Минорский - Высшая математика, страница 3

Уравнение прямой с угловым коэффициентом у = Ух+у. (1) Параметр Ь равен тангенсу угла о наклона прямой к оси От )к = !ба) и называется узлоны и коа!Ьфипиенгаом, илн иногда наклонен прямой. Параметр Ь величина отрезка па ося Оу, или начальнаа ордината. 2'. Общее уравнение прямой Лх+ Ву+ С" = О. Особые алучаи: а)приС=О у= б) приВ=О х= а прямая параллельна оси Оу: и) приЛ=О у= Ь прямая параллельна оси Ох; г) при В=С=О д) при А=С=О 3'.

Уравнение О,х=О . Оу; О,у=О осьОх. ой в отрезках на осях — + — =1, а Ь где а и Ь величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат. 59. Построить прямую, отсекающую на оси Оу отрезок Ь = = 3 и составляющую с осью Ох угол: !) 45а; 2) 1Ззч. Написать уравнения этих прямых. 69. Построить прямую, отсекагощую на оси Оу отрезок Ь = = — 3 и составляющую с огью Ох угол: 1) ООь; 2) 120'.

Написать уравнения этих прямых. Л вЂ” х В С А С' В Лх = Ву = прям прямая проходит через начало координат; !з 4. Уравнение пряътои 15 61. Написать уравненлле примой, проходящей через начала координат и сосхавляющай с осью О:с ухал: 1) 45о; 2) 60', 3) 90', 1) 120о, »э) 135о 62. Построить прнмую, проходящую через начало координат и через точку ( — 2; 3), и написать ее уравнение. 63. Определить параметры д и Ь для каждой из прямых; 1) 2х — Зу=6: 2) 2х+Зу=О: 3) у=--3:, 4) — + —,=1. 4 3 64.

Построить прямые: 1) Зх+4у = 12; 2) Зх — 4у = 0: 3) 2х — 5 = 0; 4) 2у+5 = О. 65. Определить парамехры 1с и Ь прямой, прохаднщей через танту Л12; 3) и состав.шюшей с Ох угол 45о. Написать уравнение зтай прнмалл. 66. Уравнения пря лых: 1) 2т, — Зу = 0; 2) Зх — 2д+ 4 = 0 принести к виду в отрезках на осях. 67. Даны точки О(0: 0) и Л( — 3: 0).

На отрезке ОЛ построен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке В!О; 2). Написать уравнении сторон н диагоналей параллелограмма. 68. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(4: 3) и атсекающей ат координатного угла треугольник площадью, равной 3. 69. Прямые у = — 2 и д = 4 пересекают прямую Зх — 4у — 5 = 0 соответственно в точках А и В.

Построить вектор АВ, определить его .!лину и его проекции на оси каор,!инат. 79. Лежат ли хачктл Л(3; 5), В(2; 7)» С( — 1; — 3) и 22( — 2; — О) на примой у = 2х — 1 пли же ани ввыше» нли лнижез этой прямой? 71. 11акав геометрический смысл неравенств: 1) у > Зс+1; 2) у < Зх+1: 3) 2т+у — 4 > 0; 4) 2х+д — 4 < О? 72. Построить области )» координаты точек которых удавлетварян»т неравенствам: 1) у<2 — х, х> — 2, у> — 2; 2) у > 2 — х, т < 4, у < О; т' д 3) — + — <1, у>х+2» х> — 4. 73. Точка»14(д:: у) движется так, что разность квадратов расстояний от нее до точек Л( — а; и) и В(л; — а) остается равной 4а~.

Написать уравнение ее траектории. ') Слова»область» здесь означает»асть п.щсвосгп хОу, координаты каждой гочки которой удовлетворяют некоторым условиям (иапример, неравенствам). Область называетси зажю»утлой, если в пее включетпд точки, лежащие иа гранипе области. В противном случае область называется открытой. Гл.!. Ана.лпти лаская геометрия на плоскости 74. Написать уравнение траектории точки ЛХ(х: у), проекция которой на ось Ох движетсн со скоростью шелл!с, а па ось Оу со скоРостью п едллс. Начальное положение толки Мо1и; Ь). 85.

Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. 'Точка пересечения двух прямых !'. Угол 12, о!считанный против часовой стра.ти от примой у балх+ Ьл де прямей у = ллгх+ Ьг, определив!си формулой 52 в! '8 Р = ! + Ь,Ь,' Длн прямых, заданных уравнениями Ллх+ В!у+ Сл = О и д12х+ Вгу+ Гг = О, формула (1) примет виц — Л2В, Л1В2 !87 = Л,Л, + Вляг Л! В1 ИЛ11 — = —. 12 В2 = — — или А1А2+ В1Вг = О.

Ь! ' Условие паралчелваагтю йл = Ьг Условна трпсндпку,!лрнаств: 75. 11естронть прямые, заданные параметрами: 1) Ь = — 2, 1р = = 60 и 2) Ь = — 2, д = 120', и написать их уравнении. 76. Определить парах!стул,л Ь и Ь примой, проходлнцей через точку ( — 2; 3) и составлнюшей с Ох угол 45~. 1!осгроить прпмую и написать ее уравнение. 77. Равнобедреннан трапеции с основаниями 8 сч н 2 см имеет острый угол 45'.

