Диссертация (Эллипсоидальные методы в решении задач достижимости и синтеза управлений для систем с запаздыванием), страница 6

Òîãäà, àíàëîãè÷íî ââîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïîíÿòèÿ è äîêàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå óòâåðæäåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 10.Ìíîæåñòâîì äîñòèæèìîñòè X[t] = X(t, t0 , X 0 (·)) âìîìåíò t ñèñòåìû(1.4), (1.6)ïðè îãðàíè÷åíèÿõ(1.5), (1.40)áóäåì íàçû-âàòü îáúåäèíåíèåX[t] = X(t, t0, X 0 (·)) =[{xt(0, t0, xt0 (·), u(·))}.âñåâîçìîæíûõ êîíå÷íîìåðíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìûâðåìåíè t ïðè îãðàíè÷åíèÿõ(1.4), (1.6)(1.48)â ìîìåíò(1.5), (1.40).Çàìå÷àíèå. Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò áåñêîíå÷íîìåðíîãî ñëó÷àÿ, äëÿîòîáðàæåíèÿX(t, t0 , X 0(·))ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè âèäà (1.42) íå âûïîëíÿ-åòñÿ, òàê êàê çíàíèÿ êîíå÷íîìåðíîãî ìíîæåñòâà â òåêóùèé ìîìåíò íåäîñòàòî÷íî äëÿ ïðîäîëæåíèÿ àíñàìáëÿ òðàåêòîðèé íåîáõîäèìî çíàòü ïðåäûñòîðèþ.Ïóñòü çàäàíû ïàðàìåòðûíåïðåðûâíûé óíêöèîíàëÂâåäåì îòîáðàæåíèåt ∈ [t0, t1] , xt (·) ∈ H , z ∈ Rn , τ ∈ [t, t1 ]ϕ(·, ·) : H × Rn → R1 .V (t, xt(·), z | τ, ϕ(·, ·)) :V (t, xt(·), z | τ, ϕ(·, ·)) =Îïðåäåëåíèå 11.è ñèëüíîmin {ϕ(xτ (·, t, xt(·), u(·)), z)}.u(·)∈U [t,τ ](1.49)Ôóíêöèîíàë öåíû V (t, xt(·), z) åñòü ðåøåíèå ñëåäóþùåéçàäà÷è:V (t, xt(·), z) = V (t, xt(·), z | t1 , V (t1 , ·, ·)),(1.50)46ñ êðàåâûì óñëîâèåìV (t1, x∗(·), z) = d2(x(0), z), x∗(·) ∈ H, z ∈ Rn .(1.51)àññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ðàçðåøèìîñòè è ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî ýëåìåíòxt (·)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðó{x0t , x0t (·)}(ñîãëàñíî ((1.1)), ïîëó÷àåì ñëåäó-þùèå óòâåðæäåíèÿ.Òåîðåìà 11.Îáëàñòü äîñòèæèìîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíî-æåñòâà óðîâíÿ óíêöèîíàëà öåíûX[t1 ] =[xt0 (·)∈X0 (·)Òåîðåìà 12.{z | V (t0, xt0 (·), z) ≤ 0}.(1.52)Îòîáðàæåíèå V (t, xt(·), z) óäîâëåòâîðÿåò ïîëóãðóïïîâîìóñâîéñòâó:V (t, xt(·), z) =min {V (τ, xτ (·, t, xt(·), u(·)), z)}, ïðè t0 ≤ t ≤ τ ≤ t1 .u(·)∈U [t,τ ]Äàííîå ñâîéñòâî ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:V (t, xt(·), z | t1 , V (t1 , ·, ·)) == V (t, xt(·), z | τ, V (τ, ·, · | t1 , V (t1, ·, ·))), t ≤ τ ≤ t1 .Óðàâíåíèå àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂V (t, xt(·), z)∂V (t, xt(·), z)+ min, A0(t)xt(0) + A1(t)xt(−h) + B(t)u +∂tu∈P (t)∂x0t∂V (t, xt(·), z) dxt (τ )+,= 0, t ∈ [t0 , t1),∂x0t (·)dτñ êðàåâûì óñëîâèåìV (t1 , xt1 (·), z) = d2(xt1 (0), zt1 (·)).47Ôóíêöèîíàë öåíû ìîæíî âûïèñàòü ïðè ïîìîùè ìåòîäîâ âûïóêëîãî àíàëèçà.

