Диссертация (Эллипсоидальные методы в решении задач достижимости и синтеза управлений для систем с запаздыванием), страница 7

Îñíîâíîå ñîäåðæàíèå äàííîéãëàâû îïóáëèêîâàíî â ðàáîòå [61℄.2.1Ñèñòåìààññìîòðèì ëèíåéíóþ óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìó ñ çàïàçäûâàíèåì (1.4)-(1.6)íà îòðåçêå[t0 , t1] .Óñëîâèå (1.6) çàïèøåì äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî íà÷àëüíîãî âðåìåíè:xt0 (·) = x0(·).åøåíèåx(t)(2.1)äàííîé ñèñòåìû âûïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:x(t) = S(t, t0)x0(t0) ++Rt0RtS(t, τ )B(τ )u(τ )dτ +t0(2.2)0S(t, τ + h)A1(τ + h)x (τ )dτ,t0 −håøåíèå ñèñòåìû (1.4), (1.6) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, êàê âåêòîðíóþ óíêöèþâðåìåíèτ ∈ [t0 − h, t1] .x(τ ) ,îïðåäåëåííóþ â êàæäûé ìîìåíòòàê è â ïðîñòðàíñòâåH.54Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìó íàõîæäåíèÿ îáëàñòåé äîñòèæèìîñòè äàííîé ñèñòåìû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â äâóõ ïîñòàíîâêàõ - êîíå÷íîìåðíîé è óíêöèîíàëüíîé (ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëåíèÿ äàíû íèæå). Öåëü äàííîé ãëàâû- ïîëó÷èòü èñ÷åðïûâàþùèå âíóòðåííèå ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè ìíîæåñòâàäîñòèæèìîñòè â êîíå÷íîìåðíîì è áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâàõ íà èíòåðâàëå âðåìåíèðåêóððåíòíî ïî2.2t ∈ [t0, t1]t,è îïðåäåëèòü, êàêèå èç íèõ ìîæíî âû÷èñëÿòüòåì ñàìûì óìåíüøàÿ îáúåì òðåáóåìûõ âû÷èñëåíèé.Êîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àé2.2.1Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòèÍàëîæèì íà óïðàâëåíèå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ:ãäåX 0 (·)u(τ ) ∈ E(q(τ ), Q(τ )) ïðè τ ∈ [t0 , t1],(2.3)x0(·) ∈ X 0 (·),(2.4)- íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâàÎïðåäåëåíèå 16.H.Ìíîæåñòâîì äîñòèæèìîñòè X[t] = X(t, t0 , X0 (·)) âìîìåíò t ñèñòåìû(1.4), (1.6)ïðè îãðàíè÷åíèÿõ(2.3), (2.4)íàçûâàåòñÿîáúåäèíåíèåX[t] = X(t, t0 , X 0(·)) =âñåâîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìûíèÿõ[{x(t, t0, x0(·), u(·))}(1.4), (1.6)â ìîìåíò t , ïðè îãðàíè÷å-(2.3), (2.4). äàëüíåéøåì, îãðàíè÷åíèå (2.4) ïîëàãàåì ñëåäóþùèì:x0(τ ) ∈ E(x0(τ ), X0(τ )), τ ∈ [t0 − h, t0 ].(2.5)55Èç (2.2) ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåñóììû ýëëèïñîèäà è èíòåãðàëîâ îò ýëëèïñîèäîâ:Òåîðåìà 13.Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ìíîæåñòâà äîñòè-æèìîñòè:X[t] = x∗(t) + S(t, t0)E(0, X0(t0)) ++Rt0RtS(t, τ )B(τ )E(0, Q(τ ))dτ +t0(2.6)S(t, τ + h)A1(τ + h)E(0, X0(τ ))dτ,t0 −hãäåx∗(t) = S(t, t0)x0(t0 ) ++Rt0RtS(t, τ )B(τ )q(τ )dτ +t0(2.7)S(t, τ + h)A1(τ + h)x0(τ )dτ.t0 −hÏðèìåíÿÿ ñòàíäàðòíûå ìåòîäû âûïóêëîãî àíàëèçà (ñì., íàïð., [56℄, ñ.14),ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ îïîðíîé óíêöèè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè:Òåîðåìà 14.