину и направление ее радиус-пектора. 387. Построить вектор г = Олгл = 21 + 31 + 6!с и определить ЕГО .ляпну и наираВЛЕниЕ (ПрцпгритЬ ПО фОрмуЛЕ СОВ О + СОВ П + + совз"; = 1). 388. Вектор состапляет с осями Ох и Ох углы 40е и 80'. Найти его угол с осью Оу. 389. Радиус-вектор точки М состапляет с осью Ох угол 45е и с осью Оу угол 60е. Длина его г = 6.

Определить координаты течКи 1!Х, ЕСЛИ ЕЕ КООрдината 2 ОтрицатЕЛЬпа, и ВЫраЗитЬ ПЕКтар ОЛ4 = Г ЧЕРЕЗ ОРТЫ лл ), !С 390. Даны точки А(1; 2; 3) и В(3; — 4; 6). Построить вектор ,4 = и. его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы вектора и с осями координат. з 3. Скалярное произведение двух векторов 394. Даны точки А(2; 2; О) и В(0; — 2; 5). Построить вектор .4В = и и определить его длину и направление. 395. Вектор Г2,11 = г составляет с осями координат равпьн.