Романов А.С., Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Теория подобия и размерности. Пограничый слой, страница 6

Вычисляя поток uuη′ , можно убедиться в том, что вэтом случае на границе носителя решения оказываются выполненными условия непрерывности и скорости и потока – касательного напряжения.Обратный переход от переменных Мизеса к физическим переменным (ζ, η) → (x, y)осуществляется по формулеΨdη.u ( ζ ,η)0x = ζ, y = ∫(4.31)При интегрировании легко убедиться в том, что при Ψ →ηf выполняется y → ∞. Тоесть носитель решения полностью проецируется на область определения физических переменных. Прямое преобразование (x, y) → (ζ, η) оказывается проекцией «в», а обратное преОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин.

Теория подобия и размерности. Пограничный слой.32образование (ζ, η) → (x, y) проекцией «на». Такая ситуация реализуется не всегда, движениеоказывается ограниченным в физических переменных (носитель решения не совпадает с областью определения) в приближении теории пограничного слоя, например, для нелинейновязких жидкостей, анализу особенностей движения которых посвящена следующая глава.ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.335. Пограничный слой в неньютоновской несжимаемой жидкости со степенным реологическим законом.5.1. Плоская затопленная струя в неньютоновской жидкости.Для описания реологических свойств вязкой неньютоновской жидкости часто используется степенной реологический закон Освальда-де Виля:τij = − pδij + 2kAn −1γ ij ,(5.1)1  ∂v ∂v где A = 2 γ ij γ ij - интенсивность тензора скоростей деформации, γ ij =  i + j  . Если2  ∂x j ∂xi учесть оценки, справедливые в приближении теории пограничного слоя, то в обозначенияхтеории (см.

раздел 4.1) можно записать∂v x∂vA=, τ xy = τ yx = τ = k x∂y∂yn −1∂v x.∂y(5.2)Напомним, что величина k = const > 0 называется показателем консистенции, а величина n = const > 0 - индексом течения. При n = 1 реологическое соотношение (5.2) совпадаетс аналогичным соотношением для ньютоновской линейно вязкой жидкости.Уравнения пограничного слоя (4.5) – (4.7) в жидкости Освальда-де Виля переписываются в виде∂v x∂v∂v1 ∂p k ∂  ∂v x+ vx x + v y x = −+∂t∂x∂yρ ∂x ρ ∂y  ∂yn −1∂v x∂y,(5.3)∂p= 0,∂y(5.4)∂v x ∂v y+= 0,∂x∂y(5.5)где для затопленной струи предполагается, что давление в струе постоянно p = const. Приэтом, как и прежде, заданным считается импульс струи (4.17), который сохраняется вдольструи из-за отсутствия трения на ее границах.

Рассматриваемая задача - автомодельная. Длянахождения автомодельной переменной и зависимости функции тока Ψ(x, y) течения от продольной координаты (см. рис. 4.3) положим yΨ = xp ⋅ f  qx,ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.34где постоянные p и q находятся из уравнения (5.3) и условия сохранения импульса струи(4.17). Из условия (4.17), как и прежде, следует равенство (4.20), а уравнение переноса импульса (5.3) переписывается в виде:x 2 p − 2 q −1(( p − q )( f ′)2)− p ⋅ f ⋅ f ′′ =k ( p −2 q )n −q′n −1xf ′′ f ′′ .ρ()(5.6)В итоге получается система( 2 − n ) p + ( 2n − 1) q = 12 p − q = 0из которой находим значения p =12, q=. Одновременно из (5.6) получается уравнение3n3nдля определения функции f(ξ):2− ( f ′ ) − f ⋅ f ′′ = 3nk′n −1f ′′ f ′′ ,ρ()или′kn −1′′′′′ffnff⋅+3 = 0,ρгде учтено, что автомодельная переменная имеет вид ξ =yx23n(5.7)1, а функция тока Ψ = x 3n ⋅ f ( ξ ) .Уравнение (5.7) должно быть решено с граничными условиямиf = 0, f ′′= 0 при ξ = 0(5.8)которые следуют из условия симметрии для функции тока, иf ′= 0 при |ξ| = ∞(5.9)которое означает отсутствие течения жидкости на большом удалении от струи.Интегрируя один раз уравнение (5.7), с учетом условий (5.8), получимf ⋅ f ′ + 3nkn −1f ′′ f ′′ = 0 .ρ(5.10)Ограничивая область определения ξ > 0 и, предполагая, что при ξ > 0 знак второйпроизводной определен f ′′< 0, перепишем уравнение (5.10) в видеf ⋅ f ′ − 3nkn( − f ′′) = 0 .ρ(5.11)Уравнение (5.11) не содержит в явном виде независимую переменную, поэтому егопорядок может быть понижен.

