Шпаргалки

1. Линейное пространство над произвольнымполем. Ранг и база системы векторов.Пусть дано поле Р. Непустое мн‒во V называетсялинейным или векторным пространством надполем Р, если на этом мн‒ве определены внутреннийV × V →V (сложение) и внешний Р × V →V(умножение на число из Р) законы композиции,удовлетворяющие аксиомам: ∀, , ∈ и , ∈ 1.

+ = + 2. + + = + + 3. ∃ ∈ : + = + = 4. для ∀ ∈ ∃ − ∈ : + − = − + = 5. 1 ∙ = 6. = 7. + = + 8. + = + Линейное пр‒во над полем ℝ ‒ вещественноелинейное пр‒во, над полем ℂ ‒ комплексное.Рассмотрим конечные системы  , … , ! векторов.Линейно независимая подсистема системы векторов,через которую линейно выражается ∀ вектор системы,называется базой этой системы векторов.Т1.

Подсистема системы векторов является базойсистемы векторов образует максимальнуюлинейно независимую подсистему.Док‒во. Необх‒сть. Пусть в системе векторова1,…,аr,… аn подсистема а1,…,аr образует базу =>∀ большая подсистема будет линейно зависимой поТ (*), т.к. ∀ ее вектор линейно выражается через базуа1,…,аr => база образует максимальную линейнонезависимую подсистему.Дост‒сть. Пусть а1,…,аr ‒ максимальная линейно независимая подсистема системы а1,…,аr,… аn => для∀ аi ,i=1, ", подсистема а1,…,аr, аi ‒ линейно зависима(если i < r, то как подсистема, содержащая 2одинаковых вектора; если i > r, то как подсистема изr+1 > r векторов).

По Т (**) аi ‒ линейно выражаетсячерез а1,…,аr => а1,…,аr ‒ база. •С1. Все базы одной системы векторов состоят изодинакового числа векторов, равного максимальномучислу линейно независимых векторов системы.Число векторов базы называется рангом системывекторов: rg (а1,…,аn) = максимальному числулинейно независимых векторов системы.2 системы векторов линейного пр‒ва называютсяэквивалентными, если каждая из этих системвыражается через другую => база системы векторовэквивалентна самой системе.Т2. Если система а1,…,аk линейно выражается черезb1,...,bт , то rg (а1,…,аk) < rg (b1,...,bт).Док‒во. Пусть а1,…,аr и b1,...,bs, ‒ базы. Из условиятеоремы и транзитивности свойства "линейнойвыражаемости" => база а1,…,аr 1‒й системы линейновыражается через базу b1,...,bs 2‒й => r < s, т.к.

иначе,если r > s, система а1,…,аr была бы линейно зависимойпо Т (*). •С2. Ранги эквивалентных систем совпадают.С3. Эквивалентные линейно независимые системывекторов состоят из одинакового числа векторов.Система векторов е1,..., еп линейного пр‒ва Vпорож‒дает пр‒во V, если ∀ х ∈ V является линейнойкомби‒нацией е1,..., еп . Упорядоченная системавекторов е1,...,еп линейного пр‒ва V называетсябазисом V, если она линейно независима и порождаетV.Т1. ∀ 2 базиса линейного пр‒ва состоят изодинакового числа векторов.

(=> из эквивалентностидвух базисов линейного пр‒ва и C2).Число векторов базиса не зависит от самого базиса иоднозначно определяется самим пр‒вом (Т *).Число векторов базиса линейного пр‒ва V ‒размерность пространства V : dim V. Размерность0‒го пр‒ва по определению = 0. Из Т*** => dim V =максимальному числу линейно независимых векторовэтого пр‒ва. Линейное пр‒во размерности п, п ∈ ℕ,называется п‒мерным. 0‒е пространство и n‒мерныепр‒ва называются конечномерными. Линейное пр‒воназывается бесконечномерным, если для ∀k ∈ ℕ впр‒ве Ǝ k линейно независимых векторов.

Пример:пр‒во М∞ многочленов всех степеней.Т2 (о неполном базисе). В п‒мерном пр‒ве ∀ линейнонезависимую систему из k, где k < n, векторов можнодополнить до базиса.Док‒во. е1 ..., еп ‒ линейно независимая системавекторов пр‒ва V. Т.к. k < п => в силу T*** системае1, ..., еk не является базисом V => не порождает всегопр‒ва V. Пусть вектор еk+1 ∈ V не является линейнойкомбинацией е1, ..., еk => система векторов е1,...,еk, еk+1линейно независима (в силу Т**). Если k+1= п , то этасистема векторов образует базис V, если же k+1 < п, тоан‒но построим линейно независимую систему изk + 2 векторов.

