Шпаргалки, страница 12

•Т2. У всякого ЛО в вещественном пр‒ве Ǝ 1‒мерноеили 2‒мерное инвариантное подпространство.Док‒во. Пусть V ‒ вещественное пр‒во, А ∈ ℒ (V, V),е = (е1,.. .,еп ) ‒ базис V и А ‒ матрица оператора А вбазисе е. Характеристический многочлен f (λ)оператора А ‒ многочлен с вещественнымикоэффициентами, т.к.

f (λ) = det (А ‒ λI ), где А ∈ ℝ!×! .Пусть λ0 ‒ корень характеристического многочлена.1. Если λ0 ∈ ℝ, то λ0 ‒ собственное значение оператораА. Тогда линейная оболочка ℒ (е), натянутая насоответствующий собственный вектор е, образует1‒мерное подпространство, инвариантное отн‒но А.2. Если λ0 = α + iβ , β ≠ 0, то | А ‒ λ0 I | = 0 и системауравнений Аz = λ0 z (1) над полем ℂ имеетTнетривиальное решение z0 = (х1 + i y1, ..., хп + i yn ) .ТTВ обозначениях х = (х1, ..., хп ) ∈ ℝ, у = (у1, ..., уn ) ∈ ℝсистема (1) : А(х + i y) = (α + iβ )( х + i y) илиu( = ( − ) a_Gu) = ( + )Тогда, если À = ∑!+, (+ -+ , Á = ∑!+, )+ -+ , то системе(2) соответствует система векторных уравненийuÀ = À − Á a_nuÁ = À + Áгде u и v ‒ векторы пр‒ва V, одновременно ≠ 0.

Из (3)=> ℒ (u,v) ‒ инвариантное подпространство dim = 2.•-------------------------------------------------------------*: Произвольный ЛО, действующий в п‒мерномкомплексном пр‒ве, имеет:1) п собственных значений, если каждое собственноезначение считать столько раз, какова его кратностькак корня характеристического многочлена;2) хотя бы 1 собственный вектор;3) на ∀ своем инвариантном подпространстве хотябы 1 собственный вектор.31.

Вещественный аналог жордановой формы.Пусть матрица А ∈ ℝ!×! имеет жорданову клеткуJq (λ) порядка q для комплексного собственногозначения λ = α + i β с мнимой частью β ≠ 0 => Ǝжорданова цепочка:u- = ¦] -ru-D = ¦] -D + - a…qo u-¹ = ¦] -¹ + -¹µПредставим ej в виде ej = xj + i yj, где xj , yj ∈ ℝ! =>A [x1, y1, …, xq, yq] = [x1, y1, …, xq, yq] M2q , где 1 0­°̄− 0 1¬ 1 0¬¯D¹×D¹ÂD¹ = ¬∗− 0 1¯ ∈…¬¯ 1 0¯¬− 0 1®«Линейная оболочка ℒ (x1, y1, …, xq, yq) ⊂ ℝ! являетсяинвариантным подпространством размерности 2q,совпадающим с прямой суммой двух подпространств‒ корневого пространства матрицы А длясобственного значения λ = α + i β и корневогопространства для сопряженного собственногозначения ¦ = α ‒ i β (в силу вещественностикоэффициентов характеристического многочлена, ¦ иλ оба являются собственными значениями матрицы Аодинаковой кратности).

Из сказанного вытекаетТ. ∀ матрица А ∈ ℝ!×! с помощью вещественногопреобразования подобия приводится к прямой суммевещественных жордановых блоков и вещественныхблоков вида (*).32. Сопряженный оператор. Существование иединственность. Матрица сопряженного оп-ра.V и W ‒ 2 пр‒ва, оба унитарных или оба евклидовых.Т1. Если А, В ‒ ЛО из ℒ(V, W) и (А х, у) = (В х, у),∀х ∈ V, у ∈ W, то А = В.Док‒во. (Ах, у)=(Вх, у), ∀х ∈ V, у ∈ W => (Ах‒Вх, у)=0,∀у ∈ W =>Ах ‒ Вх =θ =>Ах = В х ∀х ∈ V => А = ВЗ.

Из (х, Ау) = (х, В у), ∀х ∈ V, у ∈ W => А = В.Пусть А ∈ ℒ(V, W). Отображение А*: W → Vназывается сопряженным оператором к операторуА, если (Ах, у) = (х, А*у), ∀х ∈ V, у ∈ W(1)Т2. Сопряженный оператор линеен.Док‒во. Пусть y1, у2 ∈ W => из (1)(Ах, (y1 + у2)) = (х, А*(y1 + у2)) (2)С другой стороны, (Ах, (y1 + у2)) = (Ах, y1) + (Ах, у2) == (х, А*у1) + (х,А*у2)= (х, А*у1 +А*у2) => с учетом (2):(х, А*(y1 + у2) ‒ (А*у1 +А*у2)) = 0, ∀х ∈ V =>А*(y1 + у2) = (А*у1 +А*у2), ∀ y1, у2 ∈ W(3)Пусть y ∈ W, α ∈ ℂℝ => из (1)(Ах, αy ) = (х, А*( αy)) (2*)С другой стороны, (Ах, αy) = α(Ах, y) = α(х, А*у) =(х, αА*у) => учетом (2*) : (х, А*(αy) ‒ αА*у)=0, ∀х ∈ V=> А*(αy) = αА*у, ∀ y ∈ W, ∀ α ∈ ℂℝ(4)Из (3), (4) => линейность А* •Т3. Для ∀ ЛО А ∈ ℒ(V, W) Ǝ ! сопряженный оператор.Док‒во. Существование.

Пусть е1,..., еп ‒ ОНБ V =>для ∀х ∈ V имеет место разложение!!( = ;(, -0 -0 => u( = ;(, -0 œ-0 => œ(, )0,!0,= ;(, -0 œ-0 , ), ∀) ∈ Ä Å0,Покажем, что сопряженным к А является операторB ∈ ℒ(V, W), определенный равенством!ℬ) = ;), œ-0 -0 , ∀) ∈ Ä0,!!Из (, ℬ) = (, ;), œ-0 -0 = ;œ-0 , )(, -0 0,0,+5 => œ(, ) = (, ℬ) => š = œ∗Из Т1 => единственность, т.к. для ∀ В и С,сопряжен‒ных к А :(х ,В у) = (Ах, у) = (х, С у), ∀х ∈V, у ∈ WТ4.

Операция сопряжения ЛО обладает следующимисвойствами:1) (А + В)* =А*+В*,4) (А ‒1) * = (А*)‒1,2) (α А)* = А*,5) (А*)*=А ,3) (АВ)* = В*А*,выполненными для ∀ операторов, для которыхопределены указанные операции.Док‒во. Из (1) и Т1 и Т2: ∀ х, у1)(х, (А + В)*у) = ((А + В) х, у) = (А х + В х, у) ==(А х, у) + (В х, у)=(х, А*у) + (х, B*у)=(x, (А*+В*) y)2)(х, (αА)*у) = ((αА) х, у) = (А х, у) = (х, А*(у)) ==(x, ( А*) y)3) (х, (АВ)*у) = (АВ х, у) = (В х, А*у) = (x, В*А*y)4) (очевидно, для невырожденных А ∈ ℒ(V, V))вытекает из св‒ва 3, т.к. если АА ‒1 = А ‒1 А = I, то(А ‒1)*А* = А*(А ‒1)* = I => (А ‒1)* обратный к А*.5) (х, (А*)*у) = (А*х, у) =( х, А у) •Рассматриваем ЛО, действующие в одном пр‒ве V,унитарном или евклидовом.Две системы векторов x1, ..., xk и y1, …, yk в унитарном(евклидовом) пр‒ве ‒ биортогональны, если1, 2 = `a(xi , yj) = δij = _0, 2 ≠ `∀ из 2‒х биортогональных систем векторов линейнонезависима (для док‒ва линейную комбинациювек‒торов одной системы = θ и последовательноумножать равенство скалярно на векторы другойсистемы)Биортогональные системы е1, ..., еп и f1,..., fn ,образую‒щие базисы пр‒ва V, называютбиортогональной парой базисов (ei, fj ) =1, 2 = `a_È0, 2 ≠ `ОНБ биортогонален самому себе.Т5.

Для ∀ базиса е1, ...,еп унитарного (евклидова) пр‒ваƎ ! биортогональный базис f1,..., fn .Док‒во. Согласно (6) вектор fj j = 1, b ортогоналенвсем е1, ...,еп, кроме ej => fj ∈ 3] = ℒ } (е1, ..., ej‒1, ej+1, …,еп). dim Lj = 1. Если g ‒ базис Lj, то fj = αg. Из (6) => ( fj,ei ) = 1 => α = 1/(g, ei) => существование иединствен‒ность векторов fj j = 1, bбиортогонального базиса. •Т6. В паре биортогональных базисов е и f унитарного(евклидова) пр‒ва V матрицы операторов А и А*Hсвязаны соотношением (А*)f = (Ae )(7)Док‒во.

Пусть Ае = (аij), (А*)f = (bij) =>!!œ-] = ; 0] -0 , œ∗ .+ = ; 0+ .00,0,!Умножим 1‒е равенство скалярно на fi :xœ-] , .+ y = ; 0] -0 , .+ 0,!!xœ-] , .+ y = x-] , œ∗ .+ y = i-] , ; 0+ .0 l = ; 0+ -] , .0 0,0,= ]+=> +] = ]+ , i = 1, b, j = 1, b => (7) •HСл1. В ОНБ е (А*)e = (Ae )Сл2. Для ∀ ЛО А ∈ ℒ(V, V ):det œ∗ = det œ, rg А* = rg А .33. Нормальный оператор и нормальная матрица.V ‒ унитарное или евклидово пр‒во.

ЛО А ∈ ℒ(V, V )нормальный, если А А* = А*А. Комплексная иливеще‒ственная квадратная матрица нормальная, если AAHH=A A.З1. Из определения и Т* => оператор нормален в ∀ ОНБего матрица нормальна.Т1. Собственный вектор нормального оператора,отвечающий собственному значению λ, являетсясобственным вектором сопряженного оператора,отвечающим собственному значению λ.Док‒во. Если А ‒ нормальный, то А ‒ λI также нормален.Пусть х ‒ собственный вектор А, отвечающий λ =>(А ‒ λI ) х = θ и ((А ‒ λI ) х, (А ‒ λI ) х) = 0.Т.к.

(Ах, у) = (х, А*у) , то (х, (А ‒ λI )*(А ‒ λI ) х) = 0, сучетом нормальности А ‒ λI : (х, (А ‒ λI ) (А ‒ λI )* х)= 0,т.е. ((А ‒ λI )* х, (А ‒ λI )* х) = 0 и (А ‒ λI )* х = θ => посвойствам сопряжения ((А + В)* =А*+В*, (α А)* = А* ):(А* ‒ λI ) х = θ, т.е. А* х = λ х. •С1. Если А ‒ нормальный, то ker A = ker A* (1)т.к. нетривиальные векторы ядра являются собственнымивекторами, отвечающими 0‒ому собственному значению.С2. Если А ‒ нормальный, то ker А=im} А, ker А* =im} А*(следует из ker А = im} А*, ker А* = im} А и (1))Т2.

Собственные векторы нормального оператора,отвечающие различным собственным значениям, попарноортогональны.Док‒во. Пусть А х = λ х, А у = µ у, λ ≠ µ => (А х, у) =(λ х ,у) = λ (х, у). Но, (Ах, у) = (х, А*у) = {в силу Т1} =(х, Ì у) = µ (х, у) => λ (х, у) = µ (х, у) и т.к.

λ≠ µ ,то (х, у)=0. •ОНБ унитарного (евклидова) пр‒ва, в котором матрица ЛОимеет треугольную форму, называется базисом Шура дляэтого оператора.Т3 (критерий нормальности). Оператор, действующий вунитарном пр‒ве, нормален Ǝ ОНБ из собственныхвекторов этого оператора.Док‒во. Необх‒сть. Пусть А ‒ нормальный оператор и е ‒его базис Шура (по теореме Шура (**) он Ǝ) => D … !0…00DD … D!DD … 0    už z = Ÿ Duž = Ÿ……00 … !!D! … !!!и, по теореме (*) и З1, Ae (Ae )H = (Ae )H Ae .

Для диагональных элементов матриц последнего равенства:|а11 |2 + | а12 |2 + … + | а1n |2 =| а11 |2, | а22 |2 + … + | а2n |2 = | а22 |2,| аn‒1,n‒1 |2 + | аn‒1,n | = | а n‒1,n‒1 |2=> а12 = а13 = … = а1n= 0, а23 = а24 = … = а2n = 0, … , аn‒1,n = 0=> Ае имеет диагональную форму => базис Шура являетсяОНБ из собственных векторов оператора А.Дост‒сть. Пусть е ‒ ОНБ из собственных векторов А =>0 °̄¦0­ ¦¦D¦D  už z = ¬¬už = Ÿ¯……¬¯0¦!«0¦! ®Из перестановочности диагональных матриц => Ае ‒нормальная матрица => по З1 А ‒ нормальный оп‒р.

•С3. В унитарном пр‒ве нормальный оператор А и егосопряженный А* имеют общий ОНБ из собственныхвекторов.Т4. Если ∀ собственный вектор оператора А,действую‒щего в унитарном пр‒ве V, являетсясобственным векто‒ром сопряженного оператора А*, тоА ‒ нормальный.Док‒во. ∀ оператор, действующий в комплексном пр‒ве,имеет хотя бы 1 собственный вектор. Пусть dim V = п ие1 ‒ собственный вектор оператора А => е1 ‒ собственныйвектор оператора А* и по Т(3*) подпространствоLп‒1 = ℒ } (е1) инвариантно относительно оператора А.