Шпаргалки, страница 5

Пусть A ∈ ℂ$×! имеет линейнонезависимые столбцы а1, … , ат ∈ ℂ! и к ним применялся процесс ортогонализации Грама‒Шмидта => врезультате получаются ортонормированные векторыq1,…, qт ∈ ℂ$ . ak ∈ ℒ (q1,..., qk), " = 1, Q => длякаких‒то чисел rik : 0 = ∑0+, Ž+0 90 или:Ž ⋯ Ž$⋱⋮ wu = ,  = ‘9 , … , 9$ ’,=v ⋮0 ⋯ Ž$$Разложение A = QR, где Q имеет ортонормированныестолбцы, а R ‒ верхняя треугольная матрица,называется QR‒разложением матрицы А.=> для ∀ прямоугольной матрицы с линейнонезави‒симыми столбцами существует QR‒разложение.Т5. ∀ прямоугольная матрица, в которой число строкне меньше числа столбцов, обладает QR‒разложением с верхней ступенчатой матрицей R.Док‒во. Пусть +“ ‒ 1‒й ненулевой столбец матрицыА; +M ‒ 1‒й столбец: +M ∉ L+“ ; +• ‒ 1‒й столбец:+• ∉ L+“ , +M , и т.д.

=> получаем в А базиснуюсистему столбцов +“ , … , +“– , i1 < i2 < … < ir,обладающую св‒вами: аj = 0 при j < i1 ;] ∈ ℒ+“ , … , +— при il < j <il +1, l = 1,…, r‒1;] ∈ ℒ+“ , … , +– при ir < jНайдем QR‒разложение: ‘+“ , … , +– ’ = ‘9+“ , … , 9+– ’˜ .Систему столбцов 9+“ , … , 9+– дополним до ОНБ вn‒мерном пр‒ве столбцов и из полученных столбцовсоставим матрицу Q, сохранив первоначальныестолбцы в позициях i1, …, ir .Записав А = QR, видим, что в матрице R первые rэлементов il ‒го столбца те же, что в l‒м столбцематрицы Rr. В то же время, j‒й столбец при il < j <il+1имеет 0 в позициях ниже il ‒й.12.

Линейное афинное многообразие в линейномпр‒ве. Гиперплоскость.Пусть V ‒ линейное пр‒во, L ‒ некоторое егоподпро‒странство, х0 ‒ некоторый вектор пр‒ва V.Множество H всевозможных векторов вида х0 + х, гдех ∈ L, называется линейным аффинныммногообразием пр‒ва V, полученным сдвигом L навектор х0. х0 ‒ вектор сдвига, а L ‒ направляющееподпространство:H = х0 + L = {х0 + х | х ∈ L}. =>1°. х0 ∈ H, т.к. х0 = х0 + θ, θ ∈ L.2°. Разность двух векторов линейного многообразияпринадлежит направляющему подпространству, т.к.если z1 = х0 + х, z2 = х0 + у, x, у ∈ L, то z1 ‒ z2 = х ‒ у ∈ L.Т1. 2 линейных многообразия H1 = х1 + L1 и H2 = х2 + L2совпадают L1 = L2 = L и х1 ‒ x2 ∈ L.Док‒во.

Необ‒сть. Пусть Н1 = Н2 => х1 ∈ H2 и, в силусв‒ва 2°, х1 ‒ x2 ∈ L2. Покажем: L1 = L2. Для ∀ х ∈ L1имеем х1 + х ∈ Н1. Т.к. Н1 = Н2, то Ǝ у ∈ L2 : х1 + х == х2 + у => х = (х2 ‒ x1) + у, где х1 ‒ x2 ∈ L2, y ∈ L2. =>х ∈ L2 и L1 ⊂L2. Ан‒но L2 ⊂ L1 => L1 = L2.Дост‒сть. L1 = L2 = L и х1 ‒ x2 ∈ L => для ∀z ∈ Н1 :z = х1 + х, где х ∈ L, или z = x2 +(х1 ‒ x2) + х, х ∈ L,.Т. к. х1 ‒ x2 ∈ L и х ∈ L, то (х1 ‒ x2) + х ∈ L => z ∈ H2 иH1 ⊂ H2. Ан‒но H2 ⊂ H1 => Н1 = Н2. •С1. Вектором сдвига может быть ∀ векторлинейного многообразия.Если х1 ‒ произвольный вектор линейного многообразия H = х0 + L, то х1 ‒ x0 ∈ L и H = х1 + L.С2. Линейное многообразие может быть полученосдвигом единственного направляющегоподпространства. (вытекает из Т1).Размерностью линейного многообразия (dim H)называется размерность его направляющегоподпро‒странства.