Написать уравнении сторон трапеции, приняв за ось О,г большее основание и за ось Оу ось симметрии трапеции. 78. Написать уравнении сторон ромба с .шагоналпмн 10 см и 6 см, приняв ббльшую диагональ за ось Ох и меньшую за ось Оу. 79. Написать уравнение прнмойл проходящей через точку ( — 4; 6) и отсекающей ол осей координат треугольник плошадью 6, 80. Написать уравнение линии, по которой движется точка ~14(х; у), оставаясь вдвое дальше от оси Ох, чем от прямой х = — 3.

81. Прямые х = — 1 и,х = 3 пересекают прямую у = 2х + 1 в точках А и В. Определить длину вектора Ах! и его проекции па оси координат. э 5. Угол между пряъгыми. Уравнение пучка прямых 17 2'. Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку 1!х1, уг): (2) У вЂ” У1 = А'(х — хг). 3'. Уравнение прямой. преходящей через две данные то 1 ли х!(х1, 'У1) и В(х2, 'У2)' У У1 У2 У1 Х2 '11 4'. Чтобы найти т о ч к у перес с ч ения непараллельных прямых Лгг, + Лгу+ С1 = О и Лтх, + Вту+ С2 = О, нужно решить совместно кх уравнения. !!олучим: Л вЂ” С 42 — Сг у= Лг Вг Л2 В2 — С Л Г'2 7~2 Лг В~ у!2 В2 82.

Определить !тол между прямыми: 1 1) у=2х — 3, у= — х+1: 2 2) 5х — у+7=0, 2т — Зу+1=0; 3) 2х+У= О, У=32: — 4; 4) 3:г+2у =. О, 6:с+4у+ О = 0; 5) Зх — 4у = 6, 8х+Оу — 11; т у 2 6) — + — =1, — + — '=1. а 5 ' 5 а 83. Вреди прямых Зх — 2у+7 = О, 62 — 4у — 9 = О, бх+4у — 5 = О, 2х+ Зу — 6 = 0 указать параллельные и перпендикулярные. 84. Написать уравнение пучка прямых, прохощидих через точку Л(2; 3). Выбрать из этого пучка прямые, состюзлнюшие с осью Ог углы: 1) 45е; 2) 60е: 3) !35', 4) 0', и построить их. 85.

Построить точку г!( — 2; 5) и прямую 2х — у = О. Напигать уравнение пучка дрнмых, проходящих через Л, и выбрать нз пучка: 1) прямую, параллельную данной; 2) прямую, перпендикулярную к данной. 86. В точках пересечения прямой 2т. — 5у — !О = 0 с осями координат восгтавлены перпендикуляры к этой прямой. Написать их уравнения. 87.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки .А( — 1: 3) и В)71; — 2). Гл.!. Ана.тити лесная гсомстрня нз плоскости 88. Н треугольнике с вершинами Л( — 2; 0), В(2; 6) и С(4: 2) проведены высота В17 и медиана ВЕ. Написать уравнения стороны АС, медианы В1 и высоты В!1. 89. Найти внутренние углы треуголышка, стороны которого заданы уравнениями х + 2у = О, х + 4у — 6 = О, х — 4у — 6 = О. У к з з з н и е. Чтобы найти внутренние углы треугольнинз, нужно угловые коаффнцненты сторон выписать в порядке убывания: ул ) Уз ) — кз — кз > уз, затем вычислять тангенсы углов по формулам ! + Я«уз ! + ~туз яз — йл ббедитьсн в гном из чертежа, поместив одну из в~ршин и ! + Я«уз начале координат.

90. Написать уравнения прямых, проходяшпх через начало координат под углом 45з к прямой у = 4 — 2х. 91. Написать уравнения прямых, прохо;пццих через точку Л( — 1; 1) под углом 45«к прямой 2х + Зу = 6. 92. Из точки А(5; 4) выходит луч света под углом д = агссп 2 к оси Ох и от нее отражается. Написать уравнения падаюшего н ограагенного лучей.

93. Определить вершины и уыы треугольника, стороны которого заданы уравнениями т, + Зу = О, т = 3, х — 2у+ 3 — О. 94. Отрезок прямой Зт + 2у = 6, отсеченный осями координат, служит гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти вершину прямого угла, если известно, чжл она лежит «вышет данной прял«ой. 95. Дан треугольник с вершинами Л( — 2: 0), В(2; 4) и С(4; 0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы АЕ, высоты АП и найти длину медианы 1Е. 90.

Написать уравнения гторон и найти углы треугольника г вершинами А(0: 7), В(6: — !) и С(2; !). 97. Нрямая 2т — у+ 8 = 0 пересекает оси Ох и Оу в точках Л и В. Точка Л1 делит ЛВ в отношении ЛЛХ: ЗХВ = 3: !. Написать уравнение перпендикуляра, восставленного в точке уиу к прямой ЛВ. 98.