Минорский - Высшая математика, страница 9

Решив первое и третье уравнения относительно д, построить линии, определяемые этими уравнениями. 319. Привести к каноническому виду уравнение кривой у = Зх~ — 12х+ ! и построить ес. 4х — 8 320. Написать уравнение кривой второго порндка, имекпцей центром точку Г)~(1; 2) и проходящей через начало координат и через точки (О; 4) и (1; — Ц. 321. Показать, что УРавценис тЕх+ ГУ =,„~и опРеделЯет дУгт параболы, построить параболу и найти ее вершину. Указание. Повернуть оси координат на угол р = — 45'. 322.

Написать уравнение геометрического места точек РЕ(х; у), отпопгегшс расстояния от канадой из которых до точки Егрщ и) к расстоянию от нее до прямой х соя о + уя1п о — д = 0 равно е. Обозначив коэффипиенты полученного уравнения через А, В, А В С, ..., определить инварианты А+ С и Б В Гл.!. Аналитическая геометрия па плоскости 323. Иыглсллить геометрический смысл уравнений: Ц хз — 4уз= О; 2) ха + 2уз + 4х — Зу+ 12 = О; 3) ха+ бхд — бух = О. 324. Преобразовать к каноническо лу виду уравнения и погтроитл ~л1ллллльллц 1) хз —;су+ дз — 2х — 2у — 2 = 0; 2) Згз+ 10ху+ Зуд — ! 2х — 12у+ 4 = О.

325. Преобразовать к каноническому виду уравнения: 1) хз — 2хд+ дз — 10х — бд+ 23 = 0; 2) ха+ 2хд+ дз — 4х — 4д+ 3 = 0 и построить линии, изображаемые ими. 326. По дллскрлльлинанталл б и лд определить геометрический смысл уравнений: Ц хз — 2ху+ д — 4х+ 4д+ 3 = 0: 2) тз — 2ху — Зуд+ бх+ 10у — 7 = О. !'ешив каждое уравнение относительна у, построить линию, определяемую им.

327. Написать уравнение геометрического места точек 31 (х: у), отношение расстояний от которых да точки Е'(3; 3) к расстояниям 1 до примой х + у = 0 равно: 1) е = —; 2) е = 2. 2 328. Написать уравнение геометрического места точек М(х; у), одинаково удаленных от точки 1" (и)2; а/2) и от примой х+ у = О, лл прллвесги ега к каноническому виду. 329.

Написать уравнение геометрического места точек, разность квадратов раггтояний ат которых да прямой х — 2у = 2 и до оси Ох остается постоянной и равной 3,2. Преабра.лопать его к каноническому виду и построить кривую. 3 16. Полярные координаты Пусть на плоекогти дана точка О цо.*пас и луч ОР— полярная ось (рллс. 12).

Тогда положение точюл 31 на п.лоскости определится: 1) иодлрнььл д, лож х = ЕК|ОР; 2) длиной г рилЕиус-лгеитори ОЗЕ: г = (ОЗЕ . При изучении уравнений, связьлллаюплих л и х, бьпиет по.лезно рассматривать полярные координаты р и г припиманпцими какие угодно по.южилельныс и отрицательные значения. При алом отрицательные углы и огсчитыванлтся по часовой стра;плс, и отрипатемьиые г отллладываютгя не по,лу'лу, а по его прололженллкл за полюс. з 16. Нолирлыс коорднноты Если принять полюс за начало декартовых прямоугольных координат, а полярную ось ОР за ось Ол, то декартовы координаты (тц р) то'тки М п ее полярные координаты (р: г) оулут связаны зависимостью ' !о л = г сое;е, р = г вш гр; !1) и=)/'+~' !йр=- (2) Если принять фокус ет)гги)гса.

