Романов А.С., Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Теория подобия и размерности. Пограничый слой, страница 2

Необходимо выяснить, какие ограничения накладывает эта инвариантность на возможные функциональные связи между физическими величинами.Пусть мы имеем некоторую величину a, которая является функцией независимых между собой размерных величин a1, a2,…, ak, ak+1,…, anОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.7a = f(a1, a2,…, ak, ak+1,…, an),величины ai могут быть как постоянными, так и переменными. Переменные величины должны быть отличны от 0 и ∞, либо функция f непрерывна при обращении аргументов в 0 или ∞.Принципиально важно, чтобы в исследуемой функциональной связи были учтены всепостоянные и переменные величины, от которых зависит величина а.Найдем структуру функции f, в предположении, что эта функция выражает некоторыйфизический закон, не зависящий от выбора системы единиц измерения.Пусть среди размерных величин ai первые k (k≤n) имеют независимые размерности(число основных единиц измерения должно быть больше или равно k).Независимость размерностей означает, что размерность ни одной из этих величин неможет быть представлена в виде степенного одночлена размерностей других величин с независимой размерностью.Например, размерности длины L, скорости LT-1 и энергии ML2T-2 независимы, а длиныL, скорости LT-1 и ускорения LT-2 – зависимые LT-2=(LT-1)2L-1.Размерности других физических величин (т.е.

за исключением первых k среди ai ) a,ak+1,…, an можно выразить через размерности величин a1, a2,…, ak.Примем k величин a1, a2,…, ak с независимыми размерностями за основные и введемдля их размерностей обозначения [a1]=A1, [a2]=A2,…, [ak]=Ak. Размерности остальных величин будут иметь вид [ a ] = A1m1 ⋅ A2m2 ⋅ ...

⋅ Akmk , [ ak +1 ] = A1p1 ⋅ A2p2 ⋅ ... ⋅ Akpk , …, [ an ] = A1q1 ⋅ A2q2 ⋅ ... ⋅ Akqk .Изменим теперь единицы измерения величин a1, a2,…, ak соответственно в α1, α2,…,αk раз:a1′ = α1 ⋅ a1 , a2′ = α 2 ⋅ a2 , …, ak′ = α k ⋅ ak ,a′ = α1m1 ⋅ α 2m2 ⋅ ... ⋅ α mk k ⋅ a , ak′ +1 = α1p1 ⋅ α 2p2 ⋅ ... ⋅ α kpk ⋅ ak +1 , …, an′ = α1q1 ⋅ α q22 ⋅ ...

⋅ α kqk ⋅ an .В новой системе единиц измерения исследуемое соотношение примет вид:()a′ = α1m1 ⋅ α 2m2 ⋅ ... ⋅ α mk k ⋅ a = α1m1 ⋅ α 2m2 ⋅ ... ⋅ α mk k ⋅ f α1a1 , α 2 a2 ,..., α k ak , α1p1 α 2p2 ...α kpk ak +1 ,..., α1q1 α 2q2 ...α qk k an .Это равенство записано в силу законов изменения численного значения величин при изменении масштабов единиц измерения. Ввиду произвольности выбора αi , выберем их следующими: α1 =111, α 2 = ,..., α k = . То есть, учитывая независимость функциональных связейa1a2akот выбора единиц измерения, мы выбрали их так, чтобы первые k величин оказались равными единицеΠ = f  1,1,...,1,Π,...,Π,1n−k  kОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин.