И в самом деле, переходя к новым зависимой и независимойпеременным:(f, ξ) → (g, η), где g = f ′, η = fОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.35получаем из уравнения (5.11) уравнение первого порядка1dg ηg ρ  ng= − , η > 0, g > 0,dη 3kn решение которого записывается в виде квадратуры.Возвращаясь к прежним переменным, получаемf ′ = U − D ⋅ fnn +1nf 2 n −1dη, ξ=∫,nn +1 2 n −10 nU − Bη (5.12)гдеU = f ′ ( 0)2 n −1n−1 3kn  n 2n − 1, D=. ⋅n +1 ρ Таким образом, искомая зависимость f ′(ξ) получена в параметрическом виде.Из вида интеграла (5.12) ясно, что предельное значение переменной f определяется изусловия обращения в ноль знаменателя в подынтегральном выражении (5.12)n U  n +1f → f0 =   .DХарактер этого асимптотического стремления зависит от индекса течения n > 0.Если 0,5 < n ≤ 1, то интеграл в (5.12) при f → f0 не существует и f ′ ≠ 0 во всей области0 < ξ < 0.Если же n > 1, то интеграл существует и можно определить значение автомодельнойпеременной ξ = ξ0, соответствующей границе струиξ0 =f0dη0U − D ⋅ η∫n +1nn2 n −1.(5.13)За пределами этой границы полученное нетривиальное решение должно быть продолжено тривиальным решениемf → f0 = const, f ′ = 0 при ξ > ξ0(см.

раздел 4.5 предыдущей главы).Таким образом, для дилатантных жидкостей (n > 1) не только расход жидкости вструе ограничен, но и поперечные размеры струи также оказываются ограниченными.Неизвестная пока постоянная U должна быть определена из условия постоянства импульса струи. Из (4.17) следуетОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.36J=2ρ+∞∫ ( f ′)2d ξ = const .0Дальнейший анализ удобно провести, переходя к новым переменнымζ=f ′ ( 0) ⋅ ξf, ϕ= .f0f0Учитывая, что f ′ ⋅ d ξ = df , преобразуем условие постоянства импульса в новых переменныхк видуJ= f ′(0) ⋅ D2ρ−1 1n +1∫ 1 − ϕn +1n0n2 n −1d ϕ = const .Из этого соотношения можно найти искомую постоянную1Jf ′ ( 0) =⋅2ρ 1D n +1∫ 1 − ϕ0n +1n.n2 n −1(5.14)dϕИнтеграл в (5.14) может быть вычисленnn +1 2 n −1n 3n − 1 n 1−ϕ∫0  n  d ϕ = n + 1 ⋅ Β  2n − 1 , n + 1  ,11где Β ( x, y ) = ∫ t x −1 (1 − t )y −1dt - бета-функция.0Соотношения (5.12) в новых переменных примут видnϕn +1 2 n −1dηϕ′ζ = 1 − ϕ n , ζ =∫, ϕ∈ ( 0,1) .n1n+0  2 n −1n1 − η На рис.

5.1 представлен вид функции ϕ′ζ ( ζ ) , которая, по сути, определяет изменениепродольной скорости жидкости поперек струи, для различных значений индекса теченияn > 0,5. Особенно простая зависимость получается при n → ∞: ϕ′ζ = 1 −ζ.2ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин.

Теория подобия и размерности. Пограничный слой.37ϕζ1,00,8n=60,6n=20,4n=1n=2/30,2ζ-4,0-3,0-2,0-1,00,01,02,03,04,0Рис. 5.1. Относительная продольная скорость для различных значений индекса теченияЕсли индекс течения n < 0,5, то формально полученные выше соотношения такжеимеют место. Однако в этом случае расход жидкости в струе оказывается неограниченнобольшим в любом поперечном сечении, так как ξ → ∞ при f → ∞ во втором соотношении(5.12). Причиной этого является ограниченная применимость степенного реологического закона Освальда – де Виля. Как указывалось в разделе (2.6), кажущаяся вязкость оказываетсябесконечно большой при малых скоростях деформации для псевдопластичной жидкости приn < 1, что в случае n > 0,5 и приводит к неограниченности расхода струи.5.2. Один класс автомодельных решений теории пограничного слоя в неньютоновскойдилатантной жидкости.Вернемся теперь к классической задаче Блазиуса (см.

