Шпаргалки, страница 10

. , Lр, инвариантных относительно ЛО А ∈ ℒ (V, V),то оператор А называется прямой суммойиндуциро‒ванных операторов А | L1, . . . , А | Lр. Этоттермин мотивирован тем, что для ∀х ∈ V с разложением х= х1 + . . . + хр, где хk ∈ Lk, k = 1, §, имеет место равенствоА х = Ах1 + . . . + А хр = (А | L1) х1 + . . .

+ (А | Lр) хр.Т3. ∀ ЛО А ∈ ℒ (V, V) является прямой суммойнильпотентного и обратимого операторов, причем эторазложение единственно.Док‒во. Надо показать, что Ǝ ! пара подпространств L1 ,L2, инвариантных относительно ЛО А и таких, чтоV = L1 ⊕ L2, А | L1 нильпотентен, А | L2 обратим.Для невырожденного А : L1 = {θ}, L2 = V. Длянильпотентного А : L1 = V , L2 = {θ}.Пусть оператор А вырожден и не нильпотентен.Существование.

Пусть для k ∈ ℕ : Nk = ker A k, Tk = im A k1. Покажем, что подпространства Nk строго вложеныдруг в друга до некоторого момента q, начиная ското‒рого все Nk совпадают, т.е. N1 ⊂ N2 ⊂...⊂ Nq = Nq+1=…kk+1kа)если А х =θ, то А х =А (А ) х =А θ = θ => Nk ⊆ Nk+1б) Пусть Nk = Nk+1 , тогда Nk+1 = Nk+2 , т. к. Nk+1 ⊆ Nk+2,Nk+2 ⊆ Nk+1 .

2‒е вложение следует из того, что еслих ∈ Nk+2, то А k+2 х = θ, т.е. А k+1 (А х )= θ. Значит,А х ∈ Nk+1 = Nk => А k(А х) = θ , т.е. А k+1 х = θИз "а" и "б" => подпространство Nk либо строго вложенов Nk+1 , либо совпадает со всеми последующими ядрами. Вконечномерном пр‒ве размерности подпространств Nk немогут бесконечно возрастать => наступит момент q,начиная с которого все ядра Nk будут совпадать с Nq.2. Зафиксируем это q и покажем, что V = Nq ⨁ Tq . Потеореме о ранге и дефекте (rg A + def A = dim V):dim V = dim Nq + dim Тq, при этом Nq ∩ Tq ={θ}, т.

к. еслиу ∈ Nq , у ∈ Тq, то А q у = θ, у = А q х, т.е. А 2 q х = θ. Значит,х ∈ N2q = Nq и А q х = θ => у = θ.3. Подпространства Nq , Tq инвариантны отн‒но А, ибо:а) если х ∈ Nq , то х ∈ Nq+1 = Nq => А q+1 х = θ, т.е.А q (А х) = θ => А х ∈ Nqqq+1qqб) если у ∈ Тq, то у = А х и А у = А х = А (А х) = А х1 ,где x1 = А х => А у ∈ Тq.4. А | Nq ‒ нильпотентный оператор индекса q, так как:а) А q х = θ для ∀х ∈ Nqб) Ǝ х0 ∈ Nq : А q‒1 х0 ≠ θ, ибо Nq‒1 ≠ Nq5. Оператор А | Tq обратим, т.

к. ker А | Tq = {θ}.Действительно, если у ∈ ker А | Tq , то у ∈ Tq , А у = θ, т.е.у = А q х и А q+1 х = θ => х ∈ Nq+1 = Nq , т.е. А q х = θ и у = θ.Из пп. 2‒5 => Ǝ искомое разложение: L1 = Nq , L2 = Тq.Единственность. Пусть Ǝ другое разложение V = N ⨁ Тсо всеми свойствами 1‒го.1. Нильпотентность А | N => А k х = θ, ∀ х ∈ N, принекотором k ∈ N => N ⊆ Nk ⊆ Nq и dim N ≤ dim Nq (1)2.

