Шпаргалки, страница 9

Геометрическая кратность собственногозна‒чения не превосходит его алгебраическойкратности.Док‒во. Пусть m и s ‒ алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения λ0 оператораА ∈ ℒ (V, V). Собственное подпространство Wλ0инвариантно относительно оператора А => можнорассматривать индуцированный оператор А | Wλ0 .Найдем его характеристический многочлен f1(λ).Пусть e1,..., еs ‒ базис Wλ0 => согласно (2) матрицейоператора А | Wλ0 в этом базисе будет диагональнаяматрица s‒го порядка с элементами λ0 на главнойsдиагонали => f1(λ) = (λ0 ‒ λ) .

По теореме(Характеристический многочлен индуцированногооператора является делителем характеристическогомногочлена порождающего оператора), (λ0 ‒λ)s ‒делитель характеристического многочлена f (λ)оператора А, но (λ0 ‒ λ) входит в характеристическиймногочлен f (λ) ровно m раз. Значит, s ≤ т.

•Т2. Сумма собственных подпространств оператора,отвечающих различным собственным значениям,является прямой суммой.Док‒во. Пусть λ1, ..., λ р ‒ попарно различные собственные значения оператора А => для собственныхподпространств Wλ1,..., WλP выполнено условиепрямой суммы: ∀ система ненулевых векторов, взятыхпо одному из каждого WλK, линейно независима каксистема собственных векторов, отвечающихразличным собственным значениям (теорема:Собственные векторы х1, …, xk оператора,отвечающие различным собственным значениям λ1,..., λk , линейно независимы).

•23. Инвариантность подпространства. Сужениеоператора.Пусть V ‒ линейное пр‒во над полем Р и А ∈ ℒ (V, V).Линейное подпространство L пр‒ва V называетсяинвариантным подпространством относительнооператора А, если для ∀ х ∈ L : А х ∈ L.Пр. 1. Тривиальные подпространства {θ} и V инвариантны относительно ∀ оператора А ∈ ℒ (V, V).2. Для ∀ ЛО А инвариантные подпространства: ker Аи im А, т.к. если А х = θ, то А (А х) = А θ =θ, и если у= А х, то А у = А (А х) = А х1, где х1 = А х.3.

Для оператора дифференцирования (D: Мп → Мn : Dp(t)= р '(t)) в пространстве Мп вещественныхмногочленов инвариантными подпространствамиявляются все подпространства М0, М1, ..., Мп‒1.Т1. Пусть А ∈ ℒ (V, V) и L ‒ инвариантноеподпро‒странство относительно А. Тогда Ǝ базиспр‒ва V, в котором матрица оператора А имеетквазитреугольную форму.Док‒во.

Пусть е1, ..., еk ‒ базис L. Дополним его добазиса е1, ..., еk, еk+1 ... ,еn пр‒ва V. Построим матрицуоператора А в этом базисе. Из инвариантности L =>А е1, ..., А еk ∈ L => векторы А е1, ..., А еk линейновыражаются только через е1, ..., еk =>œ- =  - + ⋯ + 0 -0 ,r…pœ-0 = 0 - + ⋯ + 00 -0aAqœ-0‚ = ,0‚ - + … + !,0‚ -! ,…po œ-! = ! - + … + !! -!=> матрица Ае имеет вид: … 0 ,0‚ … !­°̄…¬ … 0000,0‚ … 0!¯už = ¬ 0 … 0 0‚,0‚ … 0‚,! ¯¬…¬¯… 0 !,0‚ … !! ®« 0=> имеет квазитреугольную форму:u š³už = ± G² ¥З1.

Верна и обратная теорема: переход от (2) к (1)очевиден => L = ℒ (е1, ..., еk) инвариантно отн‒но А.Т2. Если пр‒во V является прямой суммойподпро‒странств L1, ..., Lk , инвариантных отн‒нооператора А ∈ ℒ (V, V), то в пр‒ве V Ǝ базис, вкотором матр‒ица оператора А имеетквазидиагональную форму.Док‒во ан‒но док‒ву Т1. В качестве искомого базисаберется базис е, составленный из базисов слагаемыхподпространств (критерий прямой суммы) => в силуинвариантности L1, ..., Lk матрица Ае имеет видu0uD  nuž = Ÿ…0u0З2. Верна и обратная теорема.Индуцированный оператор.