За n ‒ k таких шагов мы построимискомый базис е1 ...,еk,…,еn. •Коэффициенты разложения вектора по базисуназываются координатами вектора в этом базисе.Пусть е = (е1, ...,еn) и f = (f1,…, fn) ‒ 2 базиса n‒мерногопр‒ва V. Векторы 2‒го базиса, как векторы пр‒ва V,разлагаются по базису е: f1 = c11e1 + . . . + cn1en….fn = c1n e1 + . .

. + cnn enКоэффициенты сij этих разложений образуют матрицуС = (сij) ∈ ℝ$×! перехода от базиса е к базису f.1°. Разложение вектора по базису единственно.2°. Координаты вектора обладают линейностью.3°. При переходе от базиса е к базису f = eCкоординаты вектора х изменяются : хе = C хf--------------------------------------------------------------------*: Если в линейном пр‒ве большая система векторовлинейно выражается через меньшую, то большаясистема линейно зависима**: Если система а1,…, аn линейно независима, асистема а1,…, аn ,b линейно зависима, то вектор bлинейно выражается через векторы а1,…, аn***: Система векторов е1,...,еп линейного пр‒ваявляется его базисом она образует максимальнуюлинейно независимую систему векторов этого пр‒ва2.

Изоморфизм линейных пространствСистема векторов е1,..., еп линейного пр‒ва Vпорож‒дает пр‒во V, если ∀ х ∈ V является линейнойкомби‒нацией е1,..., еп . Упорядоченная системавекторов е1,...,еп линейного пр‒ва V называетсябазисом V, если она линейно независима и порождаетV.Т1. ∀ 2 базиса линейного пр‒ва состоят изодинако‒вого числа векторов. (=> из эквивалентностидвух базисов линейного пр‒ва и следствия (Рангиэквивалентных систем совпадают)).Число векторов базиса не зависит от самого базиса иоднозначно определяется самим пр‒вом (Т *).Число векторов базиса линейного пр‒ва V ‒размерность пространства V : dim V.

Размерность0‒го пр‒ва по определению = 0. Из Т* => размерностьлинейного пр‒ва = максимальному числу линейнонезависимых векторов этого пр‒ва. Линейное пр‒воразмерности п, п ∈ ℕ, называется п‒мерным. 0‒епространство и n‒мерные пр‒ва называютсяконечномерными. Линейное пр‒во называетсябесконечномерным, если для ∀k ∈ ℕ в пр‒ве Ǝ kлинейно независимых векторов.

Пример: пр‒во М∞многочленов всех степеней.Т2 (о неполном базисе). В п‒мерном пр‒ве ∀ линейнонезависимую систему из k, где k < n, векторов можнодополнить до базиса.Док‒во. е1 ..., еп ‒ линейно независимая системавекторов пр‒ва V. Т.к. k < п => в силу T* система е1,..., еk не является базисом V => не порождает всегопр‒ва V. Пусть вектор еk+1 ∈ V не является линейнойкомбинацией е1, ..., еk => система векторов е1,...,еk, еk+1линейно независима (в силу Т**). Если k+1= п , то этасистема векторов образует базис V, если же k+1 < п, тоан‒но построим линейно независимую систему изk + 2 векторов.

За n ‒ k таких шагов мы построимискомый базис е1 ...,еk,…,еn. •Коэффициенты разложения вектора по базисуназываются координатами вектора в этом базисе.Пусть е = (е1, ...,еn) и f = (f1,…, fn) ‒ 2 базиса n‒мерногопр‒ва V. Векторы 2‒го базиса, как векторы пр‒ва V,разлагаются по базису е: f1 = c11e1 + . . . + cn1en….fn = c1n e1 + . .

. + cnn enКоэффициенты сij этих разложений образуют матрицуС = (сij) ∈ ℝ$×! перехода от базиса е к базису f.1°. Разложение вектора по базису единственно.2°. Координаты вектора обладают свойствомлинейности.3°. При переходе от базиса е к базису f = eCкоординаты вектора х изменяются : хе = C хf2 линейных пр‒ва V1 и V2 над общим полем Р называются изоморфными (VI ≅ V2), если Ǝ биективноеотображение φ: V1 → V2 , которое сохраняет законыкомпозиции, т.е.

если для ∀ х, у ∈ V1 и ∀ числа ∈ 1) '( + ) = '( + ')2) '( = '(.Само отображение φ называется изоморфизмомлинейных пространств. Св‒ва изоморфных пр‒тв:1°. Отношение изоморфизма ‒ отношениеэквива‒лентности на мн‒ве всех линейных пр‒тв надР.2°. В изоморфных пр‒ваха) образ (и прообраз) линейной комбинации векторовесть линейная комбинация образов (прообразов) стеми же коэффициентами;б) образ (и прообраз) 0‒го вектора есть 0‒й вектор;в) образ (и прообраз) линейно независимой системывекторов образует линейно независимую систему;г) образ (и прообраз) базиса есть базис.Док‒ва этих свойств опираются на определение иэлементарные св‒ва объектов.Т(критерий изоморфизма).