Îïîðíàÿ óíêöèÿ ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè âûðàæàåò-ñÿ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:+ρ(l|X[t]) =< l, x∗(t) > + < l, S(t, t0)X0(t0)S ′ (t, t0)l >1/2 +Rt+ < l, S(t, τ )B(τ )Q(τ )B ′(τ )S ′(t, τ )l >1/2 dτ +Rt0t0(2.8)< l, S(t, τ + h)A1(τ + h)X0 (τ )A′1(τ + h)S ′ (t, τ + h)l >1/2 dτ,t0 −hãäå x∗ (t) çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì(2.7).Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:Òåîðåìà 15.Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè X[t] åñòü âûïóêëûé êîìïàêòâ Rn , è èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî ïî t .562.2.2Âíóòðåííèå îöåíêèÈñïîëüçóÿ àïïàðàò âíóòðåííåãî ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ ([57℄, ñ.204)è ïðåäñòàâëåíèå (2.6), ìîæíî âûâåñòè ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:Òåîðåìà 16.Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè X[t] åñòü îáúåäèíåíèå ýëëèï-ñîèäîâ ïî âñåâîçìîæíûì T (·) , T0 , T0 (·) :X[t] =äå[{E(x−(t), X −(t))|T (·), T0, T0(·)}.X − (t) = Q∗ (t)′Q∗ (t),∗Q (t) =Rt0t0 −h1/2T0 (τ )X0 (τ )A′1(τ + h)S ′ (t, τ + h)dτ +1/2+T0 (t0)X0 (t0)S ′ (t, t0)+Rt(2.9)T (τ )Q1/2′′(τ )B (τ )S (t, τ )dτ,t0T0 (·) , T (·) - ëþáûå èçìåðèìûå ïî Ëåáåãó óíêöèè, çíà÷åíèÿìè êîòîðûõÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû â Rn×n :T0′ (τ )T0(τ ) = I, τ ∈ [t0 − h, t0], T ′ (τ )T (τ ) = I, τ ∈ (t0, t].Öåíòð ýëëèïñîèäà x− (t) ñîâïàäàåò ñ x∗ (t) èç âûðàæåíèÿ(2.7),òî åñòüÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìûẋ−(τ ) = A0(τ )x−(τ ) + A1(τ )x−(τ − h) + B(τ )q(τ ),x−(τ ) = x0(τ ),Èç (2.9) ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöàQ∗(t)τ ∈ [t0, t],τ ∈ [t0 − h, t0 ].(2.10)(2.11)ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåãî äè-åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì:Q̇∗(τ ) = Q∗(τ )A′0(τ ) + Q∗ (τ − h)A′1 (τ ) + T (τ )Q1/2(τ )B ′ (τ ), τ ∈ [t0, t],(2.12)57ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ1/2Q∗ (τ ) = T0 (τ )X0 (τ ),τ ∈ [t0 − h, t0].Ñîîòâåòñòâåííî äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿX − (t)(2.13)ïðèìåò âèä:Ẋ − (τ ) = A0 (τ )X −(τ ) + X − (τ )A0(τ )′ ++A1(τ )Q∗(τ − h)′ Q∗ (τ ) + Q∗(τ )′ Q∗(τ − h)A1(τ )′++Q∗(τ )′T (τ )Q1/2(τ )B(τ )′ + B(τ )Q1/2(τ )T (τ )′Q∗ (τ ),(2.14)τ ∈ [t0 , t],ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõX − (τ ) = X0 (τ ), τ ∈ [t0 − h, t0 ].