Шпаргалки, страница 2

2 линейных пр‒ва надобщим полем изоморфны их размерности равны.Док‒во. Необх‒сть => из св‒ва "г" изоморфных пр‒тв.Дост‒сть. Пусть V1 и V2 ‒ линейные пр‒ва над полемР и dim V1 = dim V2 = п. Пусть е1, ...,еn ‒ базис VI ,f1,…, fn ‒ базис V2 . Построим отображение φ: V1→ V2, :∀ х = ∑!+, + -+ ∈ V1→ у = ∑!+, + .+ ∈ V2 (т.е. вектор yимеет те же координаты, что и х). Из единственностиразложения вектора по базису => отображение φбиективно. И φ ‒ изоморфизм, т.к. координатывектора обладают св‒вом линейности.С. ∀ п‒мерное вещественное пр‒во изоморфноарифметическому пр‒ву ℝ! , а любое п‒мерноекомплексное пр‒во ‒ арифметическому пр‒ву ℂ! .------------------------------------------------------------------*: Система векторов е1,...,еп линейного пр‒ва являетсяего базисом она образует максимальную линейнонезависимую систему векторов этого пр‒ва**: Если система векторов а1,…, аn линейнонезависима, а система а1,…, аn,b линейно зависима, товектор b линейно выражается через векторы а1,…, аn3.

Сумма и пересечение линейных пространств.Подмножество L линейного пр‒ва V над полем Рназывается линейным подпространством пр‒ва V ,если оно является линейным пр‒вом относительнозаконов композиции в V .Пусть a1, ..., ak ‒ система векторов линейного пр‒ва Vнад полем Р. Линейной оболочкой ℒ (a1, ..., ak)системы векторов a1, ..., ak называется мн‒вовсевозможных линейных комбинаций этих векторов:ℒ (a1, ..., ak) ={ a = ∑0+, + + |+ ∈ , 2 = 1, " }=> ∀ конечномерное пр‒во является линейнойоболочкой векторов своего базиса.Т1. Если a1, ..., ak ‒ векторы линейного пр‒ва V, тоℒ (a1, ..., ak) является линейным подпространствомпр‒ва V. (Вытекает из Т*, т.к для линейной оболочкиℒ (a1, ..., ak) обе импликации имеют место.)Линейная оболочка ℒ (a1, ..., ak) ‒ это линейноеподпространство, порождаемое векторами a1, ..., ak.2 системы векторов линейного пр‒ва эквивалентны,если каждая из этих систем выражается через другую.Т2.

2 системы векторов линейного пр‒ваэквивалентны их линейные оболочки совпадают.Док‒во. Необх‒сть. Пусть системы a1, ..., ak иb1, ..., b т эквивалентны => ℒ (a1, ..., ak) = ℒ (b1, ..., b т),т.к. для этих множеств имеет место двустороннеевложение. Дост‒сть очевидна.С1. Линейная оболочка системы векторов совпадаетс линейной оболочкой своей базы.С2.

dim ℒ (a1, ..., ak) = rg (a1, ..., ak).Т3 (о монотонности размерности). Размерностьлинейного подпространства не превосходитразмерности пр‒ва. Подпространство той жеразмерности, что и все пр‒во, совпадает с пр‒вом.Док‒во. Пусть L ‒ линейное подпространство V,dim L= k, dim V = n => k ≤ п , т.к. иначе в n ‒ мерномпр‒ве V Ǝ k (k > п) линейно независимых векторов(например, векторы базиса L).

Пусть k = п и е1, . . . , еп‒ базис L . dim V = п => векторы е, . . . , еп образуютбазис V (В n ‒ мерном пр‒ве ∀ n линейно независимыхвекторов образуют базис). Т.о., L = V = ℒ (e1, ..., en). •Пусть L1,...,Lk ‒ линейные подпространства линейногопр‒ва V. Суммой подпространств L1,...,Lk называетсямножество всевозможных векторов х , представимых ввиде x = x1 +…+ xk (разложение вектора х поподпространствам L1,...,Lk), где (+ ∈ 3+ , 2 = 1, ".L1 + ...

+ Lk = ∑0+, 3+ = {( = ( + ⋯ + (0 | (+ ∈3+ , 2 = 1, " }Пересечение подпространств L1,...,Lk называетсямножество L1 ∩ ... ∩ Lk={x ∈ | (+ ∈ 3+ , 2 = 1, " }0‒й вектор θ ∈ L1 ∩ ... ∩ Lk.Т4. Сумма и пересечение подпространств линейногопр‒ва V являются линейными подпространствамипр‒ва V. (Вытекает из Т*, т.к. для ∑0+, 3+ и ⋂0+, 3+справедливы обе импликации)∀3+ , 2 = 1, " и их пересечение являются линейнымиподпространствами суммы L1 + ... + Lk, а пересечениеL1 ∩ ...

∩ Lk ‒ линейным подпространством ∀3+Т5. Сумма линейных подпространств есть линейнаяоболочка совокупности базисов слагаемыхподпространств.Док‒во. Пусть е1, ...,еm, f1, ...,fs,..., q1, ...,qt ‒ базисыподпространств L1, L2, ..., Lk. Положим W = ℒ (е1, ...,еm,f1, ...,fs,..., q1, ...,qt ) => W = L1 + ...

+ Lk , т.к. для этихмножеств имеет место двустороннее вложение. •С. Размерность суммы линейных подпространств =рангу совокупности слагаемых подпространств:dim ∑0+, 3+ = rg (е1, ...,еm, f1, ...,fs,..., q1, ...,qt).(Вытекает из Т5 с учетом Т3)Т6. Для ∀ линейных подпространств L1 и L2 пр‒ва V:dim (L1 + L2) = dim L1 + dim L2 ‒ dim L1∩ L2. (1)Док‒во. Пусть L1∩ L2 ≠ {θ} и f1, ...,fs ‒ базис L1∩ L2 .Т.к.L1∩ L2 ⊂ L1 и L1∩ L2 ⊂ L2 => по Т** векторы f1, ..., fsможно дополнить и до базиса L1, и до базиса L2 .

Пустье1, ...,еm, f1, ...,f ‒ базис L1, а f1, ...,fs, q1, ...,qt базис L2 .Система векторове1, ...,еm, f1, ...,fs, q1, ...,qt(2)порождает L1 + L2 по Т5 и она линейно независима,:$т. к если ∑$+, + -+ + ∑+, + .+ + ∑+, 8+ 9+ = , (3) то$$:9 = ; 8+ 9+ = − ; + -+ − ; + .++,+,+,<=> вектор q ∈ L1∩ L2 => q ‒ линейная комбинациявекторов f1, ...,fs.

Из единственности разложениявектора q по линейно независимой системе векторове1, ...,еm, f1, ..., fs => в (4) α1 = . . . = αт = 0 => в (3) всилу линейной независимости f1, ...,fs,..., q1, ...,qt : β1 = .. . = βs = 0, γ1 = . . . = γt = 0= 0 => только тривиальнаялинейная комбинация векторов (2) = θ => векторы (2)образуют базис L1 + L2 => dim (L1 + L2) = m+s+t. (5)Согласно схеме построения векторов (2),dim L1 + dim L2 ‒ dim L1∩ L2=(m + s) + (s + t) ‒s =>сравнение с (5) дает (1).

Если L1∩ L2 ={θ} , док‒воан‒но, но в нем не участвуют векторы f1, ..., fs.------------------------------------------------------------------*: Непустое подмножество L пр‒ва V являетсялинейным подпространством этого пр‒ва имеютместо импликации:1) a, b ∈ L =>a+b ∈ L, 2) a ∈ L, α ∈ ℝ=> αa ∈ L**: (о неполном базисе). В п‒мерном пр‒ве ∀ линейнонезависимую систему из k, где k < n, векторов можнодополнить до базиса.4.