Теория подобия и размерности. Пограничный слой.8где Π =aaa, Π1 = p1 pk2 +1 pk , …, Π n − k = q1 q2n qk .mka a ...aka1 a2 ...aka1 a2 ...akm11m22При этом является очевидным, что все Π, Πi безразмерные, т.е. [Π]=1, [Πi]=1.Пи-теорема. Соотношение, не зависящее от выбора единиц измерения, между (n+1)размерными величинами a ,a1, a2,…, an , k из которых имеют независимые размерности, может быть представлено в виде соотношения между (n + 1 − k) величинами Π, Π1, Π2, …, Πn-k,представляющими собой безразмерные комбинации (n + 1) размерных величин.Основной смысл пи-теоремы состоит в том, что всякое физическое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмернымивеличинами. Этот факт лежит в основе теории подобия, играющей важную роль в механикесплошной среды.Чем меньше число величин, определяющих изучаемую величину, тем более ограничена форма функциональной зависимости и тем проще исследование этой зависимости.В частности, если число используемых основных величин равно общему числу величин, определяющих исследуемое явление, которые в этом случае имеют независимые размерности, то с помощью теории размерности эти зависимости полностью определяются сточностью до постоянного множителя.

В самом деле, если n = k, то из величин a1, a2,…, anнельзя образовать ни одной безразмерной комбинации, и поэтомуm1m2mkΠ = f  1,1,...,1⇒a=a⋅a⋅...⋅a⋅f1,1,...,1k12   k  k или a = C ⋅ a1m1 ⋅ a2m2 ⋅ ... ⋅ akmk , где C = const. Постоянную С при этом можно определить либоэкспериментально, либо теоретически из решения соответствующей математической задачи.3.2. Параметры, определяющие класс явлений. Пример применения теории размерностей.Применение теории размерностей основывается на пи-теореме. При этом возникаетнеобходимость перечисления всех параметров (величин), определяющих конкретное течениежидкости.Наиболее простым способом определения всех параметров является постановка соответствующей задачи математической физики.Первое, и основное, с чего надо начать, это выбрать модель сплошной среды.

Возможнозначительное разнообразие вариантов:•идеальная несжимаемая жидкость;ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.9•идеальная сжимаемая жидкость со своим набором термодинамических соотношений;•вязкая несжимаемая жидкость, удовлетворяющая или не удовлетворяющая гипотезеНьютона;•вязкая сжимаемая жидкость;•и т.д.Выбор модели фиксирует систему уравнений, описывающую движение среды.Далее необходимо выбрать подходящую систему координат с учетом предполагаемойсимметрии течения, что совместно с уравнениями движения определит независимые переменные и класс искомых функций.Следующим шагом является формулировка начальных и граничных условий для движения жидкости.Желательно добиться того, чтобы сформулированная задача математической физики имела единственное устойчивое решение. Едва ли можно требовать от исследователядоказательства соответствующих теорем, но здесь должен пригодиться его опыт и понимание проблемы.Независимые переменные, физические постоянные, определяющие механические итермодинамические свойства среды, геометрические характеристики области определения,величины, входящие в состав граничных и начальных условий, – все это должно быть включено в систему определяющих параметров.Определяющие параметры это все данные, которые надо задать для вычисления значений искомых функций на ЭВМ.

При постановке экспериментов – это все параметры, которые надо явно указать для повторения эксперимента.Следует отметить, что возможности получения конкретной информации с помощьюпи-теоремы, по существу, ограничены и недостаточны, так как с ее помощью невозможнополностью установить функциональную связь f(a1, a2,…, ak, ak+1,…, an).Основная польза теории размерностей связана с возможностью изучения физическихзакономерностей в безразмерном виде, не зависящим от выбора систем единиц измерения.Результаты анализа проблемы в безразмерном виде применимы сразу к целому классу явлений.Пример. Движение математического маятника.Не будем пока выписывать решения уравнений динамики. Из физических соображений естественно считать, что существует функциональная связь ϕ = ϕ ( t,ϕ0 ,g ,m,l ) (рис.

3.1).Размерности параметров [t] = T, [ϕ0] = 1 (безразмерная величина), [g] = LT-2, [m] = M. Выберем в качестве основных единиц l, g, m. ТогдаОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.10ggϕ = ϕ  t ⋅, ϕ0 ,1,1,1 = ϕ  t ⋅, ϕ0  ,llгде ϕ0 - максимальное значение угла отклонения маятника от вертикали. Как видно, угол отклонения не зависит от массы подвешенного тела, а зависит только от безразмерного пара-ϕmϕmgРис.