Âûáîðîì ìàòðèö(2.15)T0(·) è T (·) ([57℄, ñ.204) ìîæíî äîáèòüñÿ ñîâïàäåíèÿ îïîð-íûõ óíêöèé ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè è âíóòðåííåé îöåíêè äëÿ ëþáîãî çàðàíåå èêñèðîâàííîãî âåêòîðàlèçRn :Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà l ∈ Rn ñóùåñòâóþò óíêöèè T0 (·) èÒåîðåìà 17.T (·) òàêèå, ÷òîρ(l|X[t]) = ρ(l|E(x−(t), X −(t))).ÈñêîìûåT0(·)èT (·)(2.16)íàõîäÿòñÿ, èñõîäÿ èç ñëåäóþùèõ óðàâíåíèé:1/21/2T0(t0 )X0 (t0)S ′ (t, t0)l = λ(ξ)T0(ξ)X0 (ξ)A′1(ξ + h)S ′ (t, ξ + h)l == λ(τ )T (τ )Q1/2(τ )B ′(τ )S ′(t, τ )l,(2.17)λ(τ ) > 0, λ(ξ) > 0, ξ ∈ [t0 − h, t0 ), τ ∈ (t0, t].Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó âåêòîðóT (l, ·)èX − (l, t) ,Òåîðåìà 18.lèçRnñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿT0 (l, ·) ,ïðè êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ (2.16).Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè åñòü îáúåäèíåíèå ýëëèïñîèäîâïî âñåâîçìîæíûì âåêòîðàì l èç åäèíè÷íîé ñåðû:X[t] =[{E(x−(t), X −(l, t))|l ∈ Rn : klk = 1}.58Ïîñêîëüêó âåëè÷èíûT0 (·)èT (·)â îáùåì ñëó÷àå çàâèñÿò îò t, äëÿ âû÷èñ-ëåíèÿ âíóòðåííèõ îöåíîê â äðóãîé ìîìåíò âðåìåíè, òðåáóåòñÿ çàíîâî ðåøàòüñèñòåìó (2.12)-(2.13).2.2.3ÏðèìåðÏðîèëëþñòðèðóåì ãðàè÷åñêè îðìóëû äëÿ îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè.

àññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð:A0 = 100 −1 , A1 = X0 (τ ) = 411 0.5−1 001, Q = 1 00 10, B = 1 00 1, , τ ∈ [t0 − h, t0 ], t0 = 0, t1 = 1, n = 2.È ÷åòûðå ñëó÷àÿ, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà âåëè÷èíîé çàïàçäûâàíèÿh: h=0, h=0.01, h=0.1, h=0.3.èñóíêè äåìîíñòðèðóþò âíóòðåííèå ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè ìíîæåñòâàäîñòèæèìîñòè â ìîìåíòt = t1 ,ïîëó÷åííûå ïî îðìóëàì (2.12), (2.13)) è(2.17), è ñîîòâåòñòâóþùèå îïîðíûå ïëîñêîñòè, ïîëó÷åííûå èç îðìóëû (2.8).Ïðîäåìîíñòðèðîâàíî âëèÿíèå âåëè÷èíû çàïàçäûâàíèÿ íà ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè.2.3Ôóíêöèîíàëüíûé ñëó÷àé2.3.1Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòèàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà (1.4), (2.1) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (2.3), (2.4).Îïðåäåëåíèå 17.ñèñòåìûÏîä ðåøåíèåì (èëè ñîñòîÿíèåì) xt(·) = xt (·, t0 , x0(·), u(·))(1.4), (2.1)â óíêöèîíàëüíîì ñìûñëå â òî÷êå t áóäåì ïîíèìàòü59h=0h = 0.01h = 0.1h = 0.360ðåøåíèå ñèñòåìû x(τ ) íà îòðåçêå [t − h, t] ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ íà÷àëü-íîì óñëîâèè x0 (·) è óïðàâëåíèè u(·) .Çàìå÷àíèå. äàëüíåéøåì, ÷òîáû íå óñëîæíÿòü çàïèñü, ñ÷èòàåì, ÷òît ≥ t0 + h .

