Шпаргалки, страница 11

Из (10) => максимальная высота q корневых векторов,отвечающих собственному значению λj , совпадает синдексом нильпотентности оператора А ‒ λjI и согласносв‒ву 3° не превосходит размерности Кλj , т.е.алгебраической кратности собственного значения λj .4. Из (10) => собственное подпространство Wλj являетсяподпространством корневого подпространства Кλj , так чтоsj ≤ тj . При этом Wλj = Кλj sj = тj .27. Жорданов базис и жорданова матрица ЛО.Канонический базис корневого подпространства.Пусть Кλj ‒ корневое подпространство оператора А,отвечающее собственному значению λj .

ПоложимВ = А ‒ λj I , Nk = ker В k, nk = dim Nk , rk = rg В k.Построим корневое подпространство Кλj . Сначала найтимомент q, начиная с которого все ядра Nk будутсовпадать с Nq = Кλj . В силу dim N1 = sj и dim Кλj = mj :n1 = sj < n2 < … < nq =mj , где sj и тj ‒ геометрическая иалгебраическая кратности λj .

Базис Кλj строится,последовательно просматривая Nq , Nq‒1 , … , N1 .Nq ) Пусть f1, … , ftq ‒ векторы, дополняющие ∀ базис Nq‒1до базиса Nq :1) это корневые векторы высоты q2) их количество равно nq ‒ nq‒13) tq = nq ‒ nq‒1 = (nq ‒ nq‒1) ‒ (nq+1 ‒ nq) = ‒ nq+1 + 2nq ‒ nq‒1 ,т.к. nq+1 = nq4) никакая нетривиальная линейная комбинация этихвекторов ∉ Nq‒1 (линейно независимыми над Nq‒1 ).Nq‒1 ) Построим векторы В f1, . .

., В ftq : корневые векторывысоты q ‒ 1 и линейно независимы над Nq‒2, т.к. иначе£¹для нетривиального набора α1, …, αtq : В q‒2∑0, 0 B fk =θ,£¹£¹т.е. В q‒1∑0, 0 fk = θ и ∑0, 0 fk ∈ Nq‒1 , чтопротиворечит линейной независимости f1, … , ftq над Nq‒1 .Дополним векторами g1, … , gtq‒1 так, чтобы В f1, …, В ftq, ,g1, … , gtq‒1 дополняли ∀ базис Nq‒2 до базиса Nq‒1 :1) это корневые векторы высоты q ‒ 1;2) их количество равно nq‒1 ‒ nq‒2;3) tq‒1 = (nq‒1 ‒ nq‒2) ‒ (nq ‒ nq‒1) = ‒ nq + 2nq‒1 ‒ nq‒24) они линейно независимы над Nq‒222Nq‒2 ) Ан‒но строятся В f1, …, В ftq, , В g1, … , В gtq‒1 , h1,… , htq‒2 , дополняющие ∀ базис Nq‒3 до базиса Nq‒2 .…q‒1q‒1q‒2q‒2N1 ) Строятся В f1, …, В ftq, , В g1, … , В gtq‒1 ,…,В v1, … , В vt2 , дополняются векторами и1 , …, иt1 добазиса N1 .

Они :1) являются собственными векторами;2) их количество равно п1 = п1 ‒ п0 ( п0 = def В 0 = 0);3) t1 = (n1 ‒ n0 ) ‒ (n2 ‒ n1) = ‒ n2 + 2n1 ‒ n04) они линейно независимы.Полученная за q шагов система ‒ жорданова лестница.Т1. Построенная система векторов образует базискорневого подпространства Кλj .Док‒во. Кол‒во векторов в этой системе = dim Кλj, т.к.n1 + (n2 ‒ n1) + (n3 ‒ n2) + … + (nq ‒ nq‒1) = пq = dim Кλj .Они линейно независимы, т.к.

если приравнять ихлинейную комбинацию θ и последовательно применитьВ q‒1, В q‒2,..., В , то все коэффициенты = 0. •Полученный базис называется каноническим (илижордановым) базисом корневого подпространства Кλj.Матрица оператора А | Кλj в каноническом базисе.1.