Линейное многообразиеразмерности 1 ‒ прямая в линейном пр-ве,размерности (n ‒ 1),где n = dim V, ‒ гиперплоскость, а размерности k,1 < k < n ‒ 1, ‒ k‒мерная плоскость.Линейные многообразия H1 = х1 + L1 и H2 = х2 + L2 впр‒ве V параллельны, если или L1 ⊂ L2, или L2 ⊂ L1.Т2. Если 2 линейных многообразия с непустымпересечением параллельны, то одно из них содержитдругое.Док‒во. Пусть H1 = х1 + L1 и H2 = х2 + L2 параллельныи пусть L1 ⊂ L2 .

По условию Ǝ х0 ∈ Н1 ∩ Н2. Т.к.вектором сдвига может быть ∀ вектор линейногомногообразия, то H1 = х0 + L1 и H2 = х0 + L2 => сучетом L1 ⊂L2 : H1 ⊂ H2. •С3. Если линейные многообразия параллельны, толибо они не пересекаются, либо одно из нихсодержится в другом.Т3. Непустое пересечение линейных многообразий H1= х1 + L1 и H2 = х2 + L2 является линейным многообразием с направляющим подпространством L1 ∩ L2.Док‒во. По условию Ǝ х0 ∈ Н1 ∩ Н2 => H1 = х0 + L1 иH2 = х0 + L2 => Н1 ∩ Н2 = х0 + L1 ∩ L2, т.к.

для этихмножеств имеет место двустороннее вложение. •Т4. Всякое k‒мерное линейное многообразие вп‒мерном пр‒ве можно задать в виде пересечения п ‒k гиперплоскостей.Док‒во. Пусть H = х0 + L ‒ k‒мерное линейное многообразие и е1,..., еk ‒ базис L . Дополним его до базисае1, ...,еk , еk+1, ...,еn пр‒ва V. В качестве искомыхгиперплоскостей можно взять линейные многообразияHi = х0 + Li, где 2 = 1, b − ", где Li ‒ линейнаяоболочка всех векторов базиса V, кроме еk+i :Li = ℒ (e1, …, ek+i‒1, ek+i+1 ..., en) => L1 ∩ L2 ∩… ∩ Ln‒k =ℒ (e1, …, ek) = L . По Т3 => Н = Н1 ∩ Н2 ∩… ∩ Нn‒k. Т.к.dim Li = n ‒ 1, 2 = 1, b − ", то Hi ‒ гиперплоскости. •Т5. Пересечение H = х0 + L с ∀ подпространством,дополнительным к L, состоит ровно из 1 вектора.Док‒во.

L6 ‒ дополнительное к L. Т.к. L ⨁ L6 = V, то6для х0 Ǝ разложение х0 = у + z, где у ∈ L , z ∈ L =>z = х0 ‒ у ∈ H , ибо ‒у ∈ L => z ‒ общий вектор L6 и H,т.е. z ∈ L6 ∩ Н .Пусть z' ∈ L6 ∩ Н => т.к. z ∈ H, z' ∈ H, то по св‒ву 2°z ‒ z' ∈ L, а т.к. z ∈ L6, z' ∈ L6 , то z ‒ z' ∈ L6.Из L ∩ L6 = {θ} => z ‒ z' = 0, т.е. z = z'.

•Пусть H = х0 + L ‒ линейное многообразие вевкли‒довом (унитарном) пр‒ве. Вектор n ∈ H , n ⊥ L,‒ нормальный вектор линейного многообразия L.Т6. Для ∀ линейного многообразия в евклидовом(унитарном) пр‒ве Ǝ ! нормальный вектор.Док‒во. Рассмотрим H = х0 + L.

Все векторы из H,ортогональные L, находятся в ™ ∩ 3} , но ™ ∩ 3}состоит ровно из 1 вектора п, т.к. 3} ‒дополнитель‒ное к L (Т5 и (Если L ‒ линейноеподпространство Е (U ), то 3⨁3} = €)). Этотвектор n будет единственным нормальным векторомH. •Т7.