Обратимость А | Т => im А | Т = Т => для ∀ у ∈ Т :у = А у1, где у1 ∈ Т. => для y1 и всех последующих:у =А у1 =А 2 у2 = ... =А q уq => T ⊆ Tq и dim T ≤ dim Tq (2)Т.к. dim N + dim T = dim V = dim Nq + dim Tq, то из (1), (2)=> N = Nq , Т = Тq •С2. Оператор А на Nq имеет только 0‒е собственныезначения, а на Тq не имеет 0‒ых собственных значений.=> из Т3 с учетом Т2 и того, что обратимый оператор невырожден.С3. Для оператора А, действующего в комплексном пр‒веV, с характеристическим многочленомf (λ) = det ( A ‒ λ I ) = (‒λ)m1 (λ2 ‒ λ)m2 ... (λр ‒ λ)mp :а) характеристические многочлены f1 (λ) и f2 (λ)операторов А | Nq и А | Tq имеют видf1 (λ) = (‒ λ)m1 , f2 (λ) = (λ2 ‒ λ)m2 ...

(λр ‒ λ)mp (3)б) при этом dim Nq = m1, dim Tq = m2 + … + mp (4)Соотношение (3) вытекает из (Если V = L1 ⊕ ... ⨁ Lk ‒прямая сумма подпространств L1, …, Lk , инвариантныхотносительно оператора А ∈ ℒ (V, V), тохарактеристи‒ческий многочлен f (λ) оператора А равенпроизведению характеристических многочленов f1(λ), ...,fk(λ) индуцированных операторов А | L1 ,... , А | Lk :f (λ) = f1(λ) ...

fk(λ) ), если учесть, что f2 (0) ≠ 0.Соотношение (4) следует из (3), т.к. размерность пр‒васовпадает со степенью характеристического многочлена.26. Корневые подпространства. Расщепление линейногопр‒ва в прямую суммуТ1 (о расщеплении ЛО). Для ∀ ЛО А, действующего вкомплексном пр‒ве V , с характеристическим мн‒номf (λ) = (λ1 ‒ λ)m1 (λ2 ‒ λ)m2 ... (λр ‒ λ)mp , λi ≠ λj при i ≠ j (1)Ǝ инвариантные подпространства Кλ1 , ,..., Кλp :V = K λ1 ⊕ ... ⨁ Кλp(2)dim Кλj = mj , j = 1, §(3)mjf j(λ) = det (А | Кλj ‒ λI ) = (λj ‒ λ) , j = 1, §(4)Док‒во. а) если λA и λB ‒ собственные значения операторовА и В =А ‒ λ0I => λB = λA ‒ λ0 (5)б) если L инвариантно относительно В = А ‒ λ0I , то Lинвариантно относительно А, т.к. если х ∈ L, то В х = у ∈ L,т.е.

(А ‒ λ0I) x = у ∈ L => А х = λ0 x + y ∈ L.1‒й шаг. Применив к В1 = А ‒ λ1I Т*(∀ ЛО А ∈ ℒ (V, V)является прямой суммой нильпотентного и обратимогооператоров, причем это разложение единственно),получим подпространства Nq1 и Тq1, которые с учетом (5)обладают следующими свойствами:V = Nq1 ⨁ Tq1Nq1 и Тq1 инвариантны относительно В1dim Nq1 = m1 и dim Тq1 = m2 + …+mpdet (В1 | Nq1 ‒ λI ) = (‒ λ)m1m2mpdet (В1 | Tq1 ‒ λI ) = (λ2 ‒ λ1 ‒ λ) ... (λр ‒ λ1 ‒ λ)Положив К λ1 = Nq1 , V1 = Тq1, получим подпространства К λ1и V1, инвариантные относительно А (согласно п.

"б"):V = К λ1 ⨁ V1dim К λ1 = m1 и dim V1 = m2 + …+mp(6)m1det (А | К λ1 ‒ λI ) = (λ1 ‒ λ)m2mpdet (А | N1 ‒ λI ) = (λ2 ‒ λ) ... (λр ‒ λ)2‒й шаг: применить 1‒ый шаг к оператору А1 = А | V1 ,получим подпространства К λ2 и V2 , обладающиесвойствами (6) с очевидными изменениями. Через р ‒ 1шагов получим все подпространства Кλ1 , ,..., Кλp = Vр‒1 ,удовлетворяющие требованиям теоремы. •Из Т1 и Т (Если пр‒во V является прямой суммойподпространств L1, ..., Lk , инвариантных относительноА ∈ ℒ (V, V), то в пр‒ве V Ǝ базис, в котором матрицаоператора А имеет квазидиагональную форму.) =>Сл.

Для ∀ ЛО, действующего в комплексном пр‒ве, Ǝ базис,в котором его матрица имеет квазидиагональную форму, укоторой число диагональных клеток совпадает с числомразличных собственных значений, а их размеры ‒ салгебраическими кратностями собственных значений, или,в матричной формулировке, ∀ квадратная комплекснаяматрица подобна квазидиагональной матрице,обладающей указанным выше свойством.З. Разложение (2) со свойствами из Т1, для каждогооператора единственно в силу Т*.Пусть λj ‒ собственное значение оператора А.

