Шпаргалки, страница 13

Вэтом подпространстве Ǝ собственный вектор е2 ∈ Lп‒1оператора А, при этом е2 ⊥ е1 . Вектор е2 также являетсясобственным вектором А* и ℒ(е2) инвариантноотносительно А* => Lп‒2 = ℒ } (е2) (т.е. ортогональноедополнение ℒ(е2) до Lп‒1 ) инвариантно относительнооператора А. Поступая ан‒но, построим ортогональнуюсистему собственных векторов е1, … , еп оператора А =>векторы е1 / | е1|, . . .

, еn / | еn| образуют ОНБ пр‒ва V,состоящий из собственных векторов А, и в силу Т3 А ‒нормальный оператор. •Подобные комплексные (вещественные) матрицы А иВ = Q‒1 АQ называются унитарно (ортогонально)подобными, если матрица преобразования подобия QHHTTунитарна (ортогональна): QQ = Q Q = I (Q Q = Q Q = I).Соотношение подобия для унитарно подобных матриц А иВ: В = QH А Q, для ортогонально подобных : В = QT А Q.Т5. Квадратная комплексная матрица нормальна онаунитарно подобна диагональной матрице.Док‒во. Пусть А ∈ ℂ!×! ‒ заданная матрица.

Рассмотрим∀ унитарное пр‒во V размерности п. Зафиксируем в Vпроизвольный ОНБ f. Пусть А ∈ ℒ (V, V) ‒ ЛО, матрицакоторого в базисе f совпадает с матрицей А : А = Аf (поТ(4*) такой оператор Ǝ). В силу Т3 Ǝ ОНБ е, в которомматрица Аe имеет диагональную форму. При переходе отбазиса е к базису f = eQ матрица оператора изменяется по‒1закону Аf =Q Аe Q .

Это равносильно их подобию.•-------------------------------------------------------------------*: В паре биортогональных базисов е и f унитарного(евклидова) пр‒ва V матрицы операторов А и А* связанысоотношением (А*)f = (Ae )H**: Для ∀ оператора, действующего в унитарном пр‒ве, ƎОНБ, в котором он имеет треугольную матрицу.3*: Если подпространство L инвариантно относительнооператора А, то его ортогональное дополнение 3} инвариантно относительно сопряженного оператора А*.4*: Пусть dim V = п, dim W = m.

Тогда Ǝ взаимнооднозначное соответствие между ЛО из ℒ (V, W) ит×пматрицами из P34. Блочно‒диагональная формавещественной нормальной матрицы.Пусть V ‒ унитарное или евклидово пр‒во. ЛОА ∈ ℒ(V, V ) называется нормальным, если А А*= А*А. Квадратная матрица А (комплексная иливещественная) называется нормальной, еслиAAH = AHA.Т1. Собственные векторы нормального оператора, отвечающие различным собственнымзначениям, попарно ортогональны.Т2 (критерий нормальности).

Оператор,действующий в унитарном пр‒ве, нормален ƎОНБ из собственных векторов этого оператора.Пусть е ‒ ОНБ из собственных векторовнормального оператора А, тогда0 °̄¦0­ ¦¦D¦D  už z = ¬¬už = Ÿ¯……¬¯0¦!«0¦! ®Пусть А ‒ вещественная нормальная матрица.

Всилу нормальности, все жордановы клетки имеютпорядок 1. Предположим , что λ = a + ib ‒собственное значение с ненулевой мнимойчастью b, и пусть A(x + iy) = (a + ib) (x + iy) ==(ax ‒ by) + i (bx + ay), x, y ∈ ℝ! => ³ Au‘(, )’ = ‘(, )’ ±− Cопряженное число ¦ = a ‒ ib тоже будетсобственным значением, отвечающимсобственному вектору x ‒ iy. Для нормальнойматрицы собственные векторы для различныхсобственных значений ортогональны =>(x + iy, x ‒ iy) = (x, x) ‒ (y, y) +2i(x, y) =>(x, y) = 0, |x| = |y|=> равенство (1) сохранится при замене нанормированные и ортогональные векторы x / s иy / s, s = |x| = |y|.

Т.о. имеет местоТ. Для ∀ вещественной нормальной матрицы Ǝвещественный ОНБ, в котором она являетсяпрямой суммой вещественных блоков порядка 1 и ³вещественных блоков порядка 2 вида ±.− 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы.Эрмитово разложение ЛО.Пусть А ∈ ℒ(V, W). Отображение А*: W → Vназывается сопряженным оператором к А, если(А х, у) = (х, А*у), ∀х ∈ V, у ∈ W .ЛО А, действующий в унитарном (евклидовом) пр‒ве,называется самосопряженным, если А = А*.

Самосопряженный оператор в унитарном пр‒ве называютэрмитовым. Квадратная матрица А (комплексная иливещественная) называется самосопряженной, еслиHА = А . Комплексную самосопряженную матрицуназывают эрмитовой.Из определения =>1°. Эрмитов оператор нормален (А А* = А*А )2°. Оператор эрмитов в ∀ ОНБ он имеет эмитовуматрицу.3°. Определитель эрмитова оператора веществен.4°. Если подпространство L инвариантноотносительно самосопряженного оператора А, то 3}также инвариантно относительно А. Это следует изТ(Если подпространство L инвариантно отн‒нооператора А, то его ортогональное дополнение 3}инвариантно отн‒но сопряженного оператора А*).5°. Эрмитов оператор на ∀ инвариантном подпространстве индуцирует эрмитов оператор.Т1 (спектральная характеристикасамосопряже‒нного оператора).

Нормальныйоператор в унитарном пр‒ве эрмитов все корниего характеристического многочлена вещественны.Док‒во. Необх‒сть. В унитарном пр‒ве утверждениеозначает, что все собственные значения эрмитоваоператора вещественны, и вытекает из А х = λх иА х = λх с учетом Т (Собственный векторнормаль‒ного оператора, отвечающий собственномузначению λ, является собственным векторомсопряженного оператора, отвечающим собственному значению λ).Дост‒сть. Пусть А ‒ нормальный и все корни егохарактеристического многочлена вещественны =>в унитарном пр‒ве Ǝ ОНБ е1,..., еп из собственныхвекторов оператора А. Если ( = ∑!+, (+ -+ ‒ ∀ векторпр‒ва, то œ( = ∑!+, (+ ¦+ -+ и œ ∗ ( = ∑!+, (+ ¦+ -+ == ∑!+, (+ ¦+ -+ т.к.

¦+ ∈ ℝ => А х = А*х, ∀х ∈ V =>А = А*. •Подобные комплексные матрицы А и В = Q‒1АQназываются унитарно подобными, если матрицаHHпреобразования подобия Q унитарна:. Q Q = Q Q = I.Соотношение подобия: В = QH А Q.Из Т1 => оператор, действующий в унитарном пр‒ве,эрмитов Ǝ ОНБ, в котором его матрица имеетвещественную диагональную форму, или, в матричнойформулировке: квадратная комплексная матрицаявляется эмитовой она унитарно подобнавещественной диагональной матрице.ЛО А ∈ ℒ(V, V) в унитарном пр‒ве V называетсякосоэрмитовым, если А* = ‒А. Квадратнаякомплексная матрица ‒ косоэрмитова, если АH = ‒А.Из определения => оператор А косоэрмитов егоматрица в ∀ ОНБ пр‒ва косоэрмитова .Т2.

ЛО А в унитарном пр‒ве эрмитов операторiА косоэрмитов.Док‒во. По св‒ву сопряжения (iА)* = ‒iА* =>(iА)* = ‒iА* А = А*. •Т3 (эрмитово разложение ЛО). ЛО А в унитарномпр‒ве можно представить, и притом единственнымобразом, в виде суммы эрмитова оператора В икосоэрмитова оператора С : А = В + С(1)Док‒во. Положим B = ½ (А + А*), C = ½ (А ‒ А*) (2)=> В * = В, С * = ‒С и А = В + С . Единственностьтакой пары операторов следует из того, что для∀ другой пары операторов В1 и С1 таких, что В1* = В1 ,С1* = С1 и А = В1 + С1 имеем А* = В1 ‒ С1 или½ (А + А*)= В1 , ½ (А ‒ А*) = С1 => в силу (2)В1 = В , С1 = С •Т4. ЛО А ∈ ℒ(V, V) в унитарном пр‒ве нормален операторы В и С в эрмитовом разложении (1) этогооператора перестановочны.Док‒во. Если А = В + С, то А* = В ‒ С иАА* = В 2 ‒ ВС + СВ ‒ С 2, А*А = В 2 ‒ СВ + ВС ‒ С 2,т.е.

АА* ‒ А*А = 2 (СВ ‒ ВС ) =>АА* = А*А СВ = ВС. •36. Симметрические операторы и матрицы.Пусть А ∈ ℒ(V, W). Отображение А*: W → Vназывается сопряженным оператором к операторуА, если (Ах, у) = (х, А*у), ∀х ∈ V, у ∈ W .ЛО А, действующий в унитарном (евклидовом) пр‒ве,называется самосопряженным, если А = А*.Самосопряженный оператор в евклидовом пр‒веназывают симметрическим. Квадратная матрица А(комплексная или вещественная) называетсясамосопряженной, если А = АH. Вещественнаясамо‒сопряженная матрица ‒ симметрическая (А =АТ).Из определения =>1°.Симметрический оператор нормален (АА* = А*А )2°. Оператор является симметрическим в ∀ ОНБ онимеет симметрическую матрицу.3°. Определитель симметрического операторавеществен.4°.

Если подпространство L инвариантно отн‒носимметрического оператора А, то 3} такжеинвариантно относительно А. Это следует из Т(Еслиподпространство L инвариантно относительнооператора А, то его ортогональное дополнение 3}инвариантно отн‒но сопряженного оператора А*).5°. Симметрический оператор на ∀ инвариантномподпространстве индуцирует симметрический оп‒р.Т1 (спектральная характеристикасамосопря‒женного оператора). Нормальныйоператор в евкли‒довом пр‒ве являетсясимметрическим все корни егохарактеристического многочлена вещественны.Док‒во. Необх‒сть.