Романов А.С., Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Теория подобия и размерности. Пограничый слой, страница 3

Переход к безразмерным переменным позволяет в данном случае установить, что все течения в рассматриваемом приближении подобны.ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.133.3. Динамическое подобие и моделирование явлений.Теория размерности имеет большое значение при моделировании явлений.Моделирование – это замена изучения интересующего нас явления в его естественномпроявлении изучением аналогичного явления на модели меньшего или большего масштаба.Основной смысл моделирования – по результатам исследований в лабораторных условиях судить о естественных свойствах явления.Физическое подобие можно рассматривать как обобщение геометрического подобия.Две геометрических фигуры подобны, если отношение всех соответствующих размеров одинаково.

Если масштаб известен, то по размерам одной фигуры можно легко найти размерыдругой. Аналогично, два физических явления подобны, если по заданным характеристикамодного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который соответствует переходу от одной системы единиц измерения к другой системе единиц.После установления полного набора параметров, определяющих рассматриваемое явление, можно сформулировать условия подобия.Пусть явление определяется n величинами, часть из которых является безразмернымипостоянными (например, величина угла) или размерными постоянными (параметрами).Пусть также размерности переменных и постоянных величин (параметров) выражены через kосновных параметров (k ≤ n) с независимыми размерностями.

В общем случае, очевидно, чтоиз n величин можно составить не более (n − k) независимых безразмерных комбинаций. Всебезразмерные характеристики явления необходимо рассматривать как функции этих (n − k)безразмерных комбинаций. То есть среди всех безразмерных величин, составленных из характеристик явления, всегда можно указать некоторую базовую систему безразмерных комбинаций параметров, определяющую все явление.Необходимым и достаточным условием подобия двух явлений будет постоянство численных значений безразмерных комбинаций параметров (критериев), образующих базовуюсистему.Пример. Рассмотрим стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в полуогра-ниченном канале прямоугольного сечения (рис.

3.3).На входе в канал зададим постоянную скорость жидкости, то естьv(0, y, z) = v0=const при x = 0.ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.14zyv0axbРис. 3.3. Стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в полуограниченномканале прямоугольного сечения.Ширина и высота канала обозначены как a и b соответственно. Плотность жидкости ρ, дина мическая вязкость η.

Тогда v = v ( x, y, z , v0 , ρ, η, a, b ) , где x, y, z, a, b имеют размерность длины, [ρ] =кгкги [ η] = Па ⋅ с =. Если в качестве основных параметров выбрать v0, a, ρ,3мм⋅симеющие независимые размерности, то можно записатьv = v0 ⋅ x y zηbf  , , ,1,1,,1, ξ  , где ξ = .ρv 0 aaa a aКак видно, течение в двух каналах оказывается подобным, если одинаковы геометрические η   η факторы ξ1=ξ2 и одинаковы безразмерные критерии  = . ρv 0 a 1  ρv0 a 2Безразмерный критерий Re =ρ ⋅ v0 ⋅ a v0 ⋅ a=называют числом Рейнольдса.

По своемуηυсмыслу это число определяет относительную роль сил инерции и вязких сил:Re =( ρv )20 v0 η a =силы инерции.силы вязкостиЧисло Рейнольдса играет большую роль при моделировании взаимодействия твердых тел связкой жидкостью. Если, например, размер модели уменьшить, то для того, чтобы сохранитьподобие, необходимо во столько же раз увеличить скорость. (Либо увеличить плотность иуменьшить вязкость, то есть уменьшить кинематическую вязкость υ =η.)ρЕсли скорость на входе в канал меняется с течением времени, то возникает еще одинбезразмерный критерий, определяющий подобие.ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности.

Пограничный слой.15Пусть, например, v ( 0, y, z , t ) = v0 (1 + δ ⋅ cos ( ωt ) ) , где δ - безразмерный параметр. Вданном случае появляется новый параметр – циклическая частота колебаний ω, который необходимо включить в систему основных параметров. При таком же выборе других основныхпараметров, как и раньше, получаем ещё один безразмерный критерийSt =ω⋅ a,v0который называется число Струхаля.Учитывая, что период колебаний скорости на входе в канал T0 ∼1, то можно опредеωлить число Струхаля какSt =a.v 0 ⋅ T0Базовую систему безразмерных комбинаций параметров (критериев), определяющихподобие, в той части, которая не зависит от начальных и граничных условий, можно получить непосредственно из уравнений движения.Например, запишем уравнение Навье-Стокса:∂v 1+ ( v, ∇ ) v = − ∇p + υ∆v .∂tρНе уточняя конкретные значения, выберем в качестве основных параметров (или, как говорят, «характерных» параметров) следующие: L – длина, T – время, V – скорость, ρ - плотxvtность.

Перейдем к безразмерным переменным v′ = , t ′ = , xi′ = i и после подстановки вVTLуравнение Навье-Стокса получим:V ∂v′ V 2 1V +v′, ∇ ) v′ = − ∇p + υ 2 ∆v′ ,(T ∂t ′ LρLLили21υ  V L  ∂v′ V ′+v , ∇ ) v′ = − 2 ∇p + 2 ∆v′(2 ρVVL T V  ∂t ′ LТак как в несжимаемой жидкости для давления не существует характерной величины, тоp = ρV 2 p′ и поэтому уравнение примет вид:∂v′ 1 St ⋅+ ( v′, ∇ ) v′ = −∇p′ +∆v′ .∂t ′ReВ заключение следует заметить, что учет различных физических сторон анализируемого процесса всегда приводит к появлению некоторых безразмерных комбинаций параметОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности.

Пограничный слой.16ров или критериев, определяющих относительную роль соответствующих физический явлений. В частности, отметим число Прандтля и число Маха.Число Прандтля равно отношению кинематической вязкости жидкости υ к коэффициенту ее температуропроводности λ:Pr =υ.λЧисло Прандтля возникает, если при моделировании течения вязкой жидкости учитываетсяперенос энергии за счёт явления теплопроводности.Число Маха определяет относительную роль сжимаемости жидкостиMa =v,cгде v и c - скорость жидкости и скорость звука в некоторой характерной точке потока.ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.174. Пограничный слой в ньютоновской несжимаемой жидкости.4.1. Уравнения ламинарного плоского пограничного слоя в вязкой несжимаемой жидкости.Теория пограничного слоя играет важную роль в гидромеханике.

Дело в том, чтоприменение уравнений Эйлера к описанию полей скоростей вязкой жидкости вблизи поверхности движущихся в жидкости твердых тел оказывается невозможным. На поверхноститвердого тела в вязкой жидкости требуется равенство скорости поверхности и жидкости (условие прилипания), а в идеальной жидкости только равенство нормальных к поверхноститвердого тела составляющих скорости жидкости и твердого тела (условие не протекания).Если вязкость относительно невелика, то искажение течения жидкости, связанное сналичием вязкости, часто наблюдается лишь вблизи поверхности твердого тела внутри пограничного слоя (см.

рис 4.1).32yvxv0δ41lРис. 4.1. Искажение течения жидкости, связанное с наличием вязкости, вблизи поверхноститвердого тела.1 – поле скоростей жидкости в набегающем потоке,2 – поле скоростей в потоке, обтекающем твердое тело,3 – пограничный слой, 4 – твердое тело.На самом деле, учет вязкости не изменяет поля скоростей, полученного в приближении идеальной жидкости, если реализуется так называемое потенциальное течение, для которого ∆v = 0 (потенциальность предполагается во внешнем течении).

Это можно объяснитьОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.18тем, что уравнения Навье-Стокса отличаются от уравнений Эйлера наличием вязкого слагаемого υ∆v . Поэтому переход от уравнений Эйлера к уравнениям Навье-Стокса в случае∆v = 0 не изменяет поля скоростей.Введение представления о пограничном слое оказалось плодотворным по двум причинам:•для внешнего течения применима теория движения идеальной жидкости;•внутри пограничного слоя удается упростить уравнения Навье-Стокса.Вывод уравнений движения в пограничном слое основан на оценках величин - гипо-тезах о порядке величины значений различных слагаемых в уравнениях Навье-Стокса и пренебрежением малыми (по оценкам величин) слагаемыми.Для плоскопараллельного движения жидкости в плоскости (x, y) (см рис.

4.1) имеемследующие уравнения: ∂2v ∂2v∂v x∂v∂v1 ∂p+ vx x + v y x = −+ υ  2x + 2x∂t∂x∂yρ ∂x∂y ∂x,(4.1) ∂2v y ∂2v y1 ∂p+ υ 2 + ∂xρ ∂y∂y 2 ,(4.2)∂v y∂t+ vx∂v y∂x+ vy∂v y∂y=−∂v x ∂v y+= 0.∂x∂y(4.3)Пусть l – характерный размер вдоль границы твердого тела, а δ - характерная толщинапограничного слоя на этом расстоянии от кромки твердого тела. Главным положением теории пограничного слоя является гипотеза δ<<l илиδ<< 1 . Это сильное неравенство позволяlет оценить величины слагаемых в уравнениях движения.Очевидны изменения оценок величин функций при их дифференцировании:∂ 1 ∂ 1 ∂ 1∼ ;∼ ,∼ ,∂x l ∂y δ ∂t Tгде T - характерное время. Естественной оценкой для продольной скорости являетсяv x ∼ V и, соответственно,∂v x V∼ ,∂xlгде V − характерная скорость (как правило, это скорость однородного набегающего потока).В частности, для производных проекций скорости∂v x V ∂v y v y∼ ,∼,∂xl∂yδтогда из уравнения непрерывности (4.3) получаем оценку для величины поперечной составляющей скоростиОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин.