Шпаргалки, страница 3

Необх‒сть из Т1 (утверждения 4,7).Дост‒сть. Из условия 2 => L1+ L2 ‒ прямая сумма.Пусть L = L1 ⨁ L2 .По Т1 (У4) dim V = dim L1 + dim L2=> в силу условия 1: dim V = dim L => L = V (Размерность линейного подпространства не превосходитразмерности пр‒ва. Подпространство той жеразмерности, что и все пр‒во, совпадает с пр‒вом),т.е. V = L1 ⨁ L2. •Пусть L ‒ линейное подпространство пр‒ва V.Подпространство Lϭ называется дополнительнымподпространством к L, если L ⨁ Lϭ = V => L ‒дополнительное подпространство к Lϭ.Т3.

Для ∀ подпространства L линейного пр‒ва V Ǝдополнительное подпространство.Док‒во. Если L = {θ} , то Lϭ = V, а если L= V, тоLϭ ={θ}. Пусть L ‒ нетривиальное подпространство.Пусть e1,..., ek ‒ базис L. Дополним его до базиса e1,...,ek ,ek+1,..., en всего пр‒ва V => ℒ (ek+1,..., en)= Lϭ, т.к. дляподпространства ℒ (ek+1,..., en) выполнены все условияТ2.

•5. Евклидово и унитарное пространство.Неравенство Коши‒Буняковского‒Шварца.Пусть V ‒ вещественное или комплексное линейноепр‒во. Отображение ( , ) : V × V→ Р называетсяскалярным произведением, если оно удовлетворяетаксиомам: для ∀ х, у, z ∈ V и ∀ α ∈ Р1) (x, y) = ), (, (в вещественном случае без черты)2) (αx, y) = α(x, y)3) (x+y, z) = (x, z) + (y, z)(1)4) (x, x) ≥ 0 для ∀ х ∈ V, (x, x) = 0 х = θ .Число (х, у) называется скалярным произведениемвекторов х и у. Вещественное линейное пр‒во соскалярным произведением называется евклидовымпространством E, комплексное ‒ унитарным V.Из определения скалярного произведения => св‒ва:1°.

(х, у+z) = (х, у) + (х, z), ∀х,у,z ∈ Е (U).2°. (х, αу) = (х, у), ∀х, у ∈ Е (U), ∀α ∈ ℝ (ℂ).3°. (θ, x) = (x, θ) = 0 ∀х ∈ Е (U)4°. (х, у) = 0 для ∀ у ∈ Е (U) х = θ .5° . ∀ подпространство L евклидова (унитарного)пр‒ва является евклидовым (унитарным) пр‒вом.Скалярное произведение (х, у) векторов х, у линейнопо 1‒му аргументу, а в евклидовом пр‒ве ‒ по обоим(св‒ва 1°, 2° ).Т1. Для ∀х, у ∈ Е (U) имеет место неравенствоКоши‒Буняковского: |(х, у)|2 ≤ (х, x) (y, y) (2)(, ( (, )R≥0или R(, ) ), )Док‒во.

Пусть х ≠ θ (для х = θ (2) ‒ равенство). Для∀х, у ∈ Е (U) и ∀α ∈ ℝ (ℂ) согласно (1) и св‒вам 1°‒4°:0 ≤ ( − ), ( − ) = (, ( − (, ) − ), ( +), ) = | |D (, ( − (, ) − ), ( + ), ) (3)х ≠ θ => (x, x) ≠ 0. Пусть α = (у, х)/(х, х) => из (3)имеем|), (|D), ((, ) (, )), ((, ( −0≤−+ ), )(, (D(, ((, (=> после очевидных преобразований получим (2). •З. Неравенство К‒Б в евклидовом пр‒ве:(х, у)2 ≤ (х, х)(у, у).Т2. Неравенство К‒Б обращается в равенство векторы х и у коллинеарны.Док‒во содержится в док‒ве Т1: если х = θ, то х = 0y.Если х ≠ θ, то (3) обращается в равенство 0 = (αx ‒ y, αx ‒ y), т.е. когда у = αx. •В евклидовом и унитарном пр‒вах длина вектора х :|(| = U(, (.Из аксиом скалярного произведения =>1°.

∀ вектор х евклидова (унитарного) пр‒ва имеетдлину, при этом |х| ≥ 0 , ∀х ∈ Е (U) и |х| = 0 х = θ.2°. |αх| = |α||х|, ∀х ∈ Е (U), ∀α ∈ ℝ (ℂ).Неравенство Коши‒Буняковского в новойтерминологии: |(, )| ≤ |(| · |)| (4)Вектор единичной длины называетсянормированным.

∀ ненулевой вектор можнонормировать, поделив его на его длину.Т3.В евклидовом (унитарном) пр‒ве для ∀ х, у :||(| − |)|| ≤ |( + )| ≤ |(| + |)|(5)Док‒во. |( + )|D = ( + ), ( + ) = (, ( + (, у ++), ( + ), ). Применив числовые неравенстватреугольника, с учетом (4) :|( + )|D ≤ |(|D + 2|(| · |)| + |)|D = |(| + |)|D|( + )|D ≥ |(|D − 2|(| · |)| + |)|D = |(| − |)|D=> (5). •Неравенства (5) называются неравенствамитреугольника в евклидовом (унитарном) пр‒ве.В евклидовом пр‒ве углом между ненулевымивекторами х и у называется угол φ, 0 < φ < π:(, )cos ' =|(| ∙ |)|В унитарном пр‒ве понятие угла между векторами неопределено.6.

Скалярное произведение в ортонормированномбазисе. Существование ОНБ.Пусть V ‒ вещественное или комплексное линейноепр‒во. Отображение ( , ) : V × V→ Р называетсяскалярным произведением, если оно удовлетворяетаксиомам: для ∀ х, у, z ∈ V и ∀ α ∈ Р1) (x, y) = ), (, (в вещественном случае без черты)2) (αx, y) = α(x, y)3) (x+y, z) = (x, z) + (y, z)4) (x, x) ≥ 0 для ∀ х ∈ V, (x, x) = 0 х = θ .Число (х, у) называется скалярным произведениемвекторов х и у. 2 вектора х, у ∈ Е (U) называютсяортогональными, если (х, у) = 0. Из св‒ва ((х, у) = 0для ∀ у ∈ Е (U) х = θ) => только 0‒й вектор θ,ортогонален ∀ вектору пр‒ва. В евклидовом пр‒ве[,\вследствие cos ' =ортогональность векторов х|[|∙|\|и у означает, что либо один из них 0‒й, либо уголмежду ними = π/2.Система векторов x1,..., xk ∈ Е (U ) ‒ ортогональная,если(xi , xj) = 0 при i ≠ j (1)Система x1,..., xk ∈ Е (U ) ‒ ортонормированная, если1, 2 = `a(+ , (] = δ+] = _G0, 2 ≠ `Т1.

Ортогональная система ненулевых векторовлинейно независима.Док‒во. Пусть x1,..., xk ∈ Е (U ) ‒ ортогональнаясистема ненулевых векторов. Умножая обе частиравенства α1x1 +…+ αi xi +…+ αk xk = θ (3)скалярно на xi , получаем по (1) αi (xi , xi) = 0, 2 = 1, ".По условию xi ≠ θ => (xi , xi) ≠ 0 => в (3) все αi = 0 =>векторы системы линейно независимы. •С1.

Ортонормированная система векторов линейнонезависима.С2. В п‒мерном евклидовом (унитарном) пр‒ве ∀ортонормированная система из п векторов образуетбазис.Базис, векторы которого образуютортонормирован‒ную систему, называетсяортонормированным базисом (ОНБ). Из (2) => е1,...,1, 2 = `aеk ‒ ОНБ Е (U ), если -+ , -] = _<0, 2 ≠ `Т2. В евклидовом (унитарном) пр‒ве координатыx1,..., xn вектора х в базисе е = (е1, ..., еn) вычисляютсяпо правилу xi = (x, ei), 2 = 1, b (5) е ‒ ОНБ.Док‒во.

Необ‒сть. Пусть для ∀ х ∈ Е (U) координатыв базисе е вычисляются по (5) => по (5) вычисляютсякоординаты и базисных векторов: ei = 0e1 + ... + 0ei‒1 +1ei + 0ei+1 + ... + 0en , 2 = 1, b. Сравнение координат ei с(5) приводит к (4).Дост‒сть. Если е ‒ ОНБ и ( = ∑!+, (+ -+ , то св‒волинейности скалярного произведения с учетом (4)приводит к (5). •Т3. В евклидовом (унитарном) пр‒ве скалярноепроизведение векторов ( = ∑!+, (+ -+ , ) = ∑!+, )+ -+ ,заданных своими координатами в базисе е,вычисля‒ется по правилу (, ) = ∑!+, (+ )+(6) е ‒ ОНБ.Док‒во.

Необх‒сть. Если скалярное произведениевычисляется согласно (6) для ∀ пары векторов, то этоже верно для пары базисных векторов ei и ej,координаты которых известны. Применив правило (6)для вычисления (ei, ej), получим равенства (4).Дост‒сть. Если е ‒ ОНБ и ( = ∑!+, (+ -+ ,) = ∑!+, )+ -+ => в силу свойства линейностискалярного произведения имеем!!!!(, ) = c; (+ -+ , ; )] -] d = ; ; (+ )] -+ , -] =+,],+, ],!= ; (+ )++,∎З. В евклидовом пр‒ве черту в (6) можно опустить:(, ) = ∑!+, (+ )+ .Т4.