Ñëó÷àé t < t0 + h ðàññìàòðèâàåòñÿ ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå, ðàçáèâàÿ îòðåçîê [t − h, t] íà äâà: [t − h, t0 ] è [t0 , t] , ñ ðàññìîòðåíèåì ðåøåíèÿxt (·) íà êàæäîì èç íèõ.Íåïîñðåäñòâåííî èç (2.2) è (1.10) ñëåäóåò âûðàæåíèå äëÿ óíêöèèxt (·) = St (·, t0)x0(t0) ++Rt0Rtxt (·) :St (·, τ )B(τ )u(τ )dτ +t0(2.18)St (·, τ + h)A1 (τ + h)x0(τ )dτ,t0 −hãäåSt (·, ξ) = {S(τ, ξ), τ ∈ [t − h, t]}.Îïðåäåëåíèå 18.Ìíîæåñòâîì äîñòèæèìîñòè Xt [·] = Xt (·, t0 , X 0 (·)) âóíêöèîíàëüíîì ñìûñëå â ìîìåíò t ñèñòåìû(2.3), (2.4)(1.4), (2.1)ïðè îãðàíè÷åíèÿõíàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèå[Xt [·] = Xt (·, t0, X (·)) = {xt (·, t0, x0(·), u(·))}0âñåâîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé â óíêöèîíàëüíîì ñìûñëå ñèñòåìûìîìåíò t , ïðè îãðàíè÷åíèÿõ(1.4), (2.1)â(2.3), (2.4).Íåïîñðåäñòâåííî èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:Òåîðåìà 19.Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè óäîâëåòâîðÿåò ïîëóãðóïïîâî-ìó ñâîéñòâó:Xt (·, t0, X 0 (·)) = Xt (·, τ, Xτ (·, t0, X 0 (·))),t0 ≤ τ ≤ t.61 äàëüíåéøåì, îãðàíè÷åíèå (2.4) ïîëàãàåì (2.5).Íåïîñðåäñòâåííî èç (2.18) ñëåäóåò âûðàæåíèå äëÿ ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòèXt [·] :Òåîðåìà 20.Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ìíîæåñòâà äîñòè-æèìîñòè:X[t] =x∗t (·)++ St (·, t0)E(0, X0(t0)) +Rt0RtSt (·, τ )E(0, Q(τ ))dτ +t0(2.19)St (·, τ + h)A1(τ + h)E(0, X0(τ ))dτ,t0 −hãäåx∗t (·) = St (·, t0)x0(t0) +ZtSt (·, τ )q(τ )dτ +t0Zt0St (·, τ + h)A1 (τ + h)x0 (τ )dτ.t0 −h(2.20)Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé è ñâîéñòâ ðåøåíèé äèåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé([48℄, ñ.62, [27℄, ñ.1398) âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:Òåîðåìà 21.Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè Xt [·] åñòü âûïóêëûé êîìïàêòâ ïðîñòðàíñòâå H ïðè t > t0 + h .Ïðèìåíÿÿ ñòàíäàðòíûå ìåòîäû âûïóêëîãî àíàëèçà, ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ îïîðíîé óíêöèè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè:Òåîðåìà 22.Îïîðíàÿ óíêöèÿ ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè âûðàæàåò-ñÿ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:1/2ρ(lt (·)|Xt [·]) = hlt (·), x∗t (·)iH + hLSt′(·, t0 )lt(·), X0(t0)LSt′(·, t0)lt (·)i1/2 +Rt+ hLSt′(·, τ )lt(·), Q(τ )LtSt′ (·, τ )lt(·)i1/2 dτ ++Rt0t0 −ht0hLSt′ (·, τ + h)lt (·), A1(τ + h)X0(τ )A′1(τ + h)LSt′ (·, τ + h)lt (·)i1/2 dτ,ãäå x∗t (·) çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì(2.20),lt (·) ∈ H .62àññìîòðèì óíêöèþlt∗(·) ,çàäàííóþ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:lt∗(t) = S ′(t1 , t)l0,(2.21)lt∗(τ ) = A′1(τ + h)S ′ (t1 , τ + h)l0 , τ ∈ [t − h, t),ãäål0 ∈ Rn .