Диссертация (Эллипсоидальные методы в решении задач достижимости и синтеза управлений для систем с запаздыванием), страница 5

Ïîêàæåì,Òàê êàêF (xkl , y kl ) ≤ F (xkl , y), ∀y ⇒ F (x, y ∗) ≤ F (x, y). ñëó÷àå åäèíñòâåííîñòè ìèíèìèçàòîðày ∈ N (x)ïîëó÷àåì, ÷òîñëåäîâàòåëüíî,liml→∞W (xkl ) − W (x)′− hFx (x, y), αkl i ≥ 0.ǫkly = y∗è,36 ñëó÷àåαk = α ,è âîîáùå ãîâîðÿ íååäèíñòâåííîãî ìèíèìèçàòîðày ∈ N (x)ïîëó÷àåìlim infk→∞W (xk ) − W (x)ǫk≥ hFx′ (x, y ∗), αi ≥ min hFx′ (x, y), αi .y∈N (x)÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.Òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:∂V (t, x∗(·)) ∂ϕ(t, x∗(·), l0(·))∂V (t, x∗(·)) ∂ϕ(t, x∗(·), l0(·))=,=,∂t∂t∂x0∂x0∂V (t, x∗(·)) ∂ϕ(t, x∗(·), l0(·))=.∂x0(·)∂x0(·)Ïîäñòàâèâ óíêöèîíàëV (t, x∗(·))(1.33)â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1.28), ó÷èòûâàÿ(1.30))-(1.32) è (1.33), óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè óðàâíåíèÿ (1.28).1.7Ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè è óíêöèîíàëöåíû â ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíîãî öåëåâîãîìíîæåñòâàÂûøå áûë ðàññìîòðåí ñëó÷àé, êîãäà öåëåâîå ìíîæåñòâî ëåæèò â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåH .

Òåïåðü ðàññìîòðèì êîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àé, êîãäàíóæíî ïåðåâåñòè ñèñòåìó â íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, ëåæàùåå â êîíå÷íîìåðíîìïðîñòðàíñòâåRn .Çàäàäèì öåëåâîå ìíîæåñòâîMâ ïðîñòðàíñòâåRn :xt1 (0) ∈ M.Íî ïîñêîëüêó íà÷àëüíóþ ïîçèöèþ ñèñòåìû (1.4) íåîáõîäèìî çàäàòü âìåñòåñ ïðåäûñòîðèåé, òî è â ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíîãî öåëåâîãî ìíîæåñòâà òåêóùàÿ37ïîçèöèÿåñòü{t, x∗(·)}áóäåò çàäàâàòüñÿ â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåH,òîx∗(·) ∈ H .Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòèæåñòâîì ïðîñòðàíñòâàWt [·] = Wt (·, t1, M) =Ôóíêöèîíàë öåíûWt[·]òàêæå áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïîäìíî-H:[{x∗(·) ∈ H|∃u(·) ∈ U [t, t1] : xt1 (0, t, x∗(·), u(·)) ∈ M}.(1.34)V (t, x∗(·))ââîäèòñÿ àíàëîãè÷íî áåñêîíå÷íîìåðíîìó ñëó-÷àþ, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå (1.18) îòîáðàæåíèÿÎïðåäåëåíèå 7.V (t, x∗(·) | τ, ϕ(·)) :Ôóíêöèîíàë öåíû V (t, x∗ (·)) åñòü ðåøåíèå ñëåäóþùåé çà-äà÷è:V (t, x∗(·)) = V (t, x∗(·) | t1 , V (t1 , ·)),(1.35)V (t1 , x∗(·)) = d2(x(0), M), x∗(·) ∈ H.(1.36)ñ êðàåâûì óñëîâèåìÎòëè÷èå ñîñòîèò â êðàåâîì óñëîâèè, êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåòñîáîé êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâåRn ,à íå â ïðîñòðàíñòâåH.Ôóíêöèîíàë öåíû ìîæíî òàêæå çàïèñàòü â âèäå, àíàëîãè÷íîì (1.23):V (t, x∗(·)) =min {d2(xt1 (0, t, x∗(·), u(·)), M) | xt (·) = x∗(·)}.u(·)∈U [t,t1 ](1.37)Ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè òàêæå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ìíîæåñòâà óðîâíÿóíêöèîíàëà öåíû:Wt [·] =[{x∗(·) ∈ H | V (t, x∗(·)) ≤ 0}.Äëÿ ìíîæåñòâà ðàçðåøèìîñòè è óíêöèîíàëà öåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèíöèïû îïòèìàëüíîñòè (1.21), (1.22) ñîõðàíÿþòñÿ:38Òåîðåìà 6.Ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè óäîâëåòâîðÿåò ïîëóãðóïïîâîìóñâîéñòâóWt (·, t1, M) = Wt (·, τ, Wτ (·, t1, M)), ïðè t0 ≤ t ≤ τ ≤ t1 .Òåîðåìà 7.Îòîáðàæåíèå V (t, x∗(·)) óäîâëåòâîðÿåò ïîëóãðóïïîâîìó ñâîé-ñòâó:V (t, x∗(·)) =min {V (τ, xτ (·, t, x∗(·), u(·)))}, ïðè t0 ≤ t ≤ τ ≤ t1 ,u(·)∈U [t,τ ]êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:V (t, x∗(·) | t1 , V (t1, ·)) = V (t, x∗(·) | τ, V (τ, · | t1 , V (t1, ·))),ïðèt0 ≤ t ≤ τ ≤ t1 .Ïðè ýòîì, ïîëó÷åííîå ìåòîäàìè âûïóêëîãî àíàëèçà àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå (1.25), (1.26) äëÿ óíêöèîíàëà öåíû óïðîùàåòñÿ:hS ′ (t1, t)l, x(0)i −V (t, x∗(·)) = maxnl∈R+Rtt−hZt1ρ (−B ′ (τ )S ′(t1, τ )l| P (τ )) dτ +thA′1 (τ + h)S ′(t1 , τ + h)l, x(τ − t)i dτ − ρ (l| M) − 1/4 hl, li ,(1.38)Óðàâíåíèå òèïà àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà äëÿ óíêöèîíàëà öåíû çäåñüïîëíîñòüþ ñîõðàíÿåò ñâîé âèä: (1.27) è (1.28).∂V (t, x∗(·))+ min∂tu∈P (t)∂V (t, x∗(·)), At x∗(·)∗∂x (·)= 0, t ∈ [t0, t1).Èëè áîëåå äåòàëüíî:∂V (t, x∗(·))+∂t∂V (t, x∗(·)) dx0(·),+∂x0(·)dτ∗∂V(t,x(·))∂V (t, x∗(·))′ P (t) = 0., A0(t)x(0) + A1(t)x(−h) −ρ −B (t)+∂x0∂x0Ïðè ýòîì ãðàíè÷íîå óñëîâèå ñòàíîâèòñÿ ñëåäóþùèì:V (t1 , x∗(·)) = d2(x(0), M).391.8Çàäà÷à áûñòðîäåéñòâèÿàññìîòðèì çàäà÷ó áûñòðîäåéñòâèÿ èç òî÷êè âî ìíîæåñòâî â êëàññå ïðîãðàììíûõ óïðàâëåíèé.Çàèêñèðóåì íà÷àëüíóþ ïîçèöèþñòâîM(·)ñòðàíñòâåt∗1{t, x∗(·)} .

Òðåáóåòñÿ ïîïàñòüêàê ìîæíî áûñòðåå. ÌíîæåñòâîHòàê è â ïðîñòðàíñòâå ïåðâîì ñëó÷àå ( M(·)Rn .M(·)âî ìíîæå-ìîæíî áðàòü êàê â ïðî-⊂ H ) áóäåì èñêàòü ìèíèìàëüíûé ìîìåíò âðåìåíèòàêîé, ÷òîxt∗1 (·) ∈ M(·),èëè, åñëè ìîìåíò íåäîñòèæèì, òî òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü:t∗1 = inf{t1 | xt1 (·) ∈ M(·)}.t∗1Âî âòîðîì ñëó÷àå ( M⊂ Rn )áóäåì èñêàòü ìèíèìàëüíûé ìîìåíò âðåìåíèòàêîé, ÷òîxt∗1 (0) ∈ M,èëè, åñëè ìîìåíò íåäîñòèæèì, òî òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü:t∗1 = inf{t1 | xt1 (0) ∈ M}. ïåðâîì ñëó÷àå áóäåì îïðåäåëÿòü óíêöèîíàë öåíûV (t, x∗(·))ïî îð-ìóëàì (1.19), (1.20), (1.23), âî âòîðîì ñëó÷àå ïî îðìóëàì (1.35)-(1.37). Äàëüíåéøàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ â îáåèõ ïîñòàíîâîê áóäåò îäíîé è òîé æå.Èç îïðåäåëåíèÿ óíêöèîíàëà öåíû ñëåäóåò, ÷òî ìèíèìàëüíûé ìîìåíò âðåìåíèt∗1ïîïàäàíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùåå öåëåâîå ìíîæåñòâî ìîæíî íàéòè, ðå-øèâ ýêñòðåìàëüíóþ çàäà÷ó ïîèñêà òî÷íîé íèæíåé ãðàíè âñåõ ìîìåíòîâ âðåìåíèt1 ,òàêèõ, ÷òîV (t, x∗(·) | t1 , V (t1, ·)) = 0 .Òî åñòüt∗1 = inf{t1 | V (t, x∗(·) | t1 , V (t1 , ·)) = 0.40Âîçìîæåí âàðèàíò ïîñòàíîâêè ñ èêñèðîâàííûì ìîìåíòîì âðåìåíèt1 ,êîãäà èç çàäàííîãî àçîâîãî ñîñòîÿíèÿ òðåáóåòñÿ ïîïàñòü â ìîìåíò âðåìåíèt1íà ìíîæåñòâîâðåìåíèt,M.òàêèõ ÷òîøèé ìîìåíò âðåìåíè ýòîì ñëó÷àå èùåòñÿ òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìîìåíòîâV (t, x∗(·) | t1 , V (t1 , ·)) = 0 .t∗ ,Òî åñòü òðåáóåìûé áëèæàé-â êîòîðûé ìîæíî íà÷èíàòü äâèæåíèå íàõîäèòñÿ èçðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷èt∗ = sup{t | V (t, x∗(·) | t1 , V (t1, ·)) = 0.Ïîñëå íàõîæäåíèÿ òðåáóåìûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèåìîæíî èñêàòü èñïîëüçóÿ âèä óíêöèîíàëà öåíû (1.25)-(1.26) äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíîãî öåëåâîãî ìíîæåñòâà, è, ñîîòâåòñòâåííî, (1.38) äëÿ öåëåâîãî ìíîæåñòâà èç ïðîñòðàíñòâàÒåîðåìà 8.æåíèè(1.25)Rn .Ïóñòü l∗ (·) ∈ H - ìàêñèìèçàòîð (åäèíñòâåííûé) â âûðà-(ñîîòâåòñòâåííî â âûðàæåíèè(1.38)äëÿ êîíå÷íîìåðíîãî öå-ëåâîãî ìíîæåñòâà), òîãäà îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå u∗ (τ ) óäîâëåòâîðÿåòâûðàæåíèþ− LB ′ (τ )St′1 (·, τ )l∗(·), u(τ ) = ρ −LB ′ (τ )St′1 (·, τ )l∗(·) P (τ )äëÿ ïî÷òè âñåõ τ ∈ [t, t1 ] .

È â ñëó÷àå îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè äàííîãîóðàâíåíèÿ u∗ (τ ) ñ íåîáõîäèìîñòüþ áóäåò îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì.1.9Ñèíòåç óïðàâëåíèéàññìîòðèì çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ. Èç íà÷àëüíîé ïîçèöèèt0 , x0(·)òðåáóåòñÿ ïîïàñòü â öåëåâîå ìíîæåñòâîM(·) , êîòîðîåìîñòè îò ïîñòàíîâêè, ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ïðîñòðàíñòâàHâ çàâèñè-èëèRn .Òî41åñòü òðåáóåòñÿ íàéòè óíêöèþU (t, x∗(·)) ,çàâèñÿùóþ îò òåêóùåé ïîçèöèè,òàêóþ, ÷òî ïîñëå ïîäñòàíîâêè åå â óðàâíåíèå (1.4), ïîñëåäíåå áóäåò èìåòü ðåøåíèå, êîòîðîå áóäåò óäîâëåòâîðÿòü ñîîòâåòñòâóþùèì íà÷àëüíûì è öåëåâûìóñëîâèÿì.Òàêæå êàê è äëÿ çàäà÷è áûñòðîäåéñòâèÿ, ââèäó òîãî, ÷òî òåêóùàÿ ïîçèöèÿ â îáåèõ ïîñòàíîâêàõ ïðèíàäëåæèò áåñêîíå÷íîìåðíîìó ïðîñòðàíñòâóH,ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ñèíòåçà áóäåò îäèíàêîâà êàê äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíîãîöåëåâîãî ìíîæåñòâà, òàê è äëÿ êîíå÷íîìåðíîãî.