Ïðè ýòîì âûðàæåíèå (1.47) óïðîùàåòñÿ.Ïîëó÷àåì,{hS ′ (t1 , t)l, xt(0)i −V (t, xt(·), z)) = maxn−+Rtt−hRt1l∈Rρ (−B ′ (τ )S ′(t1, τ )l| P (τ )) dτ +thA′1 (τ + h)S ′ (t1, τ + h)l, xt(τ − t)idτ − hl, zi − 1/4hl, li}.Òàêæå çàìåòèì, ÷òî îáúåäèíåíèå ïî ìíîæåñòâó íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé ââûðàæåíèå äëÿ ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè (1.46) ìîæíî âíåñòè â âûðàæåíèåäëÿ óíêöèîíàëà öåíû:V0(t0 , X0(·), z) =inf{V (t0 , xt0 (·), z)}.xt0 (·)∈X0 (·) ýòîì ñëó÷àåX[t1 ] =1.12[{z | V0 (t0 , X0(·), z) ≤ 0}.Çàäà÷è äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè âòå÷åíèå çàäàííîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíèÏðè ðåøåíèè îïðåäåëåííîãî êëàññà çàäà÷, êîãäà ñèñòåìó íóæíî ïðèâåñòè èç çàäàííîãî ñîñòîÿíèÿ â èñêîìîå ìíîæåñòâî íå â êîíêðåòíûé ìîìåíòâðåìåíè, à â ëþáîé â òå÷åíèå çàäàííîãî ïðîìåæóòêà, ïðèõîäèòñÿ èñêàòü íåìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè â êîíêðåòíûé ìîìåíò âðåìåíè, àîáúåäèíåííûå ìíîæåñòâà.Ââåäåì ýòè ïîíÿòèÿ.Îïðåäåëåíèå 12.Ïîä ìíîæåñòâîì äîñòèæèìîñòè XS [t1 ] â òå÷åíèå ïðî-ìåæóòêà [t0 , t1 ] áóäåì ïîíèìàòü îáúåäèíåíèå îáëàñòåé äîñòèæèìîñòè ïðè48âñåõ ìîìåíòàõ âðåìåíè t ∈ [t0 , t1 ] :XS [t1] =[t∈[t0 ,t1 ]ãäå Xt [·] îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåìÎïðåäåëåíèå 13.{Xt [·]},(1.41).Ïîä ìíîæåñòâîì ðàçðåøèìîñòè WS [t0 ] â òå÷åíèå ïðî-ìåæóòêà [t0 , t1 ] áóäåì ïîíèìàòü îáúåäèíåíèå îáëàñòåé ðàçðåøèìîñòè ïðèâñåõ ìîìåíòàõ âðåìåíè t ∈ [t0 , t1 ] :WS [t0] =[t∈[t0 ,t1 ]ãäå Wt [·] îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì{Wt[·]},(1.17).Îáúåäèíåííóþ îáëàñòü äîñòèæèìîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíîæåñòâà óðîâíÿ óíêöèîíàëà öåíûXS [t1] =ãäå[xt0 (·)∈X0 (·),τ ∈[t0 ,t1 ]{z ∗ (·) | V (t0 , xt0 (·), z ∗(·) | τ, V (τ, ·, ·)) ≤ 0}V (t0, xt0 (·), z ∗(·)|τ, V (τ, ·, ·)) îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (1.43) ñ êðàåâûì óñëî-âèåì (1.45) âçÿòûì â ìîìåíòτ:V (τ, x∗(·), z ∗(·)) = d2 (x∗(·), z ∗(·)), x∗ (·) ∈ H, z ∗ (·) ∈ H.Ìîæíî âíåñòè îáúåäèíåíèå ïî íà÷àëüíîìó ìíîæåñòâó è ïî âðåìåíè â âûðàæåíèå äëÿ óíêöèè öåíûSV0 (t0 , X0(·), z ∗(·)) =infxt0 (·)∈X0 (·),τ ∈[t0 ,t1 ]{V (t0, xt0 (·), z ∗(·) | τ, V (τ, ·, ·))}. ýòîì ñëó÷àåXS [t1 ]=[S{z (·) | V0 (t0, X0 (·), z ∗(·)) ≤ 0}.∗49Îáúåäèíåííóþ îáëàñòü ðàçðåøèìîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíîæåñòâà óðîâíÿ óíêöèîíàëà öåíûWS [t0] =[τ ∈[t0 ,t1 ]{x∗(·) | V (τ, x∗(·)) ≤ 0}.