Прямая сумма линейных пространств.Сумма подпространств линейного пр‒ва называетсяпрямой суммой (L1 ⨁ ... ⨁ Lk), если разложение ∀вектора в ней по слагаемым подпространствамединственно.Т1 (критерии прямой суммы). Для подпространствL1,..., Lk конечномерного линейного пр‒ва V следующиеутверждения равносильны:1) сумма подпространств L1,...,Lk ‒ прямая;2) совокупность базисов подпространств L1,...,Lkлинейно независима;3) совокупность базисов подпространств L1,...,Lkобразует базис суммы ∑0+, 3+ ;4) dim ∑0+, 3+ = ∑0+, dim 3+ ;5) Ǝ вектор а ∈ ∑0+, 3+ , для которого разложение поподпространствам L1,...,Lk единственно;6) ∀ система ненулевых векторов a1, ..., ak , взятых поодному из каждого 3+ , 2 = 1, ", линейно независима;7) L1 ∩ L2 = { θ } (для k = 2).Док‒во.

1 => 2. Пусть совокупность е1, ...,еm, f1, ...,fs,...,q1, ...,qt базисов подпространств L1,...,Lk линейнозависима и$:$; + -+ + ; + .+ + ⋯ + ; 8+ 9+ = +,$+,+,:$где ; +D + ; +D + ⋯ + ; 8+D ≠ 0+,$+,:+,AG$Пусть ( = ; + -+ , (D = ; + .+ , … , (0 = ; 8+ 9++,+,+,(+ ∈ 3+ , 2 = 1, ", причем среди x1, ... , xk в силу (2) илинейной независимости векторов ∀ базиса Ǝ хi ≠ θ =>(1) можно записать θ = x1 + ... + xk , хi ≠ θ (3)Это дает 2‒е разложение θ (кроме θ= θ +... + θ) поподпространствам L1,...,Lk.2 => 1. Пусть L1,..., Lk ‒ не прямая сумма => Ǝ b изэтой суммы, который имеет 2 разложения по L1,...,Lk :b = b1 +…+bk , b = b1' +…+bk', (4)которые отличаются хотя бы 1 слагаемым.

Есливычесть из 1‒го равенства 2‒е и разложить каждоеслагаемое bj ‒ bj' по базису Lj , получимнетривиаль‒ную линейную комбинацию базисныхвекторов пр‒тв L1, ..., Lk , равную θ. Это противоречитлинейной независимости совокупности базисов L1, ...,Lk,.2 <=> 3. Это следует из теоремы (Сумма линейныхподпространств есть линейная оболочкасовокупности базисов слагаемых подпространств).3 <=> 4. Эти утверждения отличаются толькотерминологией.1 => 5.

Очевидно.5 => 1. Пусть L1 + ... + Lk ‒ не прямая сумма => Ǝвектор b из этой суммы, для которого имеют место 2различных разложения (4). Вычитая, получим нетривиальное разложение 0‒го вектора (3). Если егосложить с разложением вектора а, то получим ещеодно разложение вектора a.1 => 6.

Пусть система векторов а1,..., аk , где + ∈ 3+ ,+ ≠ , 2 = 1, ", линейно зависима => Ǝ числа α1,..., αk∈ Р, одновременно ≠0 (пусть αi ≠ 0) : α1 а1+…+ αi аi+…+ αk аk = θ. Это дает 2‒е разложение θ, отличное оттривиального (т.к. αi аi ≠ θ) => противоречие с п.1.6 => 1. Пусть L1 + ... + Lk ‒ не прямая сумма, тогда Ǝвектор b, для которого имеют место 2 разложения (4).Вычитая, получим +M + ⋯ + +N = , где +O =+O − +PO ≠ , +O ∈ 3+O , Q = 1, 9 => векторы+M , … , +N линейно зависимы => ∀ система ненулевыхвекторов, взятых по одному из каждого 3+ , 2 = 1, ", содержащая эти векторы, линейно зависима в силутеоремы (Если подсистема системы векторовлинейно зависима, то и вся система линейнозависима).

Это противоречит 6.4 <=> 7. Это следует из теоремы (Для ∀ 2 линейныхподпространств L1 и L2 линейного пр‒ва V : dim (L1 +L2) = dim L1 + dim L2 ‒ dim L1∩ L2.) •Т2. Линейное пр‒во V является прямой суммой своихподпространств L1 и L2 :1) dim V = dim L1 + dim L22) L1∩ L2 = { θ }Док‒во.