Романов А.С., Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Теория подобия и размерности. Пограничый слой

МГТУ им. Н.Э. БАУМАНАНУК «Фундаментальные Науки»Кафедра «Физика» (ФН-4)А.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.ШахоринУДК 532.135:532.5(075.8)ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙЭлектронное учебное изданиеМетодические указания к подготовке и изучению курса лекцийпо дисциплине «Нелинейные процессы переноса»Рекомендуется Учебно-методической комиссиейНУК «Фундаментальные Науки» МГТУ им.Н.Э. Бауманав качестве методических указанийМосква(С) 2011 МГТУ им.

Н.Э. БАУМАНА2ОГЛАВЛЕНИЕВведение..............................................................................................................................................43. Теория подобия и размерности.....................................................................................................53.1. Размерности физических величин и пи-теорема..................................................................53.2. Параметры, определяющие класс явлений. Пример применения теории размерностей. 83.3. Динамическое подобие и моделирование явлений............................................................134.

Пограничный слой в ньютоновской несжимаемой жидкости. ................................................174.1. Уравнения ламинарного плоского пограничного слоя в вязкой несжимаемой жидкости.........................................................................................................................................................174.2. Ламинарный пограничный слой при обтекании несжимаемой жидкостью плоскойпластинки (задача Блазиуса).

......................................................................................................214.3. Плоская затопленная струя. .................................................................................................234.4. Ламинарный пограничный слой на границе раздела двух потоков. ................................284.5. Преобразование системы уравнений стационарного пограничного слоя в уравнениенелинейной теплопроводности. ..................................................................................................295. Пограничный слой в неньютоновской несжимаемой жидкости со степеннымреологическим законом. ..................................................................................................................335.1.

Плоская затопленная струя в неньютоновской жидкости. ...............................................335.2. Один класс автомодельных решений теории пограничного слоя в неньютоновскойдилатантной жидкости.................................................................................................................37Список рекомендуемой литературы...............................................................................................48ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин.

Теория подобия и размерности. Пограничный слой.3АннотацияДанные методические указания методические указания являются второй часть курса«Нелинейные процессы переноса» и предназначены для студентов, обучающихся по специальности «Техническая физика».Содержат основы физической теории размерности и подобия в приложении к механике сплошной среды с иллюстрациями ее применения на примере пограничного слоя в ньютоновских и неньютоновских нелинейно-вязких жидкостях. В данных методических указаниях рассмотрены классические автомодельные задачи о ламинарном пограничном слое наплоской пластине (задача Блазиуса), задача о затопленной струе, истекающей из узкой щели,и задача о слое смешения.ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин.

Теория подобия и размерности. Пограничный слой.4Введение.Нелинейные процессы переноса, как показывают эксперименты и теория, обладаютособенностями, которые принципиально отсутствуют в линейном случае. Поэтому соответствующие экспериментальные и теоретические проблемы, вообще говоря, в этих случаях немогут быть адекватно разрешены в рамках линейного анализа, так как в нелинейном случае вразных частях рассматриваемых нелинейных систем процесс переноса может происходитьна физически разных масштабах.В этой связи основополагающую роль приобретает теория размерности и подобия, позволяющая провести факторологический анализ физических явлений и на этой основе существенно упростить проблему.

Основу теории размерности составляет пи-теорема, физические основания для формулировки которой представляют собственный интерес. В некоторыхслучаях теория размерности позволяет сократить число независимых переменных, так чтосоответствующая задача математической физики оказывается автомодельной.Широкие возможности для применения теории размерности и подобия дает проблема ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. С другой стороны, проблема переносаимпульса в пограничном слое является нелинейной.

Тем самым на примере пограничногослоя удается проиллюстрировать применение теории размерности и подобия и, одновременно, нелинейные эффекты.В случае ньютоновской жидкости нелинейность проблемы пограничного слоя физически возникает в связи с тем, что поперечный перенос импульса осуществляется одновременно за счет вязкости и за счет субстанционального переноса импульса. В случае неньютоновской жидкости проблема усложняется из-за нелинейности реологического соотношения.При этом возникают отсутствующие для ньютоновской жидкости нелинейные эффекты.Настоящее учебное пособие является второй частью курса «Нелинейные процессыпереноса», в которой приводятся основы теории размерности и подобия в применении к механике сплошной среды. Рассмотрены несколько примеров, нелинейных в своей основе, изтеории ламинарного пограничного слоя для ньютоновской и неньютоновской жидкостей.

