Шпаргалки, страница 4

Матрица Грама. Критерий линейнойзависимости.Пусть V ‒ вещественное или комплексное линейноепр‒во. Отображение ( , ) : V × V→ Р называетсяскалярным произведением, если оно удовлетворяетаксиомам: для ∀ х, у, z ∈ V и ∀ α ∈ Р1) (x, y) = ), (, (в вещественном случае без черты)2) (αx, y) = α(x, y) 3) (x+y, z) = (x, z) + (y, z)4) (x, x) ≥ 0 для ∀ х ∈ V, (x, x) = 0 х = θ .Матрицей Грама системы векторов a1, ...,akевклидова (унитарного) пр‒ва называется матрица ,  ⋯ 0 ,  ⋱⋮ lh , … , 0 = i ⋮A , 0 ⋯ 0 , 0 Определитель матрицы Грама называетсяопределителем Грама.Т1.

Система векторов a1, ...,ak евклидова(унитар‒ного) пр‒ва линейно зависима det G (a1,..., ak ) = 0.Док‒во. Необх‒сть. Пусть a1, ..., ak ‒ линейнозависимая система векторов. Последовательноумножая нетривиальную линейную комбинациюα1 a1 + …+ αk ak = θ(2)скалярно на векторы a1, ...,ak, получим однороднуюсистему уравнений относительно α1, ..., αk :  ,  + ⋯ + 0 0 ,  = 0,a…mn  , 0 + ⋯ + 0 0 , 0 = 0с матрицей коэффициентов G (a1, ..., ak). Т.к.

Ǝ нетривиальное решение этой системы (Однородная системаАх=0 с квадратной матрицей имеет нетривиальноерешение |А| = 0) => det G (a1, ..., ak ) = 0.Дост‒сть. Пусть det G (a1, ...,ak) = 0=> (3) имеетнетривиальное решение a1, ...,ak .

Перепишем ее:0ri; + + ,  l = 0,p+,a…<q 0p i; + + , 0 l = 0o +,=> вектор s = ∑0+, + + ∈ ℒ (a1,..., ak) и ортогоналенℒ (a1,..., ak) => по аксиоме 4 скалярногопроизведе‒ния вектор g может быть только 0‒м =>для a1, ..., ak имеет место (2) => с учетомнетривиальности набора α1, ..., αk следует линейнаязависимость a1, ..., ak. •HttА = (+]) ‒ сопряженная к А = (aij): +]= ]+Матрица А ∈ ℂ!×! называется эрмитовой матрицей,Hесли А =А.(5) => |А| ∈ ℝМатрица А ∈ ℝ!×! называется симметрической (иливещественной эрмитовой), если АТ = А. (6)Т2. Матрица Грама системы векторов евклидова(унитарного) пр‒ва эрмитова.Док‒во.

Пусть G (a1, ..., ak ) = G = (gij). Из (1) => gij =(aj, ai), gji = (ai, aj), т.е. s+] = s]+ => GH = G , ввещественном случае, GТ = G. •Т3. Определитель Грама линейно независимойсистемы векторов в евклидовом (унитарном) пр‒веположителен.Док‒во. Пусть a1, ...,ak ‒ линейно независимая системавекторов евклидова пр‒ва => dim ℒ (a1,..., ak) = k .Выберем ОНБ е1, ...,еk линейной оболочки ℒ (a1,..., ak).Составим матрицу ⋯ 0⋱⋮ w ∈ ℂ!×!u=v ⋮0 ⋯ 00столбцы ‒ координаты векторов a1, ...,ak в базисее = (е1, ...,еk) => (по Т: В евклидовом (унитарном)пр‒ве скалярное произведение векторов ( = ∑!+, (+ -+ ,) = ∑!+, )+ -+ , заданных координатами в базисе е,вычисляется по (, ) = ∑!+, (+ )+ е ‒ ОНБ)!!tx+ , ] y = ; :] :+ = ; +::] = {uz u}+] , 2, ` = 1, ":,:,=> G (a1, ..., ak ) = АH А и det G (a1, ..., ak) = |det A|2=> det G (a1, ..., ak ) ≥ 0.

Т.к. система a1, ..., akлинейно независима => по Т1 det G (a1, ..., ak) ≠ 0 =>det G (a1, ..., ak ) > 0З. В вещественном случае G (a1, ..., ak ) = АТ А.9. Ортогональное дополнение. Ортогональнаясумма подпространств. Расстояние от вектора доподпространства.Пусть L ‒ линейное подпространство евклидова(унитарного) пр‒ва Е (U ). Вектор х называетсяортогональным к подпространству L (x ⊥ L), еслион ортогонален ∀у ∈ L .х ⊥ ℒ (a1,..., ak) х ⊥ ai , 2 = 1, ". Совокупность всехвекторов х ∈ Е (U ), ортогональных подпространствуL, называется ортогональным дополнением 3} к L .Т 1.

Ортогональное дополнение к подпространствуявляется линейным подпространством.Док‒во. Пусть ) , )D ∈ 3} , тогда (у1, х) = (у2, х) = 0 для∀ х ∈ L. Складывая эти равенства => (у1+y2, х) = 0,∀( ∈ 3 => ) , +)D ∈ 3} . Если ), ( = 0, ∀( ∈ 3,то ), ( = 0 => ) ∈ 3} => 3} ‒ линейноеподпространство по Т (Непустое подмножество Lпр‒ва V является линейным подпространством этогопр‒ва имеют место импликации:1) a, b ∈ L =>a+b∈ L, 2) a ∈ L, α ∈ R => αa ∈ L ) •Т2.

Если L ‒ линейное подпространство Е (U ), то3⨁3} = € (1)Док‒во. Для тривиального подпространства очевидно.Пусть L ‒ нетривиальное подпространство. Возьмеме1, ...,еk ‒ ОНБ L , еk+1, ...,еn ‒ ОНБ 3} . Системавекторов е1, ...,еk , еk+1, ...,еn ортонормирована =>линейно независима (Т (Ортогональная системаненулевых векторов линейно независима)).

Покажем,что она образует базис всего пр‒ва Е (U ). Пусть этоне так. Тогда Ǝ вектор f пр‒ва, который не являетсялинейной комбинацией е1,..., еп. Система векторове1,..., еп, f линейно независима, и применение процессаортогонализации приводит к вектору еп+1, которыйортогонален е1,..., еп и, значит, -!‚ ∈ 3} . С другойстороны, -!‚ ⊥ 3} , т.к. еп+1 ортогонален еk+1, ...,еn =>еп+1 = θ => линейная зависимость е1,..., еп, f, что противоречит допущению. Т.о., система е1,..., еп являетсябазисом Е (U) и dim L + dim 3} = dim E (U ).Т.к.3 ∩ 3} = {}, то получаем (1) по Т (Линейное пр‒во Vявляется прямой суммой своих подпространств L1 иL2 :1) dim V = dim L1 + dim L2; 2) L1∩ L2 = { θ }).

•С. Если L ‒ линейное подпространство Е (U), то для∀ f ∈ Е (U) Ǝ ! разложение (где g ∈ L, h ⊥ L):f=g+h(2)Вектор g в (2) ‒ ортогональная проекция вектора fна L (перпендикуляр, опущенный из вектора f на L ),вектор h ‒ ортогональная составляющая вектора f ,вектор f ‒ наклонная к подпространству L.|.|D = s + ℎ, s + ℎ = s, s + ℎ, ℎ =>|.|D = |s|D + |ℎ|D(3) ‒ теорема Пифагора вевклидовом (унитарном) пр‒веМножество М называется метрическим пр‒вом, еслизадано отображение ρ : M × M→ ℝ, которое каждойупорядоченной паре элементов х, у ∈ М ставит в соответствие число ρ(х, у) ∈ ℝ такое, что:1) ρ(х, у) ≥ 0, ∀ х, у ∈ М ; ρ(х, у) = 0 х = у;2) ρ(х, у) = ρ(y, x), ∀ х, у ∈ М3) ρ(х, z) ≤ ρ(х, у) + ρ(y, z) ∀ х, у ∈ М.Число ρ(х, у) ‒ расстояние между х и у; отображениеρ ‒ метрика, аксиомы 1‒3 ‒ аксиомы метрики.Расстоянием между множествами X и Y вметрическом пр‒ве называется число…†, ‡ = inf …., )[∈Š,\∈‹Т3.

В евклидовом (унитарном) пр‒ве V правило…(, ) = |( − )| задает метрику.Док‒во. Правило определяет отображение ρ: V×V→ℝ,которое отвечает всем аксиомам метрики. Например:…(, Œ = |( − Œ| = |( − ) + ) − Œ| ≤ |( − )| ++|) − Œ| = …(, ) + …), Œ. •Т4 (о кратчайшем расстоянии). Расстояние междувектором f и линейным подпространством L вевклидовом (унитарном) пр‒ве равно длинеперпендикуляра, опущенного из вектора f на L .Док‒во. Пусть f = g + h, где g ∈ L, h ⊥ L, ∀) ∈ L =>…., ) = |. − )| = |s + ℎ − )| = |ℎ + s − )| =={в силу(3)}= U|ℎ|D + |s − )|D => …., ) ≥ |ℎ|,∀) ∈ 3 и …., ) = |ℎ|, если у = g =>|ℎ| = inf …., ) = …., 3 ∎\∈Т4 в других терминах:1) расстояние между вектором f иподпространством L, равно расстоянию междувектором f и его ортогональной проекцией на L;2) среди всех векторов подпространства L ближевсего к вектору f расположена его ортогональнаяпроекция на L .10.

Ортонормированный базис и унитарные(ортогональные) матрицы.2 вектора х, у ∈ Е (U) ортогональны, если (х, у) = 0.Система векторов x1,..., xk ∈ Е (U) ортогональна, если(xi , xj ) = 0 при i≠ j (1)Система x1,..., xk ∈ Е (U) ортонормированная, если1, 2 = `a(xi , xj ) = δ+] = _G0, 2 ≠ `Т1. Ортогональная система ненулевых векторовлинейно независима.Док‒во.

Пусть x1,..., xk ∈ Е (U) ‒ ортогональнаясистема, xi ≠ θ. Умножая скалярно на xi равенствоα1 x1 +…+ αi xi +…+ αk xk = θ (3) , получаем в силу (1)αi (xi , xi) = 0, 2 = 1, ". По условию xi ≠ θ => (xi, xi) ≠ 0=> все αi = 0 => система линейно независима. •Сл1. Ортонормированная система векторов линейнонезависима.Сл2. В п‒мерном евклидовом (унитарном) пр‒ве ∀ортонормированная система из п векторов образуетбазис.Базис, векторы которого образуютортонормирован‒ную систему, называетсяортонормированным базисом (ОНБ). Из (2) => е1,...,еk ‒ ОНБ Е (U ), если -+ , -] = δ+]<Т2. В евклидовом (унитарном) пр‒ве координатыx1,..., xn вектора х в базисе е = (е1,..., еn) вычисляютсяпо правилу xi = (x, ei), 2 = 1, b (5) е ‒ ОНБ.Док‒во. Необх‒сть.

Пусть для ∀ х ∈ Е (U)координаты в базисе е вычисляются согласно (5) =>по (5) вычисляются координаты и базисных векторов:ei = 0e1 + ... + 0ei‒1 + 1ei + 0ei+1 + ... + 0en , 2 = 1, b.Сравнение координат вектора ei с (5) приводит к (4).Дост‒сть. Если е ‒ ОНБ и ( = ∑!+, (+ -+ , тосвойство линейности скалярного произведения сучетом (4) приводит к (5).

•Т3. В евклидовом (унитарном) пр‒ве скалярноепроизведение векторов ( = ∑!+, (+ -+ , ) = ∑!+, )+ -+ ,заданных своими координатами в базисе е,вычисля‒ется по правилу (, ) = ∑!+, (+ )+(6) е ‒ ОНБ.Док‒во. Необх‒сть. Если скалярное произведениевычисляется по (6) для ∀ пары векторов, то это жеверно для пары базисных векторов ei и ej, координатыкоторых известны.

Применив правило (6) длявычисления (ei, ej), получим равенства (4).Дост‒сть. е ‒ ОНБ и ( = ∑!+, (+ -+ , ) = ∑!+, )+ -+ =>в силу линейности скалярного произведения:!!!!(, ) = c; (+ -+ , ; )] -] d = ; ; (+ )] -+ , -] +,],+, ],!= ; (+ )++,t+]=∎tА = (+]) ‒ сопряженная к А = (aij):]+HHМатрица U ∈ ℂ!×! унитарна, если U U = U U = IМатрица Q ∈ ℝ!×! ортогональна, если Q QT= QTQ = IТ4. Матрица ортогональна (унитарна) онаявляется матрицей перехода от одного ОНБ кдругому ОНБ евклидова (унитарного) пр‒ва.Док‒во. Пусть е, e' ‒ 2 ОНБ.

Векторы одного базисаможно выразить через векторы другого:e1'=c11 e1 + … + cn1 en…en'=c1ne1 + … + cnn en=>столбцы матрицы перехода С являютсякоординатами векторов базиса e' в базисе е. По Т3:-+P , -]P = ∑!0, 0+ 0+ е ‒ ОНБ => условиеортонормированности базиса e' условиюортогональности (унитарности) матрицы:1, 2 = `a1, 2 = `a!!∑0,0+ 0+ = _и ∑0,+0 ]0 = _0, 2 ≠ `0, 2 ≠ `H11. Процесс ортогонализации Грама‒Шмидта.QR‒разложение матрицы.2 вектора х, у ∈ Е (U) ортогональны, если (х, у) = 0.Система векторов x1,..., xk ∈ Е (U) ортогональна, если(xi , xj ) = 0 при i≠ j (1)Система x1,..., xk ∈ Е (U) ортонормированная, если1, 2 = `a(xi , xj ) = δ+] = _G0, 2 ≠ `Т1.

Ортогональная система ненулевых векторовлинейно независима.Док‒во. Пусть x1,..., xk ∈ Е (U) ‒ ортогональнаясистема, xi ≠ θ. Умножая скалярно на xi равенствоα1 x1 +…+ αi xi +…+ αk xk = θ (3) , получаем в силу (1)αi (xi , xi) = 0, 2 = 1, ". По условию xi ≠ θ => (xi, xi) ≠ 0=> все αi = 0 => система линейно независима. •Сл1. Ортонормированная система векторов линейнонезависима.Сл2. В п‒мерном евклидовом (унитарном) пр‒ве ∀ортонормированная система из п векторов образуетбазис.Базис, векторы которого образуютортонормирован‒ную систему, называетсяортонормированным базисом (ОНБ). Из (2) => е1,...,еk ‒ ОНБ Е (U ), если -+ , -] = δ+]<Процесс ортогонализации. Пусть в евклидовом(унитарном) пр‒ве задан базис f1,..., fn.

По нему надопостроить ОНБ е1,..., еn.1‒й шаг. Полагая g1 = f1 , находим е1 = g1/| g1|.k‒й шаг (k ≥ 2). Полагаем gk = fk ‒ α1 e1 ‒ … ‒ αk ‒1 ek ‒1,где αi = (fk , ei) , 2 = 1, " − 1, и находим еk = gk / | gk|.Через п шагов получим ОНБ е1,...,еп пр‒ва.Описанный алгоритм состоит в следующем.HHМатрица U ∈ ℂ!×! унитарна, если U U = U U = IМатрица Q ∈ ℝ!×! ортогональна, если Q QT= QTQ = IТ4.

Матрица ортогональна (унитарна) онаявляется матрицей перехода от одного ОНБ кдругому ОНБ евклидова (унитарного) пр‒ва.Док‒во. Пусть е, e' ‒ 2 ОНБ. Векторы одного базисаможно выразить через векторы другого:e1'=c11e1 + … + cn1en…en'=c1ne1 + … + cnnen=>столбцы матрицы перехода С являютсякоординатами векторов базиса e' в базисе е. Согласнотеореме (В евклидовом (унитарном) пр‒ве скалярноепроизведение векторов ( = ∑!+, (+ -+ , ) = ∑!+, )+ -+ ,заданных своими координатами в базисе е,вычисляется по правилу (, ) = ∑!+, (+ )+ е ‒ОНБ): -+P , -]P = ∑!0, 0+ 0+ е ‒ ОНБ => условиеортонормированности базиса e' условиюортогональности (унитарности) матрицы:!; 0+ 0+ = _0,1, 2 = `a0, 2 ≠ `!1, 2 = `aи ; +0 ]0 = _0, 2 ≠ `0,QR‒разложение.