В конечномерном евклидовом (унитарном) пр‒веƎ ОНБ.Док‒во (по индукции). Пусть dim V = n. При n = 1можно взять любой вектор f ≠ θ и положить е1 = f /|f|.Пусть в ∀ (n ‒ 1)‒мерном евклидовом (унитарном)пр‒ве Ǝ ОНБ. Пусть f1,…,fn ‒ базис Е (U ). Линейнаяоболочка ℒ (f1,..., fn‒1) является (п ‒ 1)‒мерным пр‒вом,и в нем по индуктивному предположению Ǝ ОНБе1,..., еп‒1. Т.к. fn ∉ ℒ (f1,..., fn‒1) = ℒ (e1,..., en‒1), товектор gn = fn ‒ α1 e1 ‒ …‒ αn ‒1 en ‒1 ≠ θ при ∀αi ∈ ℝ (ℂ).Выберем коэффициенты αi, 2 = 1, b − 1, из условияортогональности вектора gn всем векторам е1,..., еп ‒1 :0= (gn, ei ) = (fn, ei) ‒ αi, 2 = 1, b − 1.

Тогда, положивеп = gп /| gn |, получим ОНБ е1,..., еп пр‒ва Е (U). •7. Изометрия.2 линейных пр‒ва V1 и V2 над общим полем Р называются изоморфными (VI ≅ V2), если Ǝ биективноеотображение φ: V1 → V2 , которое сохраняет законыкомпозиции, т.е. если для ∀ х, у ∈ V1 и ∀ числа ∈ 1) '( + ) = '( + ') 2) '( = '(.Само отображение φ называется изоморфизмомлинейных пространств.Свойства изоморфных пр‒тв:1°. Отношение изоморфизма есть отношениеэквивалентности на множестве всех линейных пр‒твнад полем Р.2°. В изоморфных пр‒ваха) образ (и прообраз) линейной комбинации векторовесть линейная комбинация образов (прообразов) стеми же коэффициентами;б) образ (и прообраз) нулевого вектора есть нулевойвектор;в) образ (и прообраз) линейно независимой системывекторов образует линейно независимую систему;г) образ (и прообраз) базиса есть базис.Т (критерий изоморфизма).

2 линейных пр‒ва надобщим полем изоморфны их размерности равны.Док‒во. Необх‒сть вытекает из св‒ва "г" изоморфныхпр‒тв.Дост‒сть. Пусть V1 и V2 ‒ линейные пр‒ва над полемР и dim V1 = dim V2 = п. Пусть е1, ...,еn ‒ базис VI ,f1,…, fn ‒ базис V2 . Построим отображение φ: V1→ V2, :∀ х = ∑!+, + -+ ∈ V1 → у = ∑!+, + .+ ∈ V2 (т.е. вектор yимеет те же координаты, что и х). Из единственностиразложения вектора по базису => отображение φбиективно.

И φ ‒ изоморфизм, т.к. координатывектора обладают св‒вом линейности. •Евклидовы пр‒ва Е1 и E2 называются изоморфными,если Ǝ биективное отображение φ: Е1 → E2 , котороесохраняет законы композиции и скалярноепроизведение:1) '( + ) = '( + '), ∀x, y ∈ Е12) '( = '(, ∀x ∈ Е1 , ∀ ∈ ℝ3) '(, ') = (, ), ∀x, y ∈ Е1Само отображение φ называется изоморфизмомевклидовых пространств или изометрией.Для унитарных пространств все также, но в св‒ве 2:α ∈ ℂ. Из определения => изоморфные евклидовы(унитарные) пр‒ва изоморфны как линейные пр‒ва.Т1.

Два евклидовых (унитарных) пр‒ва изоморфны равны их размерности.Док‒во. Необх‒сть вытекает из изоморфизмаевклидовых (унитарных) пр‒тв как линейных пр‒тв.Дост‒сть. Пусть V1 , V2 ‒ оба евклидовы (обаунитарные) пр‒ва и пусть dim V1 = dim V2 = п.Выберем в V1 И V2 ОНБ е1, ...,еn и е1’, ...,еn’ . Построимотображение φ: V1→ V2, поставив в соответствиекаждому вектору х = ∑!+, (+ -+ ∈ VI вектор '( =∑!+, (+ -+ ′. Из док‒ва критерия изоморфизма =>отображение φ ‒ изоморфизм линейных пр‒тв V1 И V2.Оно сохраняет скалярное произведение, т.к. если х =∑!+, (+ -+ , y = ∑!+, )+ -+ ′, то!(, ) = ; (+ )+ ,+,!'(, ') = ; (+ )++,согласно теореме (В евклидовом (унитарном) пр‒вескалярное произведение векторов ( = ∑!+, (+ -+ ,) = ∑!+, )+ -+ , заданных своими координатами вбазисе е, вычисляется по правилу (, ) = ∑!+, (+ )+ е ‒ ОНБ) :8.