гиперболы и О х параболы за пол)ос, а фокальную ось симме- г'ис 12 тргпл за полярную ось, направленную в сторону, противеположну)о ближайшей вершине, то уравнение всех трех кривых в полярных коорлинатах будет одинаковы л: Р) 1 — г сов л ' где с ексцентриситет, а р параметр. Для вллипса и гиперболы !2 р= а 330. В полярной системе координат !)е: г) построить точки ,4(0: 3). В)ц/т1; 2), С(х/2: 3), О(л", 2), Г!3я/2: 3). 331. Построить толки,4!и/2; — 2), УЗ( — тг/2; 3), С! — т /4; — 41), В!2х/3; — 3).

332. Построить линию г = 2+ 2 сов е. Указание. Составить таблицу значений г для )е = 0; же/3; жх/2; ж2л/3: тг. 333. Построить линии (см. с. 334 и 333), рис. 80, 81 и 86): !) г=агр (архив)вдова спираль); 2) г = а(1 — сов р) (кардкои,та): 3) г~ = а сов 2гр !лемниската); 1) т' = а,/~р (гиперболическая спираль); б) г = а(1 + 2 совгр) (улитка Паскаля).

б 334. Построить линии: 1) г = ал 2) гр = —; 3) г = 4 з)пр 335. Написать в полярных координатах уравнения: 1) прямой, отсекаюшей от погшрной оси отрезок а и перпендикулярной к ней; 2) прямой, проходящей через тг)чку 2!(гц а) и параллельной полярной оси. 336. Написать в полярных координатах уравнение прямой, проходящей через точку А(оч а) и составлякпцей с полярной осью угол 1). 337. Написать в полярных координатах уравнение окружности с централ) в точке С(0; а) и радиусом, равным а. Гл.!. Аиалллти лсская гсомстрия иа плоскости 338.

Построить кривые: Ц г = 3 — 2 яп 2~р; 2) г = 2+ сов З<р; 3) г = 1 — в|и Зт". У к а з а н и е Определить углы, при каторгах имеем г„, п ~ „„„. 339. Построить липни (см. с. 334, рис. 82 и 83): Ц г = и, вш Зр (трехллеллестлловая роза); 2) г = авлп 2лс (четырехллеллестлловая роза). 340. Преобразовать к полярнытл координатам уравнения линий: „г г. 2) „,г+„г г. 3) г:сова+ ув!лл а — р = О: 4) у =:с: 5) 7: +у =сггч ( .г+ г)г г( г, г) 341. Преобразовать к декартовым координатам уравнения линий и построить линии: 1) гсов р = а: 2) г = 2ивш ~р; 3) ггяп2р = 2аг; 4) тяп (р+ — ) = атГ2; 5) г = и(1+ сов р). 342.

Написать канонические уравнения кривых второго порядка: 9 2)7= 4 — 5 сов р 9 Ц г=, 5 — 4совд' 3 3) г= 1 — сов р 343. Еон хоп да. Через точку А(иг2: а) проведена прнмая, параллельная полярной оси. Произвольный луч ОВ пересекает зту прнмую в точке В. На луче от точки В по обе ее стороны отлоллеллы отрезки ВЛХ = ВЛХл = 5. Определить геометрическое место точек ЛХ и Л|л в полярных коордллнатах и построить кривую.

344. С тра фонда. Прямая т = а пересекает ось От в точке А и произвольный луч ОВ в точке В. На луче от точки В по обе ее стороны отлоклепы отрезки ВЛХл и ВЛХг, равные ЛВ. Напллсать уравнение геохлетрического места точек ЛХл и ЛХг в полярных и декартовых координатах !риль 84, с. 335). лз 16. Полярные координаты 345. Овал Кассини. Точка з!Х(ле; г) движется так, чта произведение расстояний от нее до точек Х'(О; о) и гл(я: а) остается равным Ьз, Написать уравнение траектории движения точки,'!Х в полярных координатах, 346.