Ìîæíî âíåñòè îáúåäèíåíèå ïî ïî âðåìåíè â âûðàæåíèå äëÿ óíêöèè öåíûSV0 (t0, x∗(·)) = inf {V (τ, x∗(·))}.τ ∈[t0 ,t1 ] ýòîì ñëó÷àåWS [t0 ] =[S{x∗(·) | V0 (t0 , x∗(·)) ≤ 0}.Çàìåòèì, ÷òî ââåäåííûå ìíîæåñòâà è óíêöèè áóäóò âîîáùå ãîâîðÿ íåâûïóêëûìè.1.13Çàäà÷è äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè âòå÷åíèå çàäàííîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè:êîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àé.Çàäà÷è äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè â òå÷åíèå çàäàííîãî ïðîìåæóòêàâðåìåíè ìîæíî ðàññìîòðåòü â êîíå÷íîìåðíîé ïîñòàíîâêå.

Òî åñòü ðàññìàòðèâàòü êîíå÷íîìåðíîå öåëåâîå ìíîæåñòâî äëÿ çàäà÷è ðàçðåøèìîñòè. È ðàññìàòðèâàòü êîíå÷íîìåðíûå ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè.Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè â òå÷åíèå çàäàííîãîïðîìåæóòêà âðåìåíè ââîäÿòñÿ ÷åðåç ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè, òî îáúåäèíåííîå ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè òàêæå áóäåò êîíå÷íîìåðíûì.  òî æå âðåìÿ îáúåäèíåííîå ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè áóäåò áåñêîíå÷íîìåðíûì.50Òàêèì îáðàçîì â êîíå÷íîìåðíîé ïîñòàíîâêå îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ ìíîæåñòâ ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä:Îïðåäåëåíèå 14.Ïîä ìíîæåñòâîì äîñòèæèìîñòè XS [t1 ] â òå÷åíèå ïðî-ìåæóòêà [t0 , t1 ] áóäåì ïîíèìàòü îáúåäèíåíèå îáëàñòåé äîñòèæèìîñòè ïðèâñåõ ìîìåíòàõ âðåìåíè t ∈ [t0 , t1 ] :[XS [t1 ] =t∈[t0 ,t1 ]ãäå X[t] îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåìÎïðåäåëåíèå 15.{X[t]},(1.48).Ïîä ìíîæåñòâîì ðàçðåøèìîñòè WS [t0 ] â òå÷åíèå ïðî-ìåæóòêà [t0 , t1 ] áóäåì ïîíèìàòü îáúåäèíåíèå îáëàñòåé ðàçðåøèìîñòè ïðèâñåõ ìîìåíòàõ âðåìåíè t ∈ [t0 , t1 ] :WS [t0] =[t∈[t0 ,t1 ]ãäå Wt [·] îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì{Wt[·]},(1.34).Îáúåäèíåííóþ îáëàñòü äîñòèæèìîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíîæåñòâà óðîâíÿ óíêöèîíàëà öåíûXS [t1] =ãäå[xt0 (·)∈X0 (·),τ ∈[t0 ,t1 ]{z | V (t0 , xt0 (·), z | τ, V (τ, ·, ·)) ≤ 0}V (t0 , xt0 (·), z|τ, V (τ, ·, ·)) îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (1.49) ñ êðàåâûì óñëîâèåì(1.51) âçÿòûì â ìîìåíòτ:V (τ, x∗(·), z) = d2(x(0), z), x∗(·) ∈ H, z ∈ Rn .