Пусть е1 , ..., еq ‒ векторы 1‒го столбца лестницы:- = ℬ ¹µ .ℬ- = r ℬ- = -D = ℬ ¹µD .a =>=>a › D … …qℬ-¹ = -¹µo-¹ = .œ- = ¦] -rxœ − ¦] ℐy- = rp xœ− ¦] ℐy-D = - a => œ-D = ¦] -D + - a A……qqpxœ − ¦ ℐy- = o œ-¹ = ¦] -¹ + -¹µ]¹¹µoЭтой группе векторов соответствуют 1-ые q столбцовматрицы А | Кλj в каноническом базисе, которыеº ¦ согласно (1) имеют вид ½ ¹ ] ¾ (2)²где º¹ ¦] ‒ клетка Жордана q‒го порядка с λj наглавной диагонали. Так же устроены столбцы матрицыА | Кλj , определяемые векторами 2‒го столбца:диагональная клетка имеет тот же вид Jq (λj), а всеостальные элементы = 0 => 1‒я группа из tq столбцовпорождает клетки Жордана q‒го порядка с λj на главнойдиагонали.

Число этих клеток = tq.2. Следующая группа из tq‒1 столбцов определяет клеткиJq‒1 (λj) на главной диагонали матрицы А | Кλj . Числоклеток (q ‒ 1)‒го порядка равно tq‒1 .3. Рассмотрев все столбцы жордановой лестницы,получим матрицу А, оператора А | Кλj в каноническомбазисе.

Aj ‒ квазидиагональная матрица с клеткамиЖордана Jk (λj) на главной диагонали. Всего этих клеток столько, сколько столбцов в жордановой лестнице,т.е. п1 или, согласно (dim N1 =sj ), sj (геометрическаякратность λj ) =>º¹ ¦] ²­°̄º¹D ¦] u] = ¬n…¬¯²º¦¹»¼ ] ®«где q1 + . . . + qsj = dim Кλj = mj , а число клеток k ‒гопорядка : tk = ‒ nk‒1 + 2nk ‒ nk+1, k = 1, 9.4. Матрица Аj определена однозначно с точностью допорядка клеток, т.к.

количество всех клеток равногеометрической кратности sj собственного значения λj , аколичество клеток k ‒ го порядка равно числу tk = ‒ nk‒1 +2nk ‒ nk+1, k = 1, 9, или, согласно (rg A + def A = dim V), tk= rk‒1 ‒ 2rk + rk+1, k = 1, 9=> структура клеток Жордана в матрице Аj определяетсятолько оператором А. Порядок клеток определенпорядком нумерации столбцов жордановой лестницы.=>Жорданова форма матрицы ЛО в комплекс. пр‒ве.mj и sj ‒ алгебраическая и геометрическая кратности λj ,rk = rg (А ‒ λjI ) k.Т2. Пусть А ∈ ℒ (V, V) ‒ ЛО, действующий вкомплек‒сном пр‒ве V, и его характеристическиймногочлен имеет вид f (λ) = (λ1 ‒ λ)m1 (λ2 ‒ λ)m2 ... (λр ‒λ)mp , гдеλi ≠ λj при i ≠ j. Тогда в пр‒ве V Ǝ базис е, в которомматрица оператора А имеет квазидиагональную формуu0uD  <už = Ÿ…0u0в которой матрицы Аj, j = 1, §, имеют вид (3).Док‒во. По Т*, V = K λ1 ⊕ ...

⨁ Кλp . В качестве искомогобазиса е возьмем совокупность канонических базисовкорневых подпространств K λ1 ,...,Кλp . По Т** матрица Аеимеет вид (4), где Aj ‒ матрица оператора А | Кλj вканоническом базисе K λj => матрица Аj имеет вид (3). •Сл. Для собственных значений оп‒ра А вернысоотношения λ1 + ... + λn = tr А , λ1 · ... · λn = det АПолученная форма матрицы линейного оператора ‒жорданова форма, а построенный базис ‒ канонический(жорданов) базис.З.

В матричной формулировке Т2: ∀ квадратнаякомплексная матрица подобна матрице, имеющейжорданову форму.Док‒во. Пусть А ∈ ℂ!×! ‒ заданная матрица. Рассмотрим∀ комплексное пр‒во V размерности п. Зафиксируем впр‒ве V ∀ базис f. Пусть А ∈ ℒ (V, V) ‒ ЛО, матрицакоторого в базисе f совпадает с матрицей А: А = Аf (поТ*** такой оператор Ǝ). В силу Т2 Ǝ базис е, в которомматрица Аe оператора А имеет квазидиагональ‒нуюформу. При переходе от базисе е к базису f = eQ‒1матрица оператора изменяется по закону Аf =Q Аe Q.Это равносильно их подобию. •Матрица Ае , имеющая жорданову форму и подобнаяматрице A, называется жордановой формой матрицы А.*: (о расщеплении ЛО) Для ∀ ЛО А, действующего вкомплексном пр‒ве V , с характеристическиммногочленомf (λ) = (λ1 ‒ λ)m1 (λ2 ‒ λ)m2 ...

(λр ‒ λ)mp где λi ≠ λj при i ≠ jƎ инвариантные подпространства Кλ1 , ,..., Кλp :V = K λ1 ⊕ ... ⨁ Кλpdim Кλj = mj , j = 1, §f j(λ) = det (А | Кλj ‒ λI ) = (λj ‒ λ)mj , j = 1, §**: Если пр‒во V является прямой суммойподпространств L1, ..., Lk , инвариантных относительнооператора А ∈ ℒ (V, V), то в пр‒ве V Ǝ базис, в которомматрица оператора А имеет квазидиагональную форму.***: Пусть dim V = п, dim W = m. Тогда Ǝ взаимнооднозначное соответствие между ЛО из ℒ (V, W) иматрицами из P т х п28.

Критерий подобия матриц.2 матрицы А, В называются эквивалентными (А ~ В),если Ǝ невырожденные матрицы P и Q : A = PBQ.Квадратные матрицы А, В называются подобными,‒1если Ǝ невырожденная матрица Q : A = Q BQ.Матрица Ае , имеющая жорданову форму и подобнаяматрице A, называется жордановой формойматрицы А.Т. Две матрицы А, В ∈ ℂ!×! подобны ихжордановы формы совпадают.nхnДок‒во.

Из Т* => 2 квадратные матрицы А, В ∈ Pодинакового порядка над общим полем подобны они являются матрицами одного и того же ЛО,действующего в п‒мерном линейном пространственад полем Р. А т.к. ∀ квадратная комплексная матрицаподобна матрице, имеющей жорданову форму, тоотсюда следует утверждение теоремы. •---------------------------------------------------------------*: 2 матрицы А и В над полем Р одинакового размераm×n эквивалентны они являются матрицамиодного и того же ЛО А ∈ ℒ (V, W), где V и W ‒линейные пр‒ва над полем Р размерностей п и тсоотв‒но.29.

Теорема Гамильтона‒Кэли. Минимальныймногочлен.Т(Гамильтона—Кэли). ЛО, действующий вкомплексном (или в вещественном) пр‒ве, являетсякорнем своего характеристического многочлена.Док‒во. 1. Для комплексного пр‒ва V. ПустьА ∈ ℒ (V, V ) и его характеристический многочлен:f (λ) = (λ1 ‒ λ)m1 (λ2 ‒ λ)m2 ...

(λр ‒ λ)mp , λi ≠ λj при i ≠ j(1)По Т (*), V = K λ1 ⊕ ... ⨁ Кλp => для ∀ х ∈ V Ǝразложение х = х1 + ... + хр, где хj ∈ Кλj , j = 1, р. =>f (A) х = f (A) х1 + ...+ f (A) хj + … + f (A) хр .∀ слагаемое в этом разложении = θ, т. к.m1mjmpf (A) хj = (λ1 I ‒ A) … (λj I ‒ A) …(λp I ‒ A) хj = θ,ибо операторы в этом произведении перестановочны,а (А ‒ λI ) mj хj = θ в силу (Wλ1 = N1 ⊂ N2 ⊂...⊂ Nq = Кλj )=> f (A) х = θ , ∀ х ∈ V, т.е.

f (A) = О.2. Пусть V ‒ вещественное линейное пр‒во. Пусть е ‒базис пр‒ва V и Ае ‒ матрица оператора А в этомбазисе. Достаточно показать, что f (Ае) = О.Рассмотрим ∀ комплексное пр‒во V1 той жеразмерности, что и V. Пусть f ‒ ∀ базис V1 => Аеявляется матрицей оператора B ∈ ℒ (V1, V1 ) в базисе f ,т.е.