àçëè÷íûìè áóäóò çíà÷åíèÿ óíêöèîíàëîâ öåíû è êðàåâûå óñëîâèÿ.  òî æå âðåìÿ óðàâíåíèÿ òèïààìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà áóäóò èìåòü îäèíàêîâûé âèä. Ïîýòîìó âûðàæåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñèíòåçèðîâàííîãî óïðàâëåíèÿ áóäóò îäèíàêîâûìè âîáåèõ ïîñòàíîâêàõ.Èòàê, óðàâíåíèå (1.27) ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ñèíòåç óïðàâëåíèé:∂V(t,x(·))tU (t, xt(·)) = Arg min B ′ (t),u .∂x0u∈P (t)Çàìåòèì, ÷òî ñòðàòåãèÿ óïðàâëåíèÿU (t, xt(·))ÿâëÿåòñÿ ìíîãîçíà÷íûì îòîá-ðàæåíèåì, ïîýòîìó, óðàâíåíèå (1.4) ïðåâðàùàåòñÿ â äèåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèåẋ(τ ) ∈ A0 (τ )x(τ ) + A1(τ )x(τ − h) + B(τ )U (t, xt(·)),τ ∈ [t0, t1],(1.39)ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåõ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ óíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ åìó ïî÷òè âñþäó.Âîïðîñ î ðàçðåøèìîñòè äàííîãî äèåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ ðåøàåòñÿïîëîæèòåëüíî.Äåéñòâèòåëüíî, îòîáðàæåíèåU (t, xt(·))ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñâåð-õó [6℄, ïðèíèìàþùèì âûïóêëûå êîìïàêòíûå çíà÷åíèÿ.

Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå äèåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ ñóùåñòâóåò ([26℄). Íåïîñðåäñòâåííî ïîä-42ñòàâëÿÿ ëþáóþ ðåàëèçàöèþ äèåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ â óíêöèîíàëöåíû è èíòåãðèðóÿ ïî âðåìåíè, ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî óíêöèîíàë öåíû áóäåò ñîõðàíÿòü ñâîå çíà÷åíèå.Òàêèì îáðàçîìU (t, xt(·))ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ñèíòåçèðîâàííûì óïðàâëåíè-åì.1.10Ôóíêöèîíàë öåíû äëÿ çàäà÷è äîñòèæèìîñòèÍàëîæèì íà íà÷àëüíîå çíà÷åíèå îãðàíè÷åíèÿ:xt0 (·) ∈ X 0 (·),X 0 (·) ⊂ H.(1.40)Îïðåäåëåíèå 8.Ìíîæåñòâîì äîñòèæèìîñòè Xt [·] = Xt (·, t0 , X 0 (·)) â ìî-ìåíò t ñèñòåìû(1.4), (1.6)ïðè îãðàíè÷åíèÿõ(1.5), (1.40)áóäåì íàçûâàòüîáúåäèíåíèåXt [·] = Xt (·, t0 , X 0(·)) =âñåâîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìûîãðàíè÷åíèÿõ[{xt (·, t0, xt0 (·), u(·))}.(1.4), (1.6)(1.41)â ìîìåíò âðåìåíè t ïðè(1.5), (1.40).Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò ÷òî, äëÿ îòîáðàæåíèÿXt (·, t0, X 0 (·))ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè èëè ïîëóãðóïïîâîå ñâîé-ñòâî:Xt (·, t0, X 0 (·)) = Xt (·, τ, Xτ (·, t0, X 0 (·))),Ïóñòü çàäàíû ïàðàìåòðût0 ≤ τ ≤ t.(1.42)t ∈ [t0, t1 ] , xt(·) ∈ H , zt1 (·) ∈ H , τ ∈ [t, t1 ]ñèëüíî íåïðåðûâíûé óíêöèîíàëèϕ(·, ·) : H × H → R1 .

