Романов А.С., Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Теория подобия и размерности. Пограничый слой, страница 7

Таким образом, окончательно полу-( 2 n −1)чаем выражения для используемых в дальнейшем инвариантовf′q=fn +12 n −1f ′′, p=f(5.16)32 n −1Запишем уравнение (5.15) через инварианты p и q. Будем считать, что они связаныфункциональной связью p = p(q) и выразим f ′′′ из определений самих инвариантов. Для это32n−1го выражая вторую производную f ′′ = p ff ′′′ =3pf2n − 14− 2 n2 n −1и дифференцируя, получимf ′ ⋅ sgn ( f ) + f32 n −1dp dq.dq d ξВ свою очередьОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин.

Теория подобия и размерности. Пограничный слой.40f′=q fn +12 n −1dq d  f ′ ,== fd ξ d ξ  f 2nn+−11 2− n2 n −1n +1 2 p − 2n − 1 q ⋅ sgn ( f )  .Используя полученные выражения производных через инварианты, уравнение (5.15) преобразуем к видуpn −11− n dp2n − 1) p + 3q( −p = 0.( n + 1) q 2 − ( 2n − 1) p ⋅ sgn ( f )  dq(5.17)Уравнение (5.17) является искомым уравнением пограничного слоя для жидкостей со степенным реологическим законом (5.15), записанным через инварианты p и q.Как видно, для дилатантных жидкостей n > 1 соотношение (5.17) представляет собойпроизведение двух уравненийL1(p, q)⋅L2(p) = 0.Одно из них дифференциальное1− n( 2n − 1) p + 3qdpL1 ( p, q ) ≡−p= 0,dq( n + 1) q 2 − ( 2n − 1) p ⋅ sgn ( f )(5.18)а другое - алгебраическоеL2 ( p ) ≡ pn −1=0.Таким образом, при n > 1 уравнение (5.17), кроме множества частных решений дифференциального уравнения (5.18), всегда имеет алгебраический кореньp =0.(5.19)Каждому частному решению уравнения (5.18) соответствует класс решений уравнения (5.15), которые получаются квадратурами:( 2n − 1) qdqdf, ξ =∫.f = exp  ∫n +12  ( 2n − 1) p ⋅ sgn ( f ) − ( n + 1) q q f 2 n −1(5.20)Алгебраическому корню (5.19) при n > 1 соответствует решениеf = c1ξ+c2, где c1, c2 = const.(5.21)Выполнение конкретных граничных условий приводит к необходимости «склеивания» решений (5.20) и (5.21).

При этом в точке склеивания ξ = ξ0 образуется слабый разрыв –поверхность пространственной локализации сдвиговых возмущений. Не смотря на это, наэтой поверхности должны быть непрерывны продольная скорость vx ∼ f ′∼ q и касательноенапряжение τxy ∼ f ′′n−1f ′′ ∼ pn .Для качественного представления решений уравнения (5.17) удобно использоватьдвулистную фазовую плоскость (p, q), один из листов которой соответствует положительнымОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности.

Пограничный слой.41значениям функции тока f, а другой – отрицательным. В силу инвариантности уравнения(5.15) относительно преобразования (ξ, f) → (−ξ, −f) интегральным кривым на двулистнойфазовой плоскости (p, q) соответствуют такие же кривые на плоскости (−p, q) (лишь с изменением направления движения вдоль интегральной кривой). Иными словами, достаточно исследовать поведение интегральных кривых на одном листе фазовой плоскости, тогда на другом их ход можно указать в силу симметрии.Качественный характер интегральных кривых уравнения (5.17) полностью определяется его особыми точками.

Ограничимся одним листом фазовой плоскости (p, q) для f > 0.Соответственно уравнение (5.18) переписывается в виде1− n( 2n − 1) p + 3qdp=pdq( n + 1) q 2 − ( 2n − 1) p(5.22)Как видно, при |p|, |q| ≠∞ уравнение (5.22), вообще говоря, может иметь две особых точки дляслучая n > 1. Обозначим их буквами α и β.Особая точка α. Положение этой особой точки определяется обращением в ноль числителя и знаменателя в правой части уравнения (5.22). Соответственно получаем1 2n − 1  n + 1 1− n  2 n −1 n +1  2qα = − < 0 , pα =   qα > 0 . 2n − 1  3  2n − 1  Для исследования типа особой точки линеаризуем уравнение (5.22) вблизи нее. Такимобразом, получимd ( p − pα )2n − 1)(1 − n ) pα1− n ( p − pα ) + 3 ( q − qα )(= pα.d ( q − qα )− ( p − pα ) + 2 ( n + 1) qα ( q − qα )Составляя далее характеристическое уравнение, найдем его корни:2 ( 5n − 1)n−51.λ1,2 = qα ± −3n+12n−1()() 22 Изучая подкоренное выражение, определим, что при 1 ≤ n ≤ n0 (где n0 = 11 + 6 3 ≈ 21, 4 ) корни являются комплексно сопряженными, а при n > n0 действительными и одного знака.

Соответственно, характер особых точек меняется от фокуса до узла. При n = n0 узел оказывается дикритическим. В силу физических оценок всегда в дальнейшем будем полагать n < n0 .Особая точка β. Положение этой особой точки определяется одновременным обращением в ноль обеих переменных p = q = 0.

Как видно, линеаризация числителя и знаменателя в правой части уравнения (5.22) невозможна. Здесь проверим саму возможность прохождения интегральной кривой через особую точку β. Для этого предположим, что вблизи этойОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.42особой точки на интегральной кривой, входящей в нее, переменные связаны асимптотическим соотношением: p = a⋅qγ, q > 0, γ > 0. После подстановки в уравнение (5.22) получимасимптотическое при p, q → 0 соотношениеγ ( n + 1) q γ−1 ( n + 1) q 2 − ( 2n − 1) aq γ  = q γ ( 2n − 1) ( a q γ )1− n+ 3q  .Для определения показателя γ необходимо приравнять степени при переменной q вкаких-либо двух слагаемых этого асимптотического соотношения и убедиться, что все остальные степени оказываются, по крайней мере, не меньше. Такой анализ показывает, чтопри n > 1 существует единственная возможность 2γ - 1 = 2γ - γn или γ =1< 1 .

Соответственn1но, a = −n n .Аналогичное исследование можно провести и при q < 0, полагая p = a(−q) γ , γ > 0.При этом получим γ =11, a = n n . Объединяя полученные результаты можно записать асимnптотическое представление для интегральной кривой, проходящей через особую точку β:1np = − ( n q ) sgn ( q ) .Исследуем теперь асимптотическое поведение интегральных кривых на фазовойплоскости (p, q) в узкой полосе вблизи p = 0, q ≠ 0.

Если предположить, что интегральныекривые в этой области пересекают ось q, то вблизи точки пересечения q = q0 уравнение (5.22)асимптотически эквивалентно уравнению( 2n − 1) p pdp=d ( q − q0 )( n + 1) q0 21− n.Интегрируя это уравнение с начальными условиями p = 0 при q= q0, получим асимптотическое представление для интегральных кривых, пересекающих ось q вблизи точки пересечения:11 ( 2n − 1)( n − 1)  n −1n −1 .p =q−q()02 ( n + 1) q0 (5.23)Как видно, это возможно только q > q0.Судя по асимптотическому представлению (5.23), при всех значениях показателя n > 1существуют интегральные кривые, пересекающие ось q.На рис. 5.2 качественно показан ход интегральных кривых в узкой полосе вблизи осиq, включая и начало координат для случая n > 2, когдаdp→ ∞, при q → q0, p → 0. ПринциdqОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин.

Теория подобия и размерности. Пограничный слой.43пиально, что именно при p = 0 происходит вырождение уравнения пограничного слоя и связанное с этим явление локализации касательных напряжений в дилатантных жидкостях.Необходимо убедиться в возможности непрерывного перехода к решению p ≡ 0 в точке пересечения интегральной кривой с осью q. Для этого исследуем уравнение (5.22) на наличие особого решения. Условием существования особого решения является нарушение условия единственности при обращении в бесконечность производнойdR, где буквой R обоdpзначена правая часть уравнения (5.22).

Дифференцируя, получаемppqq1< n <2n>2Рис.5.2. Вид интегральных кривых вблизи оси q при различных значениях показателя n>1.( 2 − n ) p1− n sgn ( p ) + 3q  ( n + 1) q 2 − ( 2n − 1) p  + ( 2n − 1) p 2− n sgn ( p ) + 3q dR= ( 2n − 1).2dp( n + 1) q 2 − ( 2n − 1) p Откуда видно, что для всех n > 1dR= ∞ при p = 0. Функция p ≡ 0 является решением уравdpнения (5.22), если 1 < n < 2. Поэтому решение p ≡ 0 является особым для уравнения (5.22)лишь в интервале 1 < n < 2. Несмотря на это, p ≡ 0 является алгебраическим корнем уравнения (5.17), что необходимо учитывать.Подводя итог, следует заключить, что для всех n > 1 уравнение (5.17) имеет особоерешение p ≡ 0 и интегральная кривая уравнения (5.22), пересекающая ось q, может быть продолжена этим особым решением в точке пересечения q = q0.

Если предположить, что постоянные c1 и c2 в представлении для особого решения (5.21) известны, то из определения инварианта q (5.16) можно определить соответствующее значение автомодельной переменнойn−2ξ0 =c1 n +1q02 n −1n +1−c2c1ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.44и поверхность локализации касательных напряжений в пограничном слое1 n(n + 1)  n +1y0 ( x) = ξ0  x. Rex Качественный характер интегральных кривых уравнения (5.22) на любом конечномудалении от начала координат p = q = 0 может быть исследован методом изоклин с учетомнайденного характера особых точек. Результат такого исследования представлен на рис.5.3.pqРис.5.3.

Качественный характер интегральных кривых (n>2).На рис. 5.3 проведены линии, на которых производная(штриховые линии) и указан знак производнойdpdp= 0 (пунктирные линии) и=∞dqdqdpв соответствующих частях плоскостиdq( p,q ) . Тонкой сплошной линией указан качественный вид интегральных кривых, а толстой –сепаратрис семейств интегральных кривых.ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.45Существование двух сепаратрис семейств интегральных кривых при q → −∞, p → 0следует непосредственно из рис. 5.3.

При этих условиях уравнение (5.22) асимптотическиэквивалентно уравнению1− ndp p ( 2n − 1) p + 3q= ⋅.dq q 2n +1(5.24)Соответствующее асимптотическое представление для сепаратрис имеет видp = a ( −q ) γ , γ =12< 0, a =1− nn −1в чем можно убедиться непосредственной проверкой.Для доказательства существования двух других сепаратрис при p → ∞ удобно перейти к новым переменным(p, q) → (t, z); где z = p−1, t = q p−12.Вычислим предварительно дифференциалыdp = −z−2dz, dq = zи производную−1 2dt −1 −3 2zsgn ( z ) ⋅ tdz2dpв новых переменныхdqdp1 1=− 32 dqz  dt − t dz 2 z.Уравнение (5.22) в этих новых переменных преобразуется к виду2 n −1dz2 z  ( 2n − 1) z 2 + 3t =dt 2n − 1  2 sgn z − t 2 + t z 2 n2−1 ( )(5.25)Для уравнения (5.25) также эффективен метод изоклин.

На рис. 5.4, аналогично рис.5.3, представлен качественный анализ интегральных кривых для уравнения (5.25).Как видно на рис. 5.4, существуют лишь две интегральные кривые, являющиеся сепаратрисами семейств интегральных кривых и входящие в точку на прямой z = 0 при | t |= 2 .Других интегральных кривых, пресекающих ось z = 0, |t| < ∞ не существует.Соответствующие асимптотические представления вблизи бесконечно удаленнойточки для этих сепаратрис в переменных (p, q) получим из равенства±2 = q p−12,ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.46z-2t2Рис.

5.4. Интегральные кривые в переменных t, z.или, с учетом того, что в данном случае p > 0: p =q2.2Для исследования характера интегральных кривых вблизи бесконечно удаленной точки, не примыкающих к оси p = 0 и не лежащих между найденными выше сепаратрисами, будем считать, что выполнены сильные неравенстваqp21− nи 3q ( 2n − 1) p .4В этом случае уравнение (5.22) асимптотически эквивалентно уравнениюdp3 p=.dq n + 1 q(5.26)Уравнение (5.26) позволяет определить асимптотический характер указанных интеγгральных кривых p = a ⋅ q , γ =3с произвольной постоянной a, |a| < ∞. Для дальнейшегоn +1следует отметить, что показатель γ > 1 при 1 < n < 2 и γ < 1 при n > 2.