Диссертация (Эллипсоидальные методы в решении задач достижимости и синтеза управлений для систем с запаздыванием), страница 9

Îáîáùåí ðåçóëüòàò [25℄ íà ñëó÷àé ñèñòåìû ñ óïðàâëåíèåì.àññìîòðèì ëèíåéíóþ óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìó ñ çàïàçäûâàíèåì (1.4)-(2.1)íà îòðåçêå[t0 , t1]ñ îãðàíè÷åííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåìkx0(·)k ≤ K1.(3.10)Óïðàâëåíèå áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûì äëÿku(τ )k ≤ K2 ,ãäååñëèτ ∈ [t0, t1 ] :u(τ ) ∈ P (τ ), τ ∈ [t0, t1 ](3.11)P (τ ) íåïðåðûâíàÿ ïî ìåòðèêå Õàóñäîðà óíêöèÿ, çíà÷åíèÿìè êîòîðîéÿâëÿþòñÿ âûïóêëûå êîìïàêòû â ïðîñòðàíñòâåRn .Èçâåñòíî [25℄, ÷òî ñèñòåìó (1.4)-(2.1) ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ñèñòåìîé76îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:ẏ0 (t) = A0(t)y0(t) + A1(t)ym(t) + B(t)u(t),ẏ1 (t) =mh (y0 (t)− y1 (t)),(3.12)...ẏm (t) =ãäåmh (ym−1 (t)− ym (t)),yi (t) ∈ Rn , i = 0, 1, ..., m .Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä:y0 (t0 ) = x0(0), yi(t0 ) =mh(−i+1)h/mZx0(τ )dτ, i = 1, 2, ..., m.(3.13)−ih/mÂâåäåì îáîçíà÷åíèåy(t) ∈ Rnm :y(t) = (y0(t), y1(t), ..., ym(t))(3.14)Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà (äëÿ ñèñòåìû áåç óïðàâëåíèÿ) [25℄ :Òåîðåìà 30.Äëÿ ëþáûõ ε > 0 , δ > 0 ñóùåñòâóåò ÷èñëî M(ε, δ) òà-êîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî m > M(ε, δ) ðàâíîìåðíî ïî âñåì íà÷àëüíûì óíêöèÿìx0(·) , óäîâëåòâîðÿþùèì ñîîòâåòñòâåííî(3.10), (3.11)áóäåò âûïîëíÿòüñÿñîîòíîøåíèåkx(t − ih/m) − yi (t)kC[t0+h+δ,t1] < ε, i = 0, 1, ..., m.(3.15)Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî åñëè[t0, t1 ] ,ëþáîãîòî åñòü äëÿ ëþáûõm > M(ε)y0 (·)ε > 0,ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ êñóùåñòâóåò ÷èñëîM(ε)x(·)íà îòðåçêåòàêîå, ÷òî äëÿðàâíîìåðíî ïî âñåì íà÷àëüíûì óíêöèÿìx0(·) ,óäîâëå-òâîðÿþùèì ñîîòâåòñòâåííî (3.10), (3.11) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåkx(t) − y0 (t)kC[t0 ,t1 ] < ε(3.16)77ε > 0, δ > 0òî äëÿ ëþáûõm > M(ε, δ)ñóùåñòâóåò ÷èñëîM(ε, δ)òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãîðàâíîìåðíî ïî âñåì íà÷àëüíûì óíêöèÿìx0 (·) , óäîâëåòâîðÿþ-ùèì ñîîòâåòñòâåííî (3.10), (3.11) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåkx(t − ih/m) − yi (t)kC[t0 +h+δ,t1] < ε, i = 0, 1, ..., m.Äëÿ óïðîùåíèÿ âûêëàäîê ïîëîæèìt0 = 0 .(3.17)Ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòå-ìû (3.12) ïîëó÷àåì â ÿâíîì âèäå (ïî îðìóëå Êîøè äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìûñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè) âûðàæåíèÿ äëÿçàâèñÿùèå îò óíêöèèyi(·)äëÿi = 1, ..., m÷åðåçy0(·) .Ztmmiy0 (τ )(t − τ )i−1e− h (t−τ ) dτ +yi (t) = ih (i − 1)!0i−kPim(mh t)e− h t = Ii1 (t) + Ii2 (t).+ k=1 yk (0) (i−k)!Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîåδ0 > 0è áóäåì ðàññìàòðèâàòü(3.18)t > δ0 .àññìîòðèì ñëåäóþùèå âåëè÷èíû, ïðèñóòñòâóþùèå âî âòîðîì ñëàãàåìîì:i−k(mh t), k = 1, ..., i.(i − k)!Çàìåòèì, ÷òî ìàêñèìóì ïîòî æå ñàìîå,t≥âåëè÷èíîé ïðèkýòèõ âåëè÷èí â ñëó÷àå, êîãäàim h ) äîñòèãàåòñÿ ïðèk = 0.k=1Äåéñòâèòåëüíî, ïðèmht≥iè ìîæåò áûòü îãðàíè÷åí ñâåðõók≥1ñïðàâåäëèâîi−k+1i−ki−k(m(m(m(mh t)h t)h t)h t)=×≥.(i − k + 1)! (i − k)! (i − k + 1) (i − k)!Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ îöåíêó≤iXm i−k( h t)−mt2e h ≤kIi (t)k = yk (0)(i − k)!k=1!Z0iiiX(mt)(mmm−hthh t) − mee htkx0(τ )kdτ=kyk (0)k(i)!h(i)!k=1(èëè, ÷òî−ih/m78x0(·)Ïóñòü íîðìà íà÷àëüíûõZ0îãðàíè÷åíà íåêîòîðîé êîíñòàíòîéKkx0(τ )kdτ + kx0(0)k ≤ K.(3.19)−hÒîãäà ïðîäîëæàÿ öåïî÷êó íåðàâåíñòâ ïîëó÷àåìmhZ0it)i − m t(mm (mth t) − mhe h ≤Ke hkx0(τ )kdτ(i)!h (i)!−ih/mÇàèêñèðóåìèêñèðîâàííîìα ∈ (0, 1] .mòàêèåÏðè ýòîì äëÿ âñåõ òàêèõi,iÏóñòü÷òît = αh + δ ,i/m ≤ α .ãäåδ ≥ δ0 .È ðàññìîòðèì ïðè ýòîì ñëó÷àå âûïîëíåíît≥ih.mñïðàâåäëèâà îöåíêài[αm]mm (mm (mth t) − mh t)hee− h t≤KKh (i)!h [αm]!È òàê êàê[αm]ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè ñòðåìëåíèèmê áåñêîíå÷íî-ñòè, òî äëÿ âûðàæåíèÿ àêòîðèàëà ìîæíî ïðèìåíèòü îðìóëó Ñòèðëèíãà.Ïîëó÷àåì[αm][αm](mm (mmt−m−mh t)h t)hh t = {t = αh + δ} =pK=Keeh [αm]!h [αm][αm] 2π[αm]e−[αm]+θ[αm]m[αm]) − h (αh+δ)(meKmh (αh + δ))= p≤×([αm][αm] e−[αm])h 2π([αm]eθ[αm]m(αm+1) − h (αh+δ)e(mKmh (αh + δ))=≤ p×(αm − 1)(αm−1)e−(αm+1)h 2π(αm − 1)eθ[αm] !mδδ α112Kme α + h (αm − 1)1 + αh(α − m )p=××αmδ11 − αmeθ[αm]h 2π(αm − 1)ehÒàê êàê óðàâíåíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè, òîìîæíî îãðàíè÷èòü ñâåðõó âåëè÷èíîéδt1 .Ïåðâûé ìíîæèòåëü â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè èìååò ïîðÿäîê ðîñòà ïðèñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ðàâíûìm2,5ðàâíîìåðíî ïî âñåìmδ ∈ [δ0, t1] .79Âòîðîé ìíîæèòåëü ñòðåìèòñÿ ê ÷èñëóαe .Òðåòèé ñîìíîæèòåëü ìîæíî îãðà-δ ∈ [δ0, t1]íè÷èòü ñâåðõó ðàâíîìåðíî ïî âñåìïîêàçàòåëüíîé óíêöèé ñ ïî-êàçàòåëåì ìåíüøå åäèíèöû.

Äåéñòâèòåëüíî,1+δ ααhδeh!1+≤ !δ0 ααhδ0eh<1 ÷åì íåñëîæíî óáåäèòüñÿ ïîñ÷èòàâ ïðîèçâîäíóþ ëåâîé ÷àñòè ïîδαh1+δehα ! ′δe h (1 +=δ α−1(1αh )2 hδheδêîòîðàÿ áóäåò îòðèöàòåëüíîé ïðè−1−δαh )δ=e h (1 +δ,δ α−1δ(− αh)αh )2 hδ(3.20)heδ > 0:Ñîîòâåòñòâåííî ïðîèçâåäåíèå âñåõ òðåõ ñîìíîæèòåëåé áóäåò ñòðåìèòüñÿ êíóëþ ïðèmñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ðàâíîìåðíî ïîÒàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåëñóùåñòâóåò ÷èñëîM(ε, δ0, α)áûõm > M(ε, δ0, α)÷òîkIi2 (t)k < εòàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãîäëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõi,δ ∈ [δ0, t1] .ε > 0 , δ0 > 0 , α > 0t ∈ (αh + δ0 , t1] , äëÿòàêèõ, ÷òîi ≤ αmëþ-ñëåäóåò,ðàâíîìåðíî ïî âñåì íà÷àëüíûì ðàñïðåäåëåíèÿì óäîâëåòâî-ðÿþùèì (3.19).àññìîòðèì ïåðâîå ñëàãàåìîå â (3.18).Ii1 (t) =Çàèêñèðóåìim− 1)!hi (iZt0my0 (τ )(t − τ )i−1e− h (t−τ ) dτ =α0 ∈ (0, 1] . Ïóñòü t = α1 h + δ ,È ðàññìîòðèì ïðè èêñèðîâàííîìâî-ïåðâûõ, ÷òî ëþáîé èíäåêñα ∈ [α0 , α1 ] .Ïðè ýòîìiãäåZty0 (τ )I˜i1(τ )dτ01 ≥ α1 ≥ α0 , δ ≥ δ0 .m òàêèå i , ÷òî α0 ≤ i/m ≤ α1 .

Çàìåòèììîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåαm = [αm] − κm ,ãäåi = [αm] ,ãäåκm ∈ [0, 1) .àññìîòðèì óíêöèþ ñòîÿùóþ ïîä èíòåãðàëîìI˜i1(τ ) =m(αm−κm )(αm−κm −1) − m(αh+δ−τ)e h (α1 h+δ−τ ) =1(αm−κ)m (αm − κhm − 1)!(3.21)80= {ïðèìåíÿåìîðìóëó Ñòèðëèíãà}=mαm hκm= αm κ ×h m mm(αm − κm )e(αm−κm −θ[αm])p×(α1h + δ − τ )(αm−κm −1)e− h (α1 h+δ−τ ) =(αm − κm )(αm−κm ) 2π(αm − κm )mαm (αm)eαm(αh+δ−τ)(αm) − m√=×(α1h + δ − τ )e h 1αm(αm)h (αm)2παm!√κm(αm)−κm −θαm(αm − κm) αmeh(αm)p×(α1 h + δ − τ )(−κm −1) =κm m (αm) 2π(αm − κm )(αm − κm )(αm−κm )α m(α1 −α)h+δ−τrαhαm  1 + ×(α1 −α)h+δ−τ2πheαm−κm√hκm (αm − κm ) αm −κm −θαmκm√× κm(αm)κm ×e1+m (αm) αm − κmαm − κm(−κm −1)(α1 − α)h + δ − τ(αh)(−κm −1) =× 1+αhα m(α1 −α)h+δ−τrαh1m  1+ ×=(α1 −α)h+δ−τh 2παheαm−κm√κm(αm − κm ) αm −κm −θαm√×e1+×αm − κm(αm) αm − κm(−κm −1)(α1 − α)h + δ − τ× 1+αhδ1Çàèêñèðóåì íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëîmin{δ0, α0 h} > δ1 > 0 .αZ1 h+δ0òàêîå, ÷òîÒîãäà èíòåãðàë ìîæíî ðàçáèòü íà òðè èíòåãðàëà.=α1 h+δ−αh−δ1Z+0α1 h+δ−αh+δ1Zα1 h+δ−αh−δ1+αZ1 h+δα1 h+δ−αh+δ181Îöåíèì ïî ìîäóëþ ïåðâûé è òðåòèé èíòåãðàëû.

Òàê êàêîãðàíè÷åíà ïðè âñåõτ ∈ [0, t1]èmíåêîòîðîé êîíñòàíòîéãðàëüíàÿ óíêöèÿ ðàâíîìåðíî ïðè âñåõδ > δ0è ïðè âñåõy0 (τ )ðàâíîìåðíîK0 ,òî ïîäûíòå-α ∈ [α0α1 ]ìîæåòáûòü îöåíåíà â êàæäîì èç äâóõ ñëó÷àåâ ïðîèçâåäåíèåì ïîêàçàòåëüíîé óíêöèåé ñ îñíîâàíèåì ìåíüøå åäèíèöû (îöåíèâàåì ñêîáêó â ïåðâîì ñîìíîæèòåëåñîãëàñíî (3.20)) è ïîëèíîìà.

Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè äâà èíòåãðàëà ðàâíîìåðíîñõîäÿòñÿ ê íóëþ.Âòîðîé æå èíòåãðàë ìîæíî ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü êâåëè÷èíåòî÷êåy0(α1 h + δ − αh) .Äåéñòâèòåëüíî, ðàçëîæèâ ïî îðìóëå Òåéëîðà âα1 h + δ − αh âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ïåðâîì ìíîæèòåëå ïîëó÷àåì !mτ α21 − αhτ2− hτ2 2α2 m+o(τ))=(e+ o(τ 2 ))m=(1−− hτ2h 2αeÒîãäà äëÿ ëþáîãîε>0ìîæíî íàéòè òàêîåδ1 ,÷òî äëÿ ëþáîãîτ ∈ [−δ1, δ1]óíêöèþ â ñêîáêå ìîæíî ðàâíîìåðíî îöåíèòü ñâåðõó è ñíèçó:2− (1−ε)τ2 h2 2αe≤τ1 − αhτe− hα !2− (1+ε)τ2 h2 2α≤e(3.22)Òàêèì îáðàçîì, ïðåäåë âòîðîãî èíòåãðàëà áóäåò ëåæàòü â äèàïàçîíå[(1 − ε)y0(ξ), (1 + ε)y0(ξ)] ,ãäå òî÷êàξδ1 -îêðåñòíîñòèëåæèò âòî÷êèα1 h +δ − αh .Îñòàëîñü ðàññìîòðåòüi ∈ [1, [α0m]] .

Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î ñðåäíåì ïîëó÷à-åì, è èíòåãðèðóÿ âûðàæåíèå äëÿ âû÷èñëåíèÿyi÷åðåçyi−1ïîëó÷àåì, ÷òî íîðmìû ñîñåäíèõ óíêöèé îòëè÷àþòñÿ íà âåëè÷èíó íå ïðåâîñõîäÿùóþÒàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îáåñïå÷èòü äëÿ âñåõäðóãà íà âåëè÷èíóεyiíóæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáûmα0 mKe− h δ0 < ε÷òî äîñòèãàåòñÿ ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõm.Ke− h δ0 .÷òîáû îíè îòñòîÿëè äðóã îò82Òàêèì îáðàçîì ñíà÷àëà èêñèðóåìïðèáëèæàåòñÿ êα0 hëèâà îöåíêà (3.22).

Òàêæåmïðè êîòîðîéy0m òî÷íîñòüþ äîy0 . Ïîñëå èêñèðóåòñÿ α0 y0(x1)−y0(x2) < εÏîñëå ýòîãî èêñèðóåìâ ïðåäåë ïîM0δ1δ1 : min{δ0, α0 h} > δ1 > 0ïðèεkx1 −x2| <äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåä-áåðåòñÿ òàêèì, ÷òîáû ñîìíîæèòåëè íå âõîäÿùèåáûëè áëèçêè ê 1 ñ òî÷íîñòüþ äîε . Ïîñëå îïðåäåëÿþòñÿ âñå Mè áåðåòñÿ ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèÿ ÷òîáû âñå èíòåãðàëû ñõîäèëèñü ñ òðåáóåìîéòî÷íîñòüþ.àññìîòðèì èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì è àïïðîêñèìèðóþùåé åå ñèñòåìû.x(t) = x(0) +ZtA0(τ )x(τ )dτ +0y0(t) = y0 (0) +Zt0ZtA0 (τ )y0(τ )dτ +0Ïóñòüt > h.A1 (τ )x(τ − h)dτ +ZtB(τ )u(τ )dτZtZtB(τ )u(τ )dτA1 (τ )ym(τ )dτ +000Òîãäà â ïåðâîì óðàâíåíèè âòîðîé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòèìîæíî âûðàçèòü ñëåäóþùèì îáðàçîìZt0A1 (τ )x(τ − h)dτ =Zh0A1(τ )x0(τ − h)dτ +ZtA1 (τ )x(τ − h)dτ.hÑîîòâåòñòâóþùèé èíòåãðàë â àïïðîêñèìèðóþùåì óðàâíåíèè:ZtA1(τ )ym (τ )dτ =0ZhA1(τ )ym (τ )dτ +0t ∈ [0, t1]èm,òî óíêöèèíîìåðíî ëèïøèöåâû ïðè âñåõmA1 (τ )ym(τ )dτhÇàìåòèì, ÷òî òàê êàê óíêöèèâñåõZtym (t)y0 (t)áóäóò ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû ïðèáóäóò ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû è ðàâ-íà ìíîæåñòâåt ∈ [0t1] .Ïîýòîìó äëÿ ëþáûõ83ε > 0, δ > 0ïðèt>h+δñëåäóåòym (t) = y0 (t − h) + o1 (t),àññìîòðèì âûðàæåíèå äëÿ+k=1ko1(t)k < ε.ym (t) .mmym (t) = mh (m − 1)!mXãäåZt0my0 (τ )(t − τ )m−1e− h (t−τ ) dτ +(3.23)m−k(mm12h t)yk (0)(t) + Im(t).e− h t = Im(m − k)!àññìîòðèì ïåðâûé èíòåãðàë1Im(t) = {îðìóëà Ñòèðëèíãà} =m−1Ztt−τmt − τ 1− t−τe h=√e1− h dτy0 (τ )h2πmheθm0Ïðèt < h−δâûðàæåíèå ñòîÿùåå â ñêîáêàõ ïîä èíòåãðàëîì ìîæíî îöåíèòüñâåðõó âåëè÷èíîé ñòðîãî ìåíüøå åäèíèöû:t − τ 1− t−τe hh<1Ïîýòîìó âñå âûðàæåíèå ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê íóëþ.