Ââåäåì îòîáðàæåíèå43V (t, xt(·), zt1 (·) | τ, ϕ(·, ·)) :V (t, xt(·), zt1 (·) | τ, ϕ(·, ·)) =Îïðåäåëåíèå 9.min {ϕ(xτ (·, t, xt(·), u(·)), zt1 (·))}.u(·)∈U [t,τ ](1.43)Ôóíêöèîíàë öåíû V (t, xt(·), zt1 (·)) åñòü ðåøåíèå ñëåäóþ-ùåé çàäà÷è:V (t, xt(·), zt1 (·)) = V (t, xt(·), zt1 (·) | t1 , V (t1, ·, ·)),(1.44)ñ êðàåâûì óñëîâèåìV (t1 , x∗(·), z ∗ (·)) = d2(x∗(·), z ∗(·)), x∗(·) ∈ H, z ∗ (·) ∈ H.(1.45)àññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ðàçðåøèìîñòè è ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî ýëåìåíòxt (·)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðó{x0t , x0t (·)}(ñîãëàñíî (1.1)), ïîëó÷àåì ñëåäóþ-ùèå óòâåðæäåíèÿ.Òåîðåìà 9.Îáëàñòü äîñòèæèìîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíî-æåñòâà óðîâíÿ óíêöèîíàëà öåíû[Xt1 [·] =xt0 (·)∈X0 (·)ÄëÿV (t, xt(·), zt1 (·))Òåîðåìà 10.{zt1 (·) | V (t0 , xt0 (·), zt1 (·)) ≤ 0}.(1.46)ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè.Îòîáðàæåíèå V (t, xt(·), zt1 (·)) óäîâëåòâîðÿåò ïîëóãðóïïî-âîìó ñâîéñòâó:V (t, xt(·), zt1 (·)) =min {V (τ, xτ (·, t, xt(·), u(·)), zt1 (·))}, ïðè t0 ≤ t ≤ τ ≤ t1 .u(·)∈U [t,τ ]Äàííîå ñâîéñòâî ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:V (t, xt(·), zt1 (·) | t1 , V (t1 , ·, ·)) == V (t, xt(·), zt1 (·) | τ, V (τ, ·, · | t1 , V (t1, ·, ·))), t ≤ τ ≤ t1 .44Óðàâíåíèå àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂V (t, xt(·), zt1 (·))+∂t∂V (t, xt(·), zt1 (·)), A0(t)xt(0) + A1(t)xt(−h) + B(t)u ++ min∂x0tu∈P (t)∂V (t, xt(·), zt1 (·)) dxt (τ )+,= 0, t ∈ [t0 , t1),∂x0t (·)dτñ êðàåâûì óñëîâèåìV (t1, xt1 (·), zt1 (·)) = d2 (xt1 (·), zt1 (·)).Ïðè ýòîì, êàê è â ñåêöèè 1.4, ñîîòâåòñòâóþùèé óíêöèîíàë öåíû ìîæíîâûïèñàòü ïðè ïîìîùè ìåòîäîâ âûïóêëîãî àíàëèçà.

Ïîëó÷àåì,V (t, xt(·), zt1 (·)) = max { LSt′1 (·, t)l(·), xt(0) −l(·)∈H−+Rtt−hãäå îïåðàòîðRt1tρ −LB ′(τ )St′1 (·, τ )l(·) P (τ ) dτ +(1.47)hLA′1(τ + h)St′1 (·, τ + h)l(·), xt(·)idτ − hl(·), zt1 (·)i−−1/4hl(·), l(·)i},Lîïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì ((1.3)).Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ è ïðîâåðêè ïðîâîäÿòñÿ àíàëîãè÷íî ñåêöèÿì 1.5,1.6.Òàêæå çàìåòèì, ÷òî îáúåäèíåíèå ïî ìíîæåñòâó íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé ââûðàæåíèå äëÿ ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè (1.46) ìîæíî âíåñòè â âûðàæåíèåäëÿ óíêöèîíàëà öåíû:V0 (t0 , X0(·), zt1 (·)) =inf{V (t0 , xt0 (·), zt1 (·))}.xt0 (·)∈X0 (·) ýòîì ñëó÷àåXt1 [·] =[{zt1 (·) | V0 (t0, X0 (·), zt1 (·)) ≤ 0}.451.11Ôóíêöèîíàë öåíû äëÿ çàäà÷è äîñòèæèìîñòè: êîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àéÌîæíî ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåRn , êîãäà íóæíî çíàòü òîëüêî çíà÷åíèå ñèñòåìû â òåêóùèé ìîìåíòáåç ïðåäûñòîðèè.