Ае = Вf => характеристические многочлены А и Всовпадают и, по п. 1 док‒ва, f (Ае) = О. •mm‒1Многочлен f (λ) = a0λ + a1λ + … +am называетсяаннулирующим для матрицы А, еслиmm‒1f (A) = a0 A + a1 A + … +am I = 0 .Пусть а0 = 1. Если fn (λ) ‒ характеристическиймногочлен для матрицы А, то по теореме Гамильтона‒ Кэли fn (A)=0 => характеристический многочлен ‒один из аннулирующих многочленов А. Многочленfn (λ) имеет степень п, но может оказаться, что Ǝмногочлен ψ (λ) степени меньшей п, аннулирующийдля матрицы А. Такой многочлен наименьшей степениназывают минимальным многочленом матрицы А.Его свойства:1) ∀ аннулирующий многочлен нацело делится наминимальный многочлен.

Пусть f (λ) есть такоймногочлен. Если разделить его на ψ (λ), то его можнопредставить в виде f (λ) = ψ (λ) Q (λ)+ r (λ), где r (λ)имеет степень, меньшую чем ψ (λ). Т.к. f (A) =0 иψ (A) =0 => r (A) = 0, что возможно только еслиr (λ) ≡ 0 => f (λ) нацело делится на ψ (λ).2) Из п. 1) => характеристический многочлен нацелоделится на минимальный многочлен => корниминимального многочлена являются собственнымичислами матрицы А.3) Минимальный многочлен матрицы ‒единственный. Если бы существовало 2 минимальныхмногочлена я ψ1 (λ) и ψ2 (λ), то разность между нимиr (λ) = ψ1 (λ) ‒ ψ2 (λ) была бы аннулирующиммногочленом для А, степень которого меньше, чемψ1 (λ) и ψ2 (λ), что противоречит их минимальности.Т.о, если f (λ) = (λ1 ‒ λ)m1 (λ2 ‒ λ)m2 ... (λр ‒ λ)mp гдеλi ≠ λj при i ≠ j , и m1 + … +mp = n , то минимальныммногочленом являетсяψ (λ) = (λ1 ‒ λ)n1 (λ2 ‒ λ)n2 ... (λр ‒ λ)np , 0 < ni ≤ mi .--------------------------------------------------------------*: (о расщеплении ЛО) Для ∀ ЛО А, действующего вкомплексном пр‒ве V , с характеристическиммногочленомf (λ) = (λ1 ‒ λ)m1 (λ2 ‒ λ)m2 ...

(λр ‒ λ)mp , λi ≠ λj при i ≠ jƎ инвариантные подпространства Кλ1 , ,..., Кλp :V = K λ1 ⊕ ... ⨁ Кλpdim Кλj = mj , j = 1, §f j(λ) = det (А | Кλj ‒ λI ) = (λj ‒ λ)mj , j = 1, §30. Инвариантные подпространства минимальнойразмерности.Пусть V ‒ линейное пр‒во над полем Р и А ∈ ℒ (V, V).Линейное подпространство L пр‒ва V называетсяинвариантным подпространством относительнооператора А, если для ∀ х ∈ L : А х ∈ L .Характеристическим многочленом матрицы А ∈ P n х пназывается функция f (λ) = det (A ‒ λ I), λ ∈ PТ1. У всякого ЛО в комплексном пр‒ве Ǝ одномерноеинвариантное подпространство.Док‒во. Утверждение следует из существования собственного вектора для ∀ оператора, действующего вкомплексном пр‒ве (Т*): если е ‒ собственный вектороператора А, то ℒ (е) ‒ одномерное подпространство,инвариантное относительно А.