Векторх ∈ V называется корневым вектором оператора А,отвечающим собственному значению λj, если(А ‒ λjI ) х = θ при некотором k ∈ Z, k ≥ 0. Высотакорневого вектора ‒ наименьшее k, обладающее указаннымсвойством. Только высота 0‒го корневого вектора = 0.Из определения => свойства корневых векторов:1°. Корневые векторы высоты 1 являются собственнымивекторами, т.к. (А ‒ λjI ) х = θ , х ≠ θ.2°. Если х ‒ корневой вектор высоты k > 0, то вектор(А ‒ λjI ) х ‒ корневой вектор высоты k ‒ 1.3°. Если х ‒ корневой вектор высоты k >0, то векторы х,(А ‒ λjI ) х, ..., (А ‒ λjI )k‒1 х линейно независимы.Док‒во. К α0 х0 + α1 (А ‒ λjI ) х0 + ..., αk‒1 (А ‒ λjI ) k‒1х0 = θприменим последовательно (А ‒ λjI ) k‒1, (А ‒ λjI ) k‒2, ... ,(А ‒ λjI ) => α0 = α1 = … = αk‒1 = 0=> линейная незав‒сть.4°.

Корневые векторы различных высот линейно незав‒мы.Корневые векторы высоты k > 1 ‒ присоединенныевекторы (k ‒ 1)‒го порядка. Если х ‒ присоединенныйвектор (k ‒ 1)‒го порядка, то (А ‒ λj I ) k х = θ ,(А ‒ λjI ) k‒1 х ≠ θ ,т.е, (А ‒ λj I ) k‒1 х ‒ собственный вектороператора А, отвечающий собственному значению λj. Т.о.,корневой вектор ‒ это θ | собственный | присоединенный.Множество всех корневых векторов оператора А,отвеча‒ющих собственному значению λj, называетсякорневым подпространством оператора А, отвечающимkсобстве‒нному λj : Кλj = {х ∈ V | Ǝ k ∈ Z, k ≥ 0: (А ‒ λjI )kх = θ }.Структура корневого подпространства:kПусть Nk = ker (А ‒ λjI ) . Тогда подпространства Nkстрого вложены друг в друга до некоторого q, начиная скоторого все Nk совпадают: N1 ⊂ N2 ⊂...⊂ Nq = Nq+1 = … (7)а)(А ‒ λjI ) k х=θ => (А ‒ λjI ) k+1 х=(А ‒ λjI )((А ‒ λjI )k ) х== (А ‒ λjI ) θ = θ => Nk ⊆ Nk+1б) Пусть Nk = Nk+1 => Nk+1 = Nk+2 , т.

к. Nk+1 ⊆ Nk+2,Nk+2 ⊆ Nk+1 . 2‒е вложение следует из : если х ∈ Nk+2, то(А ‒ λjI ) k+2 х = θ => (А ‒ λjI ) k+1 ((А ‒ λjI ) х )= θ =>(А ‒ λjI ) х ∈ Nk+1 = Nk => (А ‒ λjI ) k((А ‒ λjI ) х) = θ =>k+1(А ‒ λjI )х=θИз "а" и "б" => Nk либо строго вложено в Nk+1 , либосовпадает со всеми последующими ядрами => наступитмомент q, начиная с которого все Nk будут совпадать с Nq1.

N1 состоит из корневых векторов высоты, не превосходящей 1, т.е. из θ и всех собственных векторов,отвечающих собственному значению λj , т.е. совпадает ссобственным подпространством Wλj =>N1 = Wλj (8) => dim N1 =sj (9)sj ‒ геометрическая кратность собственного значения λj .2. Подпространство N2 в (7) состоит из корневых вектороввысоты ≤ 2, а подпространство Nq состоит из корневыхвекторов всех высот, т.е. совпадает с корневымподпространством Кλj => q ‒ максимальная высотакорневого вектора, отвечающего λj :Кλj = ker (А ‒ λjI ) q и Wλ1 = N1 ⊂ N2 ⊂...⊂ Nq = Кλj (10)=> подпространства Кλ1 , ,..., Кλp , построенные при док‒веT1, совпадают с корневыми подпространствами,отвечаю‒щими собственным значениям λ1 , ..., λp соответственно => корневые подпространства обладают свойствами(2)‒(4).3.