Рассматривая ЛОтолько на его инвариантном подпространстве, можнополучить новый оператор. Пусть L ‒ подпространство,инвариантное относительно оператора А ∈ ℒ (V, V).Отображение А | L : L → L, определенное равенством(А | L ) х = А х, ∀ х ∈ L, называется индуцированнымоператором, порожденным оператором А илисужением оператора А на L. В силу линейностиоператора А индуцированный оператор также будетлинейным. Он совпадает с ЛО А на подпространстве Lи не определен вне его. Итак, А | L ∈ ℒ (V, V).З3. Из разложений (1) => матрицы А1, ...,Аk в (3)являются матрицами индуцированных операторов А1 |L, ...

, Аk | L в базисах инвариантных подпространствL1, ..., Lk .24. Треугольная форма матрицы линейногооператора. Теорема Шура.Пусть V ‒ линейное пр‒во над полем Р и А ∈ ℒ (V, V).Линейное подпространство L пр‒ва V называетсяинвариантным подпространством относительнооператора А, если для для ∀ х ∈ L : А х ∈ L.Отображение А | L : L → L, определенное равенством(А | L ) х = А х, ∀ х ∈ L, называется индуцированнымоператором, порожденным оператором А илисужением оператора А на L.Т1. В п‒мерном комплексном пр‒ве V для ∀ ЛОА ∈ ℒ (V, V) Ǝ система п вложенных друг в другаинвариантных подпространств L1, ..., Lп всехразмерностей от 1 до п, т.е. таких, чтоL1 ⊂ L2 ⊂...⊂ Lп = V , где dim Lk = k , k =1, b.Док‒во.

Индукция по п. Для п = 1 очевидно. Пустьтеорема верна для всех линейных пр‒тв размерности п‒ 1. Докажем ее для п‒мерного пр‒ва V.Л. ЛО, действующий в п‒мерном комплексном пр‒ве,имеет инвариантное подпространство dim = п ‒ 1.Док‒во леммы. ЛО А, действующий в комплексномпр‒ве V, имеет собственное значение λ (Т: ∀ ЛО,действующий в п‒мерном комплексном пр‒ве,имеет:1) п собственных значений, если каждоесобственное значение считать столько раз, каковаего кратность как корня характеристическогомногочлена;2) хотя бы 1 собственный вектор;3) на ∀своем инвариантном подпространстве хотя бы 1собственный вектор) => det (A ‒ λI ) = 0 иrg (A ‒ λI ) ≤ n ‒ 1 => dim im (A ‒ λI ) ≤ n ‒ 1 и впр‒ве V Ǝ подпространство L размерности п ‒ 1,которое содержит im (A ‒ λI ).

L инвариантно отн‒нооператора A ‒ λI . Пусть х ∈ L => (A ‒ λI )х = у ∈ L=> Ах = λх + у ∈ L => L инвариантно отн‒но A .Док‒во теоремы. Согласно лемме оператор А,действующий в п‒мерном комплексном пр‒ве V,имеет инвариантное подпространство Lп‒1размерности п ‒ 1 => индуцированный операторА | Lп‒1 действует в (п ‒ 1)‒мерном комплексномпр‒ве Lп‒1 и по индуктивному предположению длянего Ǝ система вложенных инвариантных L1 ⊂ ...⊂ Lп‒1таких, что dim Lk = k , k =1, b − 1. Т.к. действияоператоров А и А | Lп‒1 совпадают, то L1, ..., Lп‒2 ⊂ Lп‒1инвари‒антны отн-но А. Остается добавить, что Lп‒1 ⊂Lп = V.