3.1. Описание колебаний математического маятникаметра t ⋅gи максимального отклонения ϕ0. Известно, что движение маятника – периодиlческое:ggϕ  t ⋅, ϕ0  = ϕ  ( t + T0 ) ⋅, ϕ0 llдля любых моментов времени при движении маятника. Это равенство возможно только привполне определенных значениях величиныT0 ⋅g= С ( ϕ0 ) , минимальным из которых явlляется периодом колебаний математического маятника. Для малых колебанийT0 = С ϕ0 =0⋅l.

Величину С ϕ = 0 можно найти экспериментально.0gОбратимся теперь к основному уравнению динамики вращательного движения:d 2ϕg= − sin ϕ ,2dtl(3.3)которое будет рассматриваться с начальными условиями, например,ϕ = ϕ0 иdϕ= 0 , при t = 0,dtозначающими, что в начальный момент времени маятник находился в крайнем положении.ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.11Независимость закона движения математического маятника от массы m следует непосредственно из уравнения динамики.Если теперь перейти в уравнении (3.3) к новым безразмерным зависимым и независимым переменным ϕ∗ = ϕ /ϕ0, t ∗ = t /T, то уравнение динамики в безразмерных переменныхпримет видd 2 ϕ∗g=− 2sin ( ϕ0 ϕ∗ ) ,∗2dtT l ϕ0с соответствующими начальными условиямиϕ∗ = 1 иd ϕ∗= 0 при t ∗ = 0.dt ∗Примем в качестве основной (иногда говорят «характерной») величины времениT = l g .

Тогда уравнение динамики принимает видd 2 ϕ*1= − sin ( ϕ0 ϕ* ) .*2dtϕ0И из уравнения и из начальных условий для безразмерных переменных следует, что колебания математических маятников полностью подобны, то есть описываются одинаковымифункциями ϕ∗(t ∗), если у них одинаковая амплитуда колебаний ϕ0.Пример. Установившееся обтекание шара идеальной несжимаемой жидкостью.Рассмотрим стационарное обтекание неподвижного шара однородным набегающимv0RrϕРис. 3.2. Стационарное обтекание неподвижного шара однородным набегающим потоком невязкой несжимаемой жидкости.потоком невязкой несжимаемой жидкости (рис.

3.2). Движение жидкости в этом случае описывается стационарным уравнением Эйлера: v2 p ∇ +  = 0 , 2 ρ(3.4)ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.12с граничными условиями: v = v0 при ϕ = 0, r= ∞ и ( v, r ) = v n = 0 при r = R для любых 0 ≤ ϕ ≤ 2π.Первое из граничных условий описывает однородный набегающий поток жидкости, а второеявляется условием «непротекания» жидкости через твердую поверхность шара. Непосредственно из постановки задачи следует, что v = f1 ( v0 , R, r , ϕ ) ,p= f 2 ( v0 , R, r , ϕ ) . В качестве осρновных параметров выберем v0, R. Тогда [v0] = LT-1, [R] = L.Заметим, что давление не может быть отнесено к системе определяющих параметров,т.к.

по закону Паскаля изменение давления в какой-либо одной точке несжимаемой жидкости приводит к такому же изменению в других точках жидкости. Поэтому говорят об избыточном давлении, условно принимая значение давления в набегающем потоке равным нулю.Предполагаемые функциональные зависимости примут вид:r v = v 0 ⋅ f1 1,1, , ϕ R  pи с учетом размерности отношения давления к плотности   = L2T −2 =  v02  получаем:ρpr = v 02 ⋅ f 2 1,1, , ϕ  .ρR Из уравнения (3.4) следует, что суммаv2 p+должна описываться единой функциональной2 ρзависимостьюv2 p+ = v02 ⋅2 ρНа поверхности шараr f  ,ϕ .R r= 1 , поэтому там должно выполнятьсяRv2 p+ = v 20 ⋅ f (1, ϕ ) .2 ρНапример, в лобовой точке (ϕ=0):2v=0, p = C ρv 0где C = f (1, 0) = const.