Ìîæíî âíåñòè îáúåäèíåíèå ïî íà÷àëüíîìó ìíîæåñòâó è ïî âðåìåíè â âûðàæåíèå äëÿ óíêöèè öåíûSV0 (t0 , X0(·), z) =infxt0 (·)∈X0 (·),τ ∈[t0 ,t1 ]{V (t0, xt0 (·), z | τ, V (τ, ·, ·))}.51 ýòîì ñëó÷àåXS [t1 ][=S{z | V0 (t0, X0 (·), z) ≤ 0}.Îáúåäèíåííóþ îáëàñòü ðàçðåøèìîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíîæåñòâà óðîâíÿ óíêöèîíàëà öåíûWS [t0] =[τ ∈[t0 ,t1 ]{x∗(·) | V (τ, x∗(·)) ≤ 0}.Ìîæíî âíåñòè îáúåäèíåíèå ïî ïî âðåìåíè â âûðàæåíèå äëÿ óíêöèè öåíûSV0 (t0, x∗(·)) = inf {V (τ, x∗(·))}.τ ∈[t0 ,t1 ] ýòîì ñëó÷àåWS [t0 ] =[S{x∗(·) | V0 (t0 , x∗(·)) ≤ 0}.Òàêæå çàìåòèì, ÷òî ââåäåííûå ìíîæåñòâà è óíêöèè áóäóò âîîáùå ãîâîðÿíåâûïóêëûìè.1.14Çàêëþ÷åíèå äàííîé ãëàâå ïðèâåäåíû ñîîòíîøåíèÿ ìåòîäà äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ðåøàòü çàäà÷è ðàçðåøèìîñòè è äîñòèæèìîñòè äëÿëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì.ëàâà 2Ýëëèïñîèäàëüíîåîöåíèâàíèå ìíîæåñòâäîñòèæèìîñòè äëÿëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõñèñòåì.Ââåäåíèå.Äàííàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà íàõîæäåíèþ èñ÷åðïûâàþùèõ âíóòðåííèõ è âíåøíèõ îöåíîê ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè ó ëèíåéíîé óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì ïðè ãåîìåòðè÷åñêèõ îãðàíè÷åíèÿõ íà óïðàâëåíèå.

Èñïîëüçóþòñÿ ðåçóëüòàòû [57℄, [58℄ ãäå ïðèâîäèòñÿ òåõíèêà ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿäëÿ èíòåãðàëîâ îò ýëëèïñîèäîâ è ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè ëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì, îïèñûâàåìûõ îáûêíîâåííûìè äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíå-5253íèÿìè.Ïðÿìûì ïðèìåíåíèåì îðìóëû äëÿ îöåíêè èíòåãðàëîâ îò ýëëèïñîèäîâ ïîëó÷åíû èñ÷åðïûâàþùèå âíóòðåííèå è âíåøíèå îöåíêè äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõâ êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè ó çàäà÷è ñ çàïàçäûâàíèåì.

Ïåðåíîñîì ñõåìû îöåíêè èíòåãðàëîâ îò ýëëèïñîèäîâ íà óíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî è ìíîæåñòâà ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà, ïîëó÷åíû èñ÷åðïûâàþùèå âíóòðåííèå îöåíêè â óíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå äëÿ ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè ó ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì.  ÷àñòíîì ñëó÷àå ïîëó÷åíûðåêóððåíòíûå îðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âíóòðåííèõ îöåíîê ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè â óíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå.