Минорский - Высшая математика, страница 5

152. Определить траекторию точки ЛХ(х: у), движущейся так, что сумма квадратов расстояний от нее до точек А( — а; 0), В10; а) и С(а: 0) остается равной 3аз. 153. Определить траекторию точки ЛХ(х: у), движущейся так, что сумма квадратов рсн:стояний от нее до оиссекгрис координатных углов остается равной а~.

154. Дана окрулсность ха+ дз = аз. Из ее точки Л(а: 0) проведены всевозможные хорды. Определить геометрическое место середин зтих хорд. 155. Денис точки А( — 3: 0) и В(3; 6). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок АВ. 156. Найти центры и радиусы окружностей: 1) ха+ д — бх + + 4у — 23 = 0; 2) ха+ сух + 5т, — 7у+ 2, 5 = 0; 3) ха+ уз + 7у = О. !!остроить окружности. 157. Окружность касается оси Ох в начале координат и проходит через точку Л(0, '— 1). Написать уравнение окруаснос:ти и найти точки пересе сения ее с биссектрисами координатных углов, 158. Написать уравнение окружности.

проходясцей через начало координат и через точки пересечения прямой а + у+ а = 0 с окружностью х~ + у~ = а~. Гл.!. Аналитическая геометрия па плоскости 159. Написать уравнении касательных, проведенных из начала координат к окружности, проходящей через гочки Л(1: — 2), В(0; — 1) и С( — 3:, 0). 166.

Найти угол между радиусахпл окружности х~+ у~ — 4х + + Оу — 5 = О, проведенными в точки пересечения ее с осью От. 161. Показать, что тоща Л!3; 0) лежит ннутри окружности хх + + уз — 4х + 2у + 1 = О, и написать уравнение хорды, делящейся в точке Л пополам. У к а з а н и е. Искеман хорда перпендикулярна к СА, < ле С лент р окружности. 162. Тйчка ПХ(х; у) .!<зпжетсп так, что сумма квадратов расстояний от нее до начала координат и до точки Л( — а; 0) осгаетсп равной а, . Определить траекторию движении точки 1!Х. 163.

)ана окруп<ность х:~ + у~ = 4. Из точки ее Л( — 2; 0) проведена хорда ЛВ и продолжена на рассгонние ВЛХ = ЛВ. Опреде.пггь геометрическое моста точек ПХ. 164. Отрезок ЛЛХ = а перемещается по плоскости хОу, оставапсь параллельным Сне< так, что левый конел его Л скользит по окружности х~+ у~ = а~. Определить траектори<о движения точки ЛХ. ~ 9. Эллипс Эллипсом пазывастсн геометрическая л<сста тачек, сулиа расстояний ап< каждой иа которых да даух данных точек с' и с! (фокусоп) тть настоянш<я аечичина 2а, ба'.в<иая Р<сД !Этаничсска<.

(прастейшсе) уравнение эллипса 2 2 — + — '=!. Р) аэ уэ Эллипс, заданный уравнением !!), симметричен относительно о<ей координат (рг<с. Ц. Параметры а и !! называются налуасяжи эллипса. Рис. 1 Пусть а > !<, тогда фокусы Хс и с! находнтсл на осп Ох па расстоянии с с =,~а~ — Ьх от центра. Отношение — = е ( ! называется аксцснн<ри- а з 9. Эллипс ситстож эллипса. Расстояния от топ>и ЛХ (т: у) эллипса да его фокусов (фекально>е родиус-векторы) определяются формулами !2) > = а — ст, г> — — а+ел. с Голи жс а ( !>, то фокусы находятся на оси Оу, с = ч'Р— аз, с = —, !>' г= !>х ау.

165. Построить эллипс т~+ !уз = !б, найти его фокусы и эксцентрнситет. 166. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что; 1) расстонние между фокусами равно 8, а малая полуось Л = 3; 2) болыцая полуось и = б, а эксцептриситет с = О, 5. 167. Найти малуп> полуось Л и зкспентриситет с эллипса, имеющего большую полуось а = 5 и параметр с, равный: !) 4,8; 2) 1; 3) 3; 4) 1,4; 5) О.

Построить каждый из эллипсов. 168. Земля движется по эллингу, в олпом из фокусов которого находится Солнце. Наименыпее расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно !47,5 млн км, а наибольшее !52,5 м;ш км. Найти большую полуось и экспентриситет орбиты Земли, 169. Эллипс> симметричный относите.|ьно осей координат, проходит через точки ЛХ(2: ~/3) и Н(0; 2). Написать его уравнение и найти расстояния от точки ЛХ до фокусов. 170. Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которо>о находятся на оси Ол> проходит через точку '3 ЛХ( — 4; >>2!) и имеет эксцентриситет с = —.

Написать уравнение 4 эллипса и найти фокальные радиус-векторы точки ЛХ. 171. Найти длину хорды эллипса лз+ 2уз = 18, делящей угол мелсду осими пополам. 172. Найти эксцентрис>пег эллипса, если расстояние между фокусами равно расстояни>о между концами большой и чалой полуосей. 173. В эллипс лз + 4у~ = — 4 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с концом большой полуоси. Определить координаты двух других вершин треугольника. У к а з а н и е.

Написать уравнение одной из сторон, ичеюшей наклон е = >830', н найти точки ее пересечения с;>ллипсом. 174. На эллипсе Ожз + 25уз = 225 найти точку, расстояние от которой до правого фокуса в четыре раза больше расстояния от нее до левого фокуса. 175. Ординаты всех тоюк окружности на+ уз = 36 сокращены втрое. Написать уравнение полученной новой кривой. 176. Определить траекторию точки ЛХ, которая при споем движении остается вдвое ближе к точке Г( — 1; 0), чем к прямой т = — '1, Гл.!. Анвлпти хвсквя геометрия нв плоскости 177. Отрезок АВ постопнной длины а+ 6 движется твк, чхо его конец Л скользит по оси Ох,, в конец В по оси Од. Определить трзекторию движении точки М отрезка, делнхпей его на части ВМ = а и МА = 6 (эллиптический циркуль Леонардо дв Винчи).

178. Даны окружности хг+ уг = 6г и хг+ уг = аг (6 < а). !1ропзвольный луч ОВА пересекает их соответственно в точках В и А, из которых проведены прнмые, параллельные осям координат, до пересечения их в точке 51, Определить геометрическое место точек М. 179. Написать простейшее уравнение эллипса, у которого расстоннин от одного из фокусов до концов большой оси равны 5 н 1. 180. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки хб1(2 „~3; у'6) и Л(6; О). Написать ого уравнение, найти экгцентриситет и рвсстопнип от тетки М до фокусов. х дг 181. Найти длину хорды эллипса — + — ' = у, направленной аг 6г по диагонали прямоугольника, построенного нв осях уллипсв. 182. Найти общие точки эллипса хг + 4дг — 4 и окрулхносхи, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его хверхнейь вершине.

183. Нв примой х = — 5 найти точку, одинаково удвлехгнуну от юзевогоь фокуса и от хверхнейь вершины эллипса хг+ 5дг = 20. 184. Нв эллипсе хг + 5дг = 20 найти точку, рпдиус-векторы которой перпендикулярны. Указание. Искомые точки суть точки пересечения с эллипсом окружности, проходящей терез фокусы эллипса и имеющей центр в начале координат. 185. Абспххссьх точек окружности тг+ дг = 4 увеличены вдвое. Определить полученную кривую. 188. Определить траекторию точки М, которая при своем движении остаехсп втрое ближе к точке Л(1; О), чем к примой,г = 9. 8 10.

Гипербола Гиперболой называется тожвтричвсков мвспго точен, разноопт рассхнояний оха кьиж:дой из нотнормх до двух данньи; точск 11 и 1''у (фокусов) вать постоянная вели поьа 2а уО < йа < Гх В). Канани тонов (простейшее) уравнение гиперболы ,.г — — — =! аг 6г З 10. Гипербола 27 Гипербола, заданная уравнением 11), симметрична относительно осей координат (рис. 2). Она пересекает ось Ол в точках:11а; О) и йг( — а; 0)— вершинах гиперболы и не пересекает ось Оу. Параметр а называется еси1сегльенноа полуосью, 6 .нни„ной полуосью. Паралшгр с = чгаз+ ех рис. 2 с есть расстояние от фокуса до пснтра. Огношенис — = е ) 1 называется б энгнннтрсюитетоьч гиперболы Прямые у = т — а называются шила- а тета.ни гиперболы. Расстояния от точки М(х: у) гиперболы до ес фокугов (фокаяьныс радиус-ьекгпайы) определяются формулами 12) г= )ея — а), г~ = ех+а 1нпербола, у которой а = б, называется рагностнропнеа, ее уравне- Хз уз ние л~ — у = а, а уравнения асимптот у = та.

! нпербюпд — — — = 1 аз бх , 2 2 и — = 1 называкнся сопрямгснныьчи. бх ах 187. Построить гиперболу хз — 1ух = 16 и ее асимптоты. Найти фокусы, зксцентриситет и угол меткду аснмптотами. 188. На гипорболе юз — 4уз .= 16 взнта точка ЛХ с ординатой, равной 1. Найти расгтояние от пес до фокусов. 189. Написать каноническое уравнение гиперболы, зяая, что: 1) расстояние между фокусами 2с = 10, а между вершинами 2а = = 8:, 2) вшцественная полуось а = 2чЛ, а зксцентрнснтет е = = ь71,22. 199.

1'гнгербола симметрична относительно осей координат, проходит через точку ЛХ16; — 2хГ2) и имеет мнимуго полуось Л = 2. Написать ее уравнение и найти расстояния от точки ЛХ до фокусов. Гл.!. Ана.тнтичсская гсомстрня на плоскости 191. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фа- :с г уг кусах, а фокусы в вершинах эллипса — + — ' = 1. 25 9 192. Написать уравнение гиперболы, имеющей эксцентриситет е = тХ2, крохе,цпяей через точку (2а; атХ3) и симметричной относительно осей координат.

193. Построить гиперболу уг = аз + хг, найти координаты ее фокусов и угол мел ду асимпготами. 194. Написать уравнения касательных к гиперболе хг — 4уг = = 16, проведенных из точки А(0; — 2). у 195. Найти расстояние от фокуса гипербол,| — = 1 до ее аг Лг зсимнтог и угол между асимнтотами. х 196. Найти сторону квадрата, вписанного в гиперболу аг у' — — = 1, и исследовать, в какие гиперболы можно вписать квадрат.