Романов А.С., Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Теория подобия и размерности. Пограничый слой, страница 4

Теория подобия и размерности. Пограничный слой.19δvy = V .lТаким способом получаются оценки величин всех слагаемых в рассматриваемыхуравнениях. Запишем еще раз уравнения (4.1) и (4.2), проставляя порядок величин под соответствующими слагаемыми:22∂v x∂v∂v∂ v ∂ v1 ∂p+ vx x + v y x = −+ υ  2x + 2x  ,∂t ∂x∂yρ ∂x∂x∂y 2VT2V lV δ2  VlV 2 δ ⋅1(4.1′) 2∂v y∂v y∂v y ∂ v y ∂2v y 1 ∂p+ vx+ vy=−+ υ 2 +.∂t ∂x∂yρ ∂y∂x∂y 2 δ⋅V2 δ⋅V ⋅ 12 δ⋅V ⋅ 1 V2 δ⋅2V δ⋅V  1l ⋅Tl δ2 l l lδl(4.2′)l δДля того чтобы уравнение (4.1′) оказалось нетривиальным, необходимо считать, чтоV V2υ 2 ∼или δ ∼δlυ⋅ l=Vl.Re(4.4)Из соотношения (4.4) вытекает, что уравнения пограничного являются следствиямиуравнений Навье-Стокса в пределеRe → ∞ .В итоге из системы уравнений (4.1) - (4.3) получаем уравнения плоского пограничного слоя (Прандтль, 1904):∂v x∂v∂v∂2v1 ∂p+ vx x + v y x = −+ υ 2x ,∂t∂x∂yρ ∂x∂y(4.5)∂p= 0,∂y(4.6)∂v x ∂v y+= 0,∂x∂y(4.7)которые необходимо рассматривать совместно с условиями прилипания на твердой поверхностиvx = vy = 0 при y = 0,(4.8)и условием непрерывности продольной составляющей скорости на внешней границе пограничного слояvx = V при y → ∞.(4.9)Система (4.5) - (4.9) должна быть дополнена начальными условиями.

Как правило,рассматривается либо развитие во времени пограничного слоя при внезапном начале движеОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.20ния твердого тела, либо установившееся движение при наличии во внешнем потоке периодических пульсаций. В первом случае используются нулевые начальные условия, а во втором решается задача без начальных данных.Переход к уравнениям пограничного слоя соответствует изменению области определения функций по продольной переменной, так как вместо −∞ < x < +∞ принимаем чтоx > 0 .

Эта замена приводит к проблемам, связанным с начальными условиями для погранич-ного слоя, так как начальные условия для внешнего течения на самом деле должны задаваться во всей области определения функций −∞ < x < +∞ .Принципиально важно отметить, что переход от уравнений Навье-Стокса к уравнениям пограничного слоя изменяет порядок системы уравнений и число граничных условий.Так, кроме условия (4.9) для продольной составляющей скорости в рамках уравнения НавьеСтокса, необходимо потребовать выполнения граничного условия при y → ∞ и для поперечной составляющей скорости.Задание граничного условия (4.9) при y → ∞ приводит к «асимптотическому» пограничному слою.

В силу предыдущего замечания, это условие не является полным. Поэтомуможно потребовать выполнения каких-либо эквивалентных граничных условий (подобнымусловию (4.9)) на конечном расстоянии от поверхности твердого тела. Такие условия приводят к предположению о конечной толщине пограничного слоя.

Что, в свою очередь, делаетвозможным приближенные оценки для решения проблемы. Одним из следствий такого подхода является ослабление требований дифференциальной гладкости решения.Уравнение (4.6) свидетельствует о том, что давление в пограничном слое равно давлению во внешнем потоке. Скорость жидкости во внешнем потоке v(x) может быть определена из соответствующей задачи для идеальной жидкости (без учёта наличия пограничногослоя). Если учесть, что во внешнем потоке справедливо уравнение Бернуллиρv 2+ p = const ,2то можно определитьdpdv= −ρvdxdx(4.10)и затем использовать эту, известную таким образом, зависимость продольного градиентадавления при анализе уравнений пограничного слоя.ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.214.2.

Ламинарный пограничный слой при обтекании несжимаемой жидкостью плоскойпластинки (задача Блазиуса).Рассмотрим теперь задачу об установившемся пограничном слое на гладкой тонкойнеподвижной пластинке – полуплоскости y = 0, x ≥ 0. Скорость жидкости за пределами пограничного слоя равна скорости набегающего потока V = const и направлена вдоль оси x(рис. 4.2). Поэтому из уравнений (4.10) и (4.6) следует постоянство давления p = const такжеи внутри пограничного слоя. Система уравнений пограничного слоя тогда переписывается ввиде:∂v x∂v x∂2vx+ vy=υ 2 ,vx∂x∂y∂y(4.11)∂v x ∂v y+=0∂x∂y(4.12)с граничными условиями (4.8) и (4.9).yδ(x)VxРис. 4.2. Ламинарный пограничный слой при обтекании несжимаемой жидкостью плоскойпластинки (задача Блазиуса).Определяющими параметрами будут V, υ, y, δ:v x = V ⋅ ϕ(V, υ, y, δ) ,где δ(x) - толщина пограничного слоя (см.

рис 4.2). При выборе определяющих параметровнеобходимо руководствоваться тем фактом, что они должны быть ограничены внутри пограничного слоя. В этой связи, казалось бы, естественным выбрать в качестве определяющего параметра переменную x. Однако это не представляется удачным, так как значения x неограничены внутри пограничного слоя. Именно этот факт использовался при выводе уравнений пограничного слоя (см.

раздел 4.1).Выберем в качестве основных параметров (то есть имеющих независимые размерности): скорость V и величину δ =υ⋅ x, имеющую размерность длины и, на основании теоVрии пограничного слоя (с точностью до умножения на постоянную), определяющую толщину пограничного слоя. Тогда получим:ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.22 υ y  υ yv x = V ⋅ ϕ 1,, ,1 = V ⋅ ϕ , . δ⋅V δ  δ⋅V δ В последнем выражении безразмерная переменнаяυυ==δ⋅VV⋅xгде Rex =υпреобразуется к видуδ⋅V1,RexV⋅x. Как уже отмечалось в разделе 4.1, уравнения пограничного слоя (4.5) и (4.6)υполучены в предположенииRex → ∞ , что соответствует значению переменнойυ→0δ⋅Vво всех точках внутри пограничного слоя.

Таким образом, окончательно получаем y yv x = V ⋅ ϕ  0,  = V ⋅ ϕ   . δδЭто означает, что поставленная задача Блазиуса автомодельная и единственной независимойбезразмерной переменной являетсяy.υxVξ=(4.13)Для вычисления поперечной составляющей скорости vy воспользуемся уравнениемнепрерывности (4.12). Вычислим предварительно частные производные∂ ∂ξ ∂y 1==−∂x ∂x ∂ξυ  2 x3V ∂  ξ  ∂ = −  ∂ξ  2 x  ∂ξи∂ ∂ξ ∂==∂y ∂y ∂ξ1 ∂.υx ∂ξVПроводя соответствующие преобразования в уравнении непрерывности (4.12), получаем∂v y∂ξ=υV ξ d ϕ.x 2 dξУдобно ввести новую зависимую переменную ϕ = f ′ (Здесь и далее штрих означаетполную производную по переменной ξ).

Тогда для поперечной скорости∂v y∂ξ=υV ξυV 1f ′′ =( ξf ′ − f )′x 2x 2или после интегрированияОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.23vy =υV 1( ξf ′ − f ) .x 2(4.14)Теперь окончательно для проекций скорости и их производных можно записатьυV 1∂vξ( ξf ′ − f ) , x = V  −  f ′′ ( ξ ) ,x 2∂x 2x vx = V ⋅ f ′ (ξ) , v y =∂v x=∂y2∂ vx1 dVVf ′ ( ξ ) ) =f ′′ ( ξ ) ,=(∂y 2υx d ξυxVV1 dVV2f ′′ ( ξ )  =f ′′′ ( ξ ) . υxυx d ξ  υxV VПодставим эти выражения в уравнение пограничного слоя (4.11):υV 1VV2 ξ ′′′ξ−ξ=υVf ′ ( ξ ) V  −  f ′′ ( ξ ) +ffff ′′′ ( ξ ) .()( )x 2υxυx 2x VПосле сокращений получим уравнение2 f ′′′ + f ⋅ f ′′ = 0 .(4.15)Таким образом, решение автомодельной задачи сводится к решению обыкновенногодифференциального уравнения третьего порядка.

Из граничных условий для скорости следуют граничные условия для функции f (которая пропорциональна функции тока):f ′(0) = f(0) = 0 и f ′(∞) = 1.(4.16)Решение уравнения (4.15) может быть найдено численными методами. Численное решение, например, позволяет оценить касательное напряжение на пластинке:τ( x) = η∂v x∂y=ηy =0Vf ′′ ( ξ ) ξ= 0 = ρV3 2 ⋅ υ1 2 ⋅ x −1 2 ⋅ f ′′ ( 0 ) .υxVЧисленное решение приводит к значению f ′′ ( 0 ) ≈ 0,332 , поэтому для касательного напряженияτ ( x ) ≈ 0,332ρηV3.xЭкспериментальные результаты подтверждают эту зависимость.4.3. Плоская затопленная струя.Примером течения без ограничивающих стенок, допускающим применение теориипограничного слоя, является истечение струи из длинной узкой щели, находящейся в глубине жидкости (рис.

4.3). Такая струя называется «затопленной» или «свободной» в отличиеОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.24например, от струи, бьющей вдоль твердой поверхности (так называемой «пристенной»струи).В данной задаче, так же как и в задаче Блазиуса, считается, что давление в окружающем пространстве постоянно p = const и движение жидкости происходит только в результатекинетического воздействия струи на неподвижную жидкость.yv(x, y)∆xРис. 4.3.

Затопленная струя - истечение струи из длинной узкой щели, находящейся в глубине жидкости.Струя вносит в окружающую жидкость конечный импульс, который «рассасывается»за счет трения на большом протяженном участке по координате х. Поэтому мы пренебрегаемпоперечным размером щели, считая ее бесконечно узкой: x>>∆.Заданной считается величина импульса J (на единицу длины щели), которая в силуотсутствия внешних стенок, остается постоянной вдоль струи+∞J=∫ ρv dy = const .2x(4.17)−∞Запишем уравнение пограничного слоя через функцию тока Ψ (напомним, чтоvx =∂Ψ∂Ψ, vy = −):∂y∂x∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ∂ 3Ψ−=υ.∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2∂y 3(4.18)Функция тока должна удовлетворять граничным условиям:Ψ =0,∂v x ∂ 2 Ψ== 0 при y = 0∂y ∂x∂y(последнее условие означает симметрию струи относительно плоскости y = 0 (см.