раздел 4.2) для неньютоновскойжидкости со степенным реологическим законом Освальда – де Виля (5.1). Ограничимсятолько дилатантными жидкостями n > 1, как представляющими для нас наибольший интерес.Движение жидкости в пограничном слое описывается системой уравнений (5.3) –(5.5), которая в случае задачи Блазиуса должна рассматриваться совместно с граничными усОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности.

Пограничный слой.38ловиями (4.8), (4.9). Несложно убедиться в том, что поставленная таким образом задача является автомодельной. Поэтому сразу укажем новые автомодельные переменные:функцию тока1 n ( n + 1)  n +1Ψ = V⋅ x⋅ ⋅ f (ξ)Rexи независимую переменнуюξ=y  Rex x  n ( n + 1) 1n +1.При этом для продольной vx и поперечной vy скоростей получаются выражения1V  n + 1  n +1vx = V ⋅ f ′ , v y = ⋅ ( ξf ′ − f ) .n + 1  Rex Здесь обобщенное число Рейнольдса Rex =ρV 2− n x n, а переменные выбраны таким образом,kчтобы окончательный вид уравнений для автомодельных переменных выглядел наиболеепросто.

Система уравнений (5.3) – (5.5) в указанных автомодельных переменных сводится кодному уравнению:f ′′′ f ′′n −1+ f ′′ ⋅ f = 0 .(Заметим, что уравнение (5.15) при n = 1 переходит в уравнение (4.15) при замене f →(5.15)f.)2Исследуем характер интегральных кривых уравнения (5.15) вне зависимости от граничных условий.

Наша цель – определение качественного характера всего класса теченийдилатантной жидкости, в конечном итоге сводящееся к исследованию уравнения (5.15). Тотфакт, что уравнение (5.15) возникает не только в задаче Блазиуса, уже отмечался в случаеньютоновской жидкости n = 1 (см. раздел 4.4).Для качественного исследования интегральных кривых уравнения (5.15) сведем его куравнению первого порядка. Вначале понизим его порядок с помощью замены переменных(f, ξ) → (z, f), где z = f ′. Предварительно вычислив производныеf ′′ =d ( z f z ) dfdz df= z f z , f ′′′ == ( z ff z + z f z f ) z ,df d ξdf d ξиз уравнения (5.15) получимf ⋅ zf z = zf zn −1(zffz + zf zf ) z .ОглавлениеА.С.Романов, А.В.Семиколенов, С.Н.Тараненко, А.П.Шахорин. Теория подобия и размерности. Пограничный слой.39Отбрасывая возможное тривиальное решение z ≡ 0 (см.

разделы 4.5 и 5.1) и сокращаяz, получаем уравнениеf ⋅ zf = zf zn −1(zffz + zf zf ) .Инфинитезимальный оператор для этого уравнения имеет вид∂n +1 ∂+z .∂f 2n − 1 ∂zX= fИспользуем первое продолжение этого оператора∂n +1 ∂ 2 − n∂+z +zf∂f 2n − 1 ∂z 2n − 1 ∂z fX= f1для поиска дифференциального инварианта первого порядка. (Непосредственная проверкапоказывает, что второе продолжение этого инфинитезимального оператораX= f2∂n +1 ∂ 2 − n∂ 3 − 3n∂z +zfz ff++∂f 2n − 1 ∂z 2n − 1 ∂z f 2n − 1 ∂z ffсохраняет вид уравнения F = f ⋅ z f − z f zn −1(zffz + z f z f ) = 0 .)Из соотношений для характеристикdz fdfdz==n +12−nfzzf2n − 12n − 1находим два независимых дифференциальных инвариантаzq=fn +12 n −1f′≡fn +12 n −1zf, p∗ =f2−n2 n −1.Из соображений наглядности более удобно использовать вместо p* другую величинуf ′′p = p∗q =3f, которая также является инвариантом.