Нормальный вектор линейного многообразиясовпадает с перпендикуляром, опущенным из ∀вектора линейного многообразия на направляющееподпространство.Док‒во. Пусть п ‒ нормальный вектор линейногомногообразия H = х0 + L => H = n + L => ∀ f ∈ Hможно представить в виде f = п +g, g ∈ L. Т.к. n ⊥ L,то это соотношение совпадает с разложением вектораf на ортогональную проекцию g и перпендикуляр п. •Сл. Среди всех векторов линейного многообразия нормальный вектор имеет наименьшую длину.Пусть H = х0 + L ‒ гиперплоскость в Е (U), т.е.dim L = m ‒ 1, где m= dim Е (dim U) => 3} ‒ 1-мерноеподпространство и его базис состоит из 1вектора n.х ∈ H разность х ‒ х0 ∈ L, т.е.

(х ‒ х0 , n) = 0. (1)=> (1) удовлетворяют все векторы х гиперплоскостиH, и только они. (1) (x, n) = p, где р = (х0, п) ‒фиксированное число для данной гиперплоскости.Т8. Пусть Н = H = х0 + L ‒ линейное аффинноемногообразие в евклидовом (унитарном) пр‒ве. Тогдаρ(f, H) = ρ(f ‒ x0, L).=> из Т (Расстояние между вектором f и линейнымподпространством L в евклидовом (унитарном) пр‒веравно длине перпендикуляра, опущенного из вектора fна L) и того, что для ∀ z = х0 + у ∈ H:ρ(f, z) = |f ‒ z| = |(f ‒ x0) ‒ y| = ρ(f ‒ x0, L), где y ∈ L. •Т 9.

Пусть H1 = х1 + L1 и H2 = х2 + L2 ‒ линейныеаффинные многообразия в евклидовом (унитарном)пр‒ве. Тогда ρ(H1, H2) = ρ(х1 ‒ х2, L1 + L2).=> из того, что для ∀z1 = х1 + у1 ∈ H1 и z2 = х2+ у2 ∈ H2:ρ(z1,z2) = |z1 ‒ z2| = |(x1 ‒ x2) ‒ (y1 ‒y2)| = ρ(x1 ‒ x2, y),где y = y1 ‒ y2 ∈ L1 + L2 •13. Линейные операторы (ЛО). Матрица ЛО.V и W ‒ линейные пр‒ва над общим Р. ОтображениеA: V→W (1) называется линейным оператором,действующим из V в W, если для ∀ х, у ∈ V, α ∈ Р1) A (x +y) = A x + A y ; 2) А (αх) = αА х .Если V = W , то отображение А : V → V называютлинейным оператором, действующим в V.Если W = Р, то отображение (1) называют линейнойформой или линейным функционалом в пр‒ве V.Множество всех ЛО, действующих из V в W: ℒ (V, W).ЛО А, В ∈ ℒ (V, W) равны, если А х = В х, ∀ х ∈ V.Пр.1.

Мп ‒ пр‒во вещественных многочленов степени ≤ п.ЛО диффер‒ния D: Мп → Мn, : D p(t)= р '(t).2. V = L1 ⨁ L2 . ЛО проектирования пр‒ва V на L1параллельно L2 : Р : V → V по правилу Р х = х1 для х ∈ V сразложением х = х1 + x2, где х1 ∈ L1 , х2 ∈ L2 .ЛО отражения пр‒ва V относительно L1 параллельно L2 :R : V → V по правилу R х = х1 ‒ x2 .3. Нулевой ЛО О : V → W : ∀ х ∈ V переводит в θ ∈ W.4.

Тождественный ЛО I : V → V , ∀ х ∈ V переводит в х.Из определения => св‒ва.1°. ЛО переводит 0‒й вектор в 0‒й вектор, т.к.Аθ1 = А (0х) = 0Ах = θ2 (θ1 ∈ V и θ2 ∈ W ).2°. ЛО сохраняет линейные комбинации, т.е. переводитлинейную комбинацию векторов в линейную комбинациюобразов с теми же коэффициентами:А ( ∑!+, + (+ = ∑!+, + u(+3°. ЛО сохраняет линейную зависимость, т.е. переводитлинейно зависимую систему в линейно зависимую.Т1. Пусть е1, …,еп ‒ базис пр‒ва V, а q1, …,qп ‒произвольные векторы пр‒ва W. Тогда Ǝ ! ЛОА ∈ ℒ (V, W), который переводит векторы е1, ..., еп ввекторы q1, …,qп соответственно.Док‒во.