Взаключение пособия приводится полный качественный анализ одного класса течений неньютоновской дилатантной жидкости.Нумерация разделов является продолжением нумерации издания тех же авторов«Идеальная и вязкая жидкости»: Учебное пособие, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2008.ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.53.

Теория подобия и размерности.3.1. Размерности физических величин и пи-теорема.Тот факт, что физические соотношения имеют скалярный, векторный или тензорныйхарактер, отражает свойство инвариантности физических законов относительно системы координат.С другой стороны, для того, чтобы задать значения какой-либо физической величины,необходимо задать единицы ее измерения, и, вообще говоря, систему единиц измерения.Очевидно, что смысл физических соотношений не должен зависеть от выбора системы единиц измерений.При этом нет необходимости для каждой физической величины задавать строго особую единицу измерения, т.к. физические определения и соотношения позволяют выражатьразмерности одних физических величин через другие. dsНапример, определение скорости v =позволяет выразить размерность скоростиdtчерез размерности перемещения ds и времени dt.В любой системе единиц измерения вводятся основные единицы измерения.

Они вводятся из опыта с помощью эталонов. Например, в СИ основными считаются метр, секунда,килограмм, Ампер, Кельвин, моль, кандела.Выражение произвольной единицы измерения через основные единицы измерения называется размерностью. Для каждой основной величины вводится обозначение: L – длина, М– масса, Т –время и т.д.Любая произвольная размерность обозначается квадратными скобками от соответствующей величины. Например, [v] – размерность скорости, [E] – размерность энергии и т.д.Формула размерности.

В теории размерности доказывается, что размерность любойвеличины представляет собой степенные одночлены вида [N]=Ll⋅Tt⋅Mm⋅… и называется формулой размерности. Иногда в формулах размерности используют не символы основных величин, а их единиц измерения [v]=м⋅с-1, [E]=кг⋅м2⋅с-2 и т.д.Искомое утверждение следует из очевидного факта, что отношение двух численныхзначений физической величины a не должно зависеть от выбора масштабов для основныхединиц измерения. На самом деле, пусть величина a является функцией нескольких переменных ai, i=1, 2, 3, …, n, имеющих для простоты одинаковую размерность, которая выбранаОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин.

Теория подобия и размерности. Пограничный слой.6в качестве основной. Зафиксируем значения ai и обозначим соответствующее значениефункции a(1). Зафиксируем другие значения переменных a′i и снова обозначим соответствующее значение функции как a′(1). Теперь изменим масштаб размерности в α раз и обозначим те же самые значения функции как a(α) и a′(α).

Как указывалось, должно бытьa (1) a ( α )=илиa′ (1) a′ ( α )a (α)a (1)=a′ ( α )= ϕ (α) .a′ (1)(3.1)То есть, отношение численных значений произвольной физической величины, измеренной вразных масштабах основных единиц измерения, зависит только от отношения масштабов.Из соотношения (3.1) следует, что для двух разных масштабов α1 и α2 отношениеϕ ( α1 ) a ( α1 ) a (1) a ( α1 ) a ( α1 α 2 )α ==== ϕ 1  .ϕ ( α 2 ) a ( α 2 ) a (1) a ( α 2 )a (1) α2 Если теперь считать, чтоα1 = α + dα и α2 = α,то получаем дифференциальное соотношение для определения функции ϕ(α):1 dϕ 1  dϕ (α) = ϕ ( α ) d α α  d α α=1(3.2)Интегрируя (3.2) и учитывая, что при α = 1 функция ϕ = 1, получим искомое утверждениеϕ = αm, dϕ(α) где обозначено m =  = const . d α α=1Очевидно, что этот результат справедлив, если размерная величина a является функцией от нескольких основных величин, при изменении масштаба только одной из них. Еслиже изменяются масштабы нескольких основных величин, то получается формула размерности.Также как уравнения, выражающие физические законы, должны быть инвариантныотносительно выбора системы координат, так и соотношения, выражающие физические закономерности должны быть инвариантны относительно выбора единиц измерения.