çàâèñèò îò ýòîì ñëó÷àå èç (1.11) ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèåLSt′ (·, ξ)lt∗(·)íåt:LSt′ (·, ξ)lt∗(·) = S ′ (t, ξ)lt∗(t) +ZtS ′ (τ, ξ)lt∗(τ )dτ = S ′ (t1 , ξ)l0.(2.22)t−hÑëåäîâàòåëüíî,hSt′ (·, ξ)lt∗(·), aiH = hS ′ (t1, ξ)l0, ai ,äëÿ ëþáîãîa ∈ Rn .Ïîýòîìó, ìàêñèìóì â îïîðíîé óíêöèè äîñòèãàåòñÿ íà íåêîòîðîé òðàåêòîðèè ñèñòåìû íà îòðåçêå[t0, t1 ] .ñòâóþò íà÷àëüíàÿ óíêöèÿÒî åñòü, äëÿ ëþáîãî âåêòîðàl0 ∈ Rnñóùå-x0(·) , óäîâëåòâîðÿþùàÿ (2.5), è óïðàâëåíèå u(·) ,óäîâëåòâîðÿþùåå (2.3), òàêèå, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèåîíàëüíîì ñìûñëå ñèñòåìû (1.4), (2.1) íà îòðåçêåâ îïîðíîé óíêöèè â íàïðàâëåíèè[t0, t1]x̃t (·)â óíêöè-äîñòàâëÿåò ìàêñèìóìlt∗(·) :ρ(lt∗(·)|Xt [·]) = hlt∗(·), x̃t(·)iH , t ∈ [t0, t1].2.3.2Âíóòðåííèå îöåíêèÂíóòðåííèå îöåíêè ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ èíñòðóìåíò âíóòðåííåãîýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ äëÿ èíòåãðàëîâ îò ýëëèïñîèäîâ.Îïðåäåëåíèå 19.Ïîä ìíîæåñòâîì ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà E(qt(·), Qt(·)) ,ãäå qt (·) ∈ H , Qt (·) ∈ Hn×n , Qt (·) = Q′t (·) > 0 , áóäåì ïîíèìàòü âûïóêëîåçàìêíóòîå ìíîæåñòâî â ïðîñòðàíñòâå H , îïðåäåëÿåìîå îïîðíîé óíêöèåéDE 121122ρ(l(·)|E(qt(·), Qt(·))) = hl(·), qt(·)iH + LQt (·)l(·), LQt (·)l(·) , l(·) ∈ H.63Ïåðåíåñåì òåõíèêó ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ èíòåãðàëîâ îò ýëëèïñîèäîâ, èñïîëüçóåìóþ â ([57℄, .204), íà èíòåãðàëû îò ìíîæåñòâ ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà.Äëÿ ýòîãî îöåíèì ñóììó äâóõ ìíîæåñòâ ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïàE(q i(·), Qi(·)) , i = 1, 2.Òåîðåìà 23.Ïóñòü äàíû ìíîæåñòâà ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïàE(q i(·), Qi(·)) , i = 1, 2 .

Òîãäà èõ ñóììó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà ïî âñåâîçìîæíûì T1 , T2 :[E(q (·), Q (·)) + E(q (·), Q (·)) = {E(q −(·), Q−(·))|T1, T2}.1äå122Q−(·) = Q∗(·)′ Q∗(·),11Q∗t (·) = T1Q1(·) 2 + T2Q2(·) 2 .(2.23)T1 , T2 - ïðîèçâîëüíûå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû â Rn×n :Ti′Ti = I, i = 1, 2.Öåíòð q − (·) ñîâïàäàåò ñ óììîé öåíòðîâ q 1 (·) , q 2 (·) èñõîäíûõ ìíîæåñòâýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà:q − (·) = q 1 (·) + q 2 (·).Äîêàçàòåëüñòâî.