Романов А.С., Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Теория подобия и размерности. Пограничый слой, страница 5

рис 4.3));ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.25vx =∂Ψ→ 0 при y → ∞.∂yЗдесь, так же как в задаче Блазиуса (и по той же причине), требуется выполнения граничного условия при y → ∞ лишь для продольной скорости vx.Не проводя подробного анализа размерностей, будем искать автомодельное решение y задачи в виде: Ψ = x p f  q  . Проведем вычисление частных производных:x ∂Ψy= px p −1 f − qx p q +1 f ′ = px p −1 f − qx p − q −1 yf ′ ,∂xx∂Ψ 1 p1 p1∂2Ψ∂ 3Ψp−2qp−q′′′′′′= q x f =x f ,= 2q x f = xf ,= 3 q x p f ′′′ = x p −3 q f ′′′ ,23∂y x∂y∂yxx∂ ∂Ψy= ( p − q ) x p − q −1 f ′ − qx p − q f ′′ q +1 = ( p − q ) x p − q −1 f ′ − qx p − 2 q −1 yf ′′ .∂x ∂yxПодставляя эти выражения в уравнение (4.18), получаемx p−q f ′( ( p − q) x p−q−1 f ′ − qx p−2q−1 yf ′′) −( px p−1 f − qxp−q−1 yf ′) x p−2q f ′′ = υxp−3q f ′′′илиx 2 p − 2 q −1(( p − q )( f ′)2)− pff ′′ = υx p −3 q f ′′′ .(4.18′)Из соотношения (4.18′) следует, что, ввиду произвольности значений переменной x необходимо выполнения равенства:2p − 2q − 1=p − 3q.(4.19)Второе соотношение для определения значений постоянных p и q найдем из законасохранения импульса (4.17).

Для этого введем независимую автомодельную переменнуюξ=y. Тогда с учетом выражения для продольной скоростиxqvx =∂Ψ= x p−q f ′∂y(штрих, как и прежде, означает полную производную по автомодельной переменной ξ) и выражений y = ξ ⋅ x q , dy = x q d ξ , соотношение (4.17) можно записать в виде:+∞J2= x 2 p − q ∫ ( f ′ ) d ξ = const .ρ−∞Это равенство возможно, если выполняется2p − q=0.(4.20)Решением системы (4.19) и (4.20)ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.26p + q =12 p − q = 0является пара чисел p =12, q= .33Поэтому функцию тока и автомодельную переменную получаем в виде Ψ = x1 3 f ( ξ ) ,yξ=x2 3.

А уравнение (4.18′) примет вид−112( f ′) − f ⋅ f ′′ = υf ′′′ ,33или( ff ′ + 3υf ′′ )′ = 0 .(4.21)Проинтегрируем уравнение (4.21) один разff ′ + 3υf ′′ = C .Используем в качестве граничных условий симметрию задачи1Ψ = x3 f = 0 ,∂v x= f ′′ = 0 при y = 0∂yилиf = 0, f ′′ = 0 при ξ = 0.(4.22)Следовательно, для постоянной получаем значение С = 0 и задача сводится к решению обыкновенного однородного нелинейного дифференциального уравнения второго порядкаff ′ + 3υf ′′ = 0 .(4.23)Проинтегрируем уравнение (4.23) один разf2+ 3υf ′ = С1 .2(4.24)Подстановка первого из граничных условий (4.22) в уравнение (4.23) приводит к соотношению3υf ′ ( 0 ) = С1 .Если введем новую зависимую переменную F =менную ξ1 =fи новую независимую пере2C 1С1 2ξ , то получим3υС1 2 dfС1 2dfdf d ξ1dF C1 dF===2C1=.3υ d ξ13υd ξ d ξ1 d ξd ξ1 3υ d ξ1Тогда уравнение (4.24) в новых переменных примет видОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин.

Теория подобия и размерности. Пограничный слой.272С1 dFF 2 2C1+ 3υ= С1 ,23υ d ξ1или после сокращений:F2 +dF= 1.d ξ1(4.25)Уравнение (4.25) известно как уравнение Риккати и может быть проинтегрировано ввиде:FF1  11 1 1+ FdFξ1 = ∫= ∫+= ArcthF ,dF = ln21− F2 0 1 + F 1 − F 2 1− F0тогдаF = thξ1 =Производную1 − e −2 ξ1.1 + e −2 ξ1dFопределим из уравнения (4.25):dξ1dF= 1 − F 2 = 1 − th 2 ξ1 ,d ξ1тогда для продольной скорости получаем выражение−13vx = x f ′ = x−131− CC1 dF= x 3 1 (1 − th 2 ξ1 ) .3υ d ξ13υМаксимальная скорость струи достигается на плоскости симметрии ξ1 = 0.

Относительное изменение продольной скорости струиvx= 1 − th 2 ξ1 представлено на рис. 4.4.vx (0)1,11,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10,0vxv x ( 0)ξ1-5-4-3-2-1012345Рис. 4.4. Относительное изменение величины продольной скорости.ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.28Значение пстоянной C1 вычислим из условия постоянства импульса струи C dF J = ∫ ρ 13υ d ξ1 −∞ +∞= 2 2ρ2C13 23υ+∞3υCd ξ1 = ∫ ρ  1 (1 − th 2 ξ1 ) 3υС1 2−∞ +∞∫ (1 − th ξ )221d ξ1 = 2ρ023υd ξ1 =С1 24 C13 2= const .9 υОткуда23 υ⋅ J 81υ2 2C1 = 3J = 1,363  .232ρ ρ Поэтому функция тока приобретает видpΨ=x f =x132C 1 F = x13 С 2 y 2C 1 ⋅ th  1. 3υ x 2 3 Определим расход струи:Q = Ψ ( +∞ ) − Ψ ( −∞ ) = 2 ( Ψ ( +∞ ) − Ψ ( 0 ) ) = 2Ψ ( +∞ ) .С учетом того, что при y → ∞ переменная ξ1 =Q = 2Ψ ( +∞ ) = 2 x13С1 2 y→ ∞ и поэтому thξ1 → 1, получаем3υ x 2 3 υ⋅ J 2 ⋅1,363  ρ 23 υ⋅ J≈ 3,302  ρ13x .Откуда следует, что с увеличением расстояния от отверстия, расход возрастает, то есть струявовлекает в движение окружающую жидкость.4.4.

Ламинарный пограничный слой на границе раздела двух потоков.Качественная схема движения жидкости на границе раздела двух потоков (слой смешения) представлена на рис.4.5. Пограничный слой возникает в переходной области междувзаимодействующими потоками одной и той же жидкости. Давление считается постояннымво всем переходном слое.Анализ проблемы в приближении теории пограничного слоя, аналогичный уже проведенному в разделах (3.5), (3.6), позволяет убедиться, что рассматриваемая задача автомодельная.Автомодельная переменная ξ и функция тока Ψ вводятся в видеξ= yV1, Ψ = υV1 x ⋅ f ( ξ ) .υxВ этих переменных уравнение (4.5) преобразуется к виду, совпадающему с (4.15),ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности.

Пограничный слой.29v1yxv2Рис. 4.5. Слой смешения - движение жидкости на границе раздела двух потоков.f ⋅ f ′′ + 2 f ′′′ = 0 .Граничные условияf ′ = 1 при ξ → ∞, f ′ =V2при ξ → − ∞.V1Не останавливаясь на подробном изложении результатов решения полученной задачи,лишь отметим, что возможно обобщение на случай слоя смешения двух жидкостей с разными плотностями и вязкостями.4.5. Преобразование системы уравнений стационарного пограничного слоя в уравнениенелинейной теплопроводности.При анализе различных задач в теории пограничного слоя возникает проблема выяснения принадлежности решений к тому или иному классу функций. Часто необходимо заранее знать дифференциальные свойства решений уравнений пограничного слоя, поскольку отэтого зависит существование и единственность решения.

В этой связи особую роль играетвозможность преобразования уравнений пограничного слоя к виду, который более четко указывает на их математические свойства. Мы рассмотрим здесь преобразование Мизеса (1927г.).Перейдем к новым независимым переменным в системе уравнений пограничного слоя(4.5) - (4.7):(x, y) → (ζ, η), где ζ = x, η = Ψ (Ψ - функция тока).Учитывая определения v x =∂Ψ∂Ψ, vy = −и проводя вычисления, найдем∂y∂xОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности.

Пограничный слой.30∂v x ∂v x ∂ζ ∂v x ∂η ∂v x∂v=+=− vy x ,∂x∂ζ ∂x ∂η ∂x ∂ζ∂η∂v x ∂v x ∂ζ ∂v x ∂η∂v=+= 0 + vx x .∂y∂ζ ∂y ∂η ∂y∂ηВыберем продольную скорость vx(ζ, η) в качестве зависимой переменной и преобразуемуравнения (4.5), (4.6) к видуvx∂v x 1 ∂p∂  ∂v x += υv xvx,∂ζ ρ ∂ζ∂η  ∂η (4.26)∂p= 0.∂η(4.27)Как видно, в уравнения (4.26), (4.27) не входит вертикальная скорость vy, которая определяется из уравнения непрерывности (4.7).Таким образом, в конечном итоге уравнение (4.26) приводится к видуu ⋅ L (u ) = Q ,(4.28)где введены обозначения:u = v x ( ζ, η) , (ζ, η)∈Ω (Ω - область определения),( ) ′,L ( u ) = uζ′ − υ⋅ u ⋅ uη′ηQ(ζ) - известная функция источника.Дифференциальный оператор L(u) вырождается при u = 0. Известно, что в этом случаеноситель решения может не совпадать с областью определения. (Напомним, что носителемрешения называется множество ΩS ⊂ Ω, являющееся замыканием множества Ω1 всех такихпар (ζ, η), для которых u≠0.) Поэтому необходимо сформулировать некоторые условия непрерывности решения задачи на границе, где происходит вырождение (ζ, η) ∈ {ω1=ΩS \ Ω1}.Обычно предполагается непрерывность всех производных от решения, входящих воператор L(u),u ∈ C1,2(Ω \ ω1),то есть почти везде над областью определения.

Во всей области определения, в том числе ина границе вырождения ω1, необходимо выполнение условий непрерывности самого решенияu ∈ C(Ω)и его потокаuuη ′ ∈ C (Ω) .ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.31Последнее условие эквивалентно физическому условию непрерывности касательного напряжения. При необходимости эти условия можно использовать для построения асимптотического представления решения вблизи поверхности вырождения.Особая ситуация возникает при отсутствии внешнего градиента давления, то есть когда функция источника Q(ζ) = 0.

В этом случае у уравнения (4.28) существует еще одно, тривиальное, решениеu(ζ, η) ≡ 0, (ζ, η) ∈ Ω1, Ω1 ⊂ Ω.Как видно, это тривиальное решение может возникать за счет первого сомножителя в (4.28),и как особое решение квазилинейного параболического уравненияL(u) = 0.(4.29)В качестве примера представим решение задачи о плоской затопленной струе (см.раздел 4.3) в переменных Мизеса.

Предварительно зададим область определенияΩ(ζ, η) =R+×R.Скорость внутри струи задается функциейC1 1 3 η2 u=ζ 1 − 2 3  .3υ 2ζ C1 (4.30)Будем считать, что скорость струи есть неотрицательная функция u(ζ, η) ≥ 0 во всейобласти определения переменных (ζ, η) ∈ Ω.Как видно, скорость струи в этих переменных обращается в нуль u = 0 на границе носителяη = η f = 2C1 ζ1 3 .То есть носитель решения (замыкание области независимых переменных, где u > 0) не покрывает всю область определения и за пределами носителя решение должно быть непрерывно продолжено особым решением u = 0.