Построим искомый оператор, положив для∀ х = ∑!+, (+ -+ ∈ : A x= ∑!+, (+ 9+GИз единственности разложения вектора х по базису =>правило (2) однозначно определяет образ вектора х,причем А ei = qi, i = 1, b. Из линейности координат =>линейность построенного оператора.Оператор А единствен, т.к. если В ‒ ∀ другой ЛО,переводящий векторы е1, ..., еп в векторы q1, …,qп , тоВ х = В ∑!+, (+ -+ = ∑!+, (+ š-+ = ∑!+, (+ 9+ = A x ,∀ х ∈ V => В =А •Сл.

ЛО А, В ∈ ℒ (V, W) равны они совпадают навекторах базиса V.Пусть е = (е1, ..., еп) и f = (f1, ..., fm) ‒ базисы пр‒тв V и W.Из Т1 => ЛО А ∈ ℒ (V, W) однозначно определяетсязаданием векторов А е1,...,А еп. Но векторы А еi , i = 1, bоднозначно определяются своими координатами в базисеf, т.е. коэффициентами разложенийœ- =  . + D .D … + $ .$ ,œ- = D . + DD .D … + $D .$ , a› D…œ-! = ! . + D! .D … + $! .$Матрица оператора А в паре базисов е и f : D … !D DD … D! už = Ÿ…$ $D … $!Из единственности разложения вектора по базису => прификсированных е и f матрица ЛО определена однозначно.Т2.

Пусть dim V = п, dim W = m. Тогда Ǝ взаимнооднозначное соответствие между линейнымиоператорами из ℒ (V, W) и матрицами из P т х п.Док‒во. Зафиксируем базисы е = (е1,...,еп) и f = (f1,...,fm)пр‒тв V и W. Поставим в соответствие каждому ЛОА ∈ ℒ (V, W) его матрицу Аfe в паре базисов е и f. МатрицаАfe ∈ $×! определена однозначно. Это отображениебиективно, т.к. оно:1) сюръективно, т.к. ∀ матрица В = (bij) ∈ P т х п являетсяматрицей ЛО из ℒ (V, W), переводящего векторы ej ввекторы ∑$+, +] .+ , j = 1, b (в силу Т1 такой оператор Ǝ);2) инъективно, ибо различные операторы из ℒ (V, W) несовпадают на базисных векторах и, значит, имеют разныематрицы. •Отображение f : X →Y называется:‒ инъективным, если из x1 ≠ x2 => f (x1) ≠ f (x2), т.е. f (x) =y при ∀ y ∈ Y имеет не более 1 решения;‒ сюръективним, если im f = Y, т.е. f (x) = y при ∀ y ∈ Yимеет хотя бы 1 решение;‒ биективным, если оно инъективно и сюръективно, т.е.

f(x) = y при ∀ y ∈ Y имеет единственное решение.14. Матрица ЛО при переходе к другому базису.Эквивалентность и подобие матриц.Пусть е = (е1,...,еп) и f = (f1,...,fm) ‒ базисы пр‒ств V и W.Из теоремы (Пусть е1, . . .,еп ‒ базис пр‒ва V, q1, . . .,qп‒ произвольные векторы пр‒ва W. Тогда Ǝ ! ЛОА ∈ ℒ (V, W), который переводит векторы е1,...,еп ввекторы q1, . .

.,qп соответственно) =>ЛО А ∈ ℒ (V, W) однозначно определяется заданиемвекторов А е1, ...,А еп. Но векторы А еi , i = 1, bоднозначно определяются своими координатами вбазисе f, т.е. коэффициентами разложенийœ- =  . + D .D … + $ .$ ,œ- = D . + DD .D … + $D .$ ,a› DA…œ-! = ! . + D! .D … + $! .$Матрица оператора А в паре базисов е и f : D … !D DD … D! už = Ÿ…$ $D … $!Пусть ЛО А ∈ ℒ (V, W), е = (е1,...,еп) и f = (f1,...,fm)базисы пр‒тв V и W.Т1. Если у = А х , то ) = už (ž (2)Док‒во. х = ∑!+, (+ -+ , y = ∑$+, )+ .+ , u¡ = +] .Утверждение (2) )+ = ∑!], +] (] , 2 = 1, Q.