Карл и аида. 1!а праи,звальном луче ОА от точки А пересечении его с окружностью г = а сов се откладывается по обе стороны отрезав АЛ1 = АЛХз = а,. Наставить уравнение геометрического места точек Л1 и ЛХл в полярных и декартовых координатах. 347. 1Хардиоида (эпи пи к заида). Крут дсламетра а катится без скольжения по кругу такага же диаметра снаружи его. Написать уравнение кривой, описанной точкой ЛХ катящейся окружности, если за полюс и началщн>е положение точки ЛХ принять точку касагнля кругов, а палярнусо ась провести через центры кругов !в начальном наложении).

343.!1остраить кривые: 1) г = 3+ 2 саь2се; 2) г = 3 — всп Зссе; 3) г = а,сов2ссе (см, указание к задаче 338). 349. Настроится 1) г = 4(1+ сов5о): 2) г = — 2 — в!пср. 350. Написать в полярных координатах уравнение прямой, проходящей через данные точки А(си о) и В!а; Ь). У к а з ан ив. Рассмотреть зависимость между пласпадями треуга.сьников АОМ, БОМ н АОВ, где М(ср: г) произвольная сочка прямой.

351. Написать канонические уравнения кривых второго парилка: 1 1) г= 2 — лс'Зсаяле' ! 2) г= 2 — лс 5 сав ср ' 1 ;5) г= 2 — 2совсе 352.;!в ми и ската Бернулли. Точка ЯХ(ср; г) движетсн так, чта произведение ее расстояний от точек Г50; с) и Кз(я: с) остается раиным с~. !!вписать уравнение траектории движения в полярных и декартовых координатах. Указание. !1а теарелсе косинусов ХгМз = сл+ гз — 2гссаьле и КлЛХз = гз+ .з+ 2гсса, ссричелз па уставила К !!з КлЛХз = г". Гл.!.

Ана.тити [еская гсамстрпя яа плоскости 353. У л н т к а П а с к а л я. На произвольном луче ОЛ ат точки Л пересечения ега с акруа[пастью [ = а саь[е па аое стороны отлажены отрезки Л[!4 = 1ЛХ[ = 5. Поставить уравнение геометрического места точек ЛХ в полярных координатах. 354. Четырехлепест капая роза. 1[оццы отрезка 1В = = 2п[ скользят па осям декартовых координат. Из начала координат опущен на АВ перпендикуляр 01Х. Написать уравнение геометрического моста тачек ЛХ(т; у) прн всевозможных положениях отрезка А В. 317.

Алгебраические кривые третьего и высших порядков 355. Построить кривые [см. с. 332, рис. 66 69)[ 358. Построить кривые: 1) лзуз+ д~Х~ = я~Х~ !астрог[,[а равносторонняя); глх2/з тух2/3 2) ! — ) + ! — ) = 1, б ф я (астров,[а яеравностарояняя). и б Указание. Найти точки пересечения кривых с осями От и Оу и 6 и[рвай кривой с прямыми у = ~л, а второй с прямымн у = + — а а (ри[ь 78 па с. 3.'!!). 357. Настроить на отрезке [ — 1; 1] кривые: !) у =;тв" [[; 2) у = = и~'"; 3) [гз'" + у~" = 1 прп я = 1, 2, 4. П каким ломаным приблцжак[тся этн кривые, когда и — + осу У к а з анне. Найти та'п[н пересечения первой кривой с прямой у = т 1 = —, второй кривой с прямей у = — и третьей кривой с прямой у = л.

йа' 2я За единицу масштаба принять 10 клеток клетчатой бумаги. 358. Ас тра ила. Концы отрезка АВ = а скользят по осям декартовых координат. Прямые АС и ВС, параллельные осям координат, пересекаются в точке С'. Из С опущен на ЛВ перпендикуляр С!1Х. Написать уравнение геометрического места тачек АХ(л; у) пря всевозможных положениях отрезка АХ3. !) у=и ХЗ 2) уз тз 3) у'=" / 4) уз = л (т — 4)т (кубическая парабола); (палукубнческая парабола); [истлевая парабола).