•Т2. Для ∀ ЛО А, действующего в комплексном пр‒ве,Ǝ базис, в котором матрица ЛО имеет треугольнуюформу.Док‒во. Согласно Т1 для оператора А Ǝ системаинвариантных подпространств L1, ..., Lп таких, чтоdim Lk = k и L1 ⊂ L2 ⊂...⊂ Lп = V .

Базис е1,..., еп строимтак: в качестве е1 берем ∀ базис L1, в качестве еk, гдеk > 1, ‒ вектор, дополняющий базис Lk‒1 до базиса Lk.В силу инвариантности подпространств Lk k =1, b,матрица Ае имеет верхнюю треугольную форму. •З1. На главной диагонали матрицы Ае расположенысобственные значения оператора А.Т3. ∀ квадратная комплексная матрица подобнаматрице, имеющей треугольную форму.Док‒во. Пусть А ∈ ℂ!×! ‒ заданная матрица. Рассмотрим ∀ комплексное пр‒во V размерности п.Зафиксируем в пр‒ве V ∀ базис f.

Пусть А ∈ ℒ (V, V) ‒ЛО, матрица которого в базисе f совпадает с матрицейА, так что А = Аf (такой оператор Ǝ по теореме (Пустьdim V = п, dim W = m. Тогда Ǝ взаимно однозначноесоответствие между ЛО из ℒ (V, W) и матрицами изтхпP)). В силу Т2 Ǝ базис е, в котором матрица Аeоператора А имеет треугольную форму. При переходеот базиса е к базису f = eQ матрица оператораизменяется по закону Аf =Q‒1 Аe Q . Это равносильноих подобию. •Т4 (теорема Шура).

Для ∀ оператора,действую‒щего в унитарном пр‒ве, Ǝ ОНБ, в котором он имеет треугольную матрицу.Повторяется док‒во Т2 , но на каждом шаге строитсяОНБ инвариантного подпространства.25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимостьего сужений.ЛО А ∈ ℒ (V, V) ‒ нильпотентный, если Ǝ q ∈ ℕ : А q= ОНаименьшее q ‒ индекс нильпотентности (высота)оператора А. Для ненулевого А q ≥ 2. Ан‒но определяетсянильпотентная матрица А ∈ P n × п и ее индекс.Т1. Если А ∈ ℒ (V, V) ‒ нильпотентный оператор индексаq и х0 ∈ V ‒ вектор, для которого А q‒1 х0 ≠ θ, то векторых0, А х0, ..., А q‒1 х0 линейно независимы.Док‒во.

Применяя послед‒но А q‒1, А q‒2, ... , А к равенствуα0 х0 + α1 А х0 + ...+ αq‒1 А q‒1 х0 = θ, получим: α0 = α1 = …= αq‒1 = 0 => линейная независимость системы векторов. •С1. Индекс нильпотентности не превосходит dim V.Т2. В комплексном пр‒ве ЛО нильпотентен все егособственные значения = 0.Док‒во. Необх‒сть. Если λ ‒ собственное значениенильпотентного оп‒ра А ∈ ℒ (V, V) индекса q и х ‒соот‒щий собственный вектор, то А х = λ х => А 2 х = λ2 хqqq=>...=> А х = λ х => λ х = θ.

Т.к. х ≠ θ, то λ = 0.Дост‒сть. Рассмотрим базис е комплексного пр‒ва V, вкотором оператор А имеет верхнюю треугольную матрицу(Для ∀ ЛО А, действующего в комплексном пр‒ве, Ǝ базис,в котором матрица ЛО имеет треугольную форму),главная диагональ которой состоит целиком из 0 (Наглав‒ной диагонали матрицы Ае расположенысобственные значения оператора А) =>0 D ´ … !­ 0 0 … °̄D´D!¬už = ¬…¯¬ 0 0 0 … !µ,! ¯«0 0 0 …0®При последовательном возведении Ае в степени q=2,3 ... ,птреугольник над главной диагональю перемещаетсякаждый раз на 1 диагональ выше => (Аe)n = О => А n = О. •Если V = L1 ⨁ ... ⨁ Lp ‒ прямая сумма подпространств L1,L2, . .