Диссертация (Эллипсоидальные методы в решении задач достижимости и синтеза управлений для систем с запаздыванием), страница 3

Íî åñëèçàìåíèòü òî÷íîå ìíîæåñòâîW[ t]êóW [t]íà åãî âíóòðåííþþ ýëëèïñîèäàëüíóþ îöåí-òî âûðàæåíèÿ ñóùåñòâåííî óïðîñòÿòñÿ. Ïðè ýòîì óïðàâëåíèå ìîæåòáûòü íàéäåíî ïî òåì æå îðìóëàì, íî ñ çàìåíîé òî÷íîãî ìíîæåñòâàåãî âíóòðåíþþ îöåíêóW [t]íàZ[t] .Ïðè ýëëèïñîèäàëüíûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà óïðàâëåíèå è öåëåâîå ìíîæåñòâîñòðîÿòñÿ âíóòðåííèå ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêèE(x−(t), X−(t)) . È íà èõ îñíî-âå ïîëó÷àþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ñèíòåçà óïðàâëåíèé.U (t, x) = Arg minu∈E(p(t),P (t)) ′B0 (t)l0, u . ñëó÷àå ýëëèïñîèäàëüíîé àïïðîêñèìàöèè ìàêñèìèçàòîðl0 , íåîáõîäèìûéäëÿ âû÷èñëåíèÿ óïðàâëåíèÿ, ìîæåò áûòü íàéäåí êàêl0 = 2λ(X−(t) + λF (t))−1(x(t) − x− (t)),F (t) = X ′ (t, t1)X(t, t1),ãäåλ åäèíñòâåííûé íåîòðèöàòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿhX− (t) + λF (t))−1(x(t) − x−(t)), X−(t)(X−(t) + λF (t))−1(x(t) − x− (t))i = 1,èëèl0 = 0 ,åñëè íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé íåò.Ïðèâåäåíû ãðàè÷åñêèå èëëþñòðàöèè ïîñòðîåíèÿ âíóòðåííèõ îöåíîê èñèíòåçà óïðàâëåíèÿ.ëàâà 1Î ìåòîäå äèíàìè÷åñêîãîïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåìÂâåäåíèåÄàííàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ïðèìåíåíèþ ìåòîäà äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ çàäà÷, îïèñûâàåìûõ ëèíåéíûìè äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ çàïàçäûâàíèåì.

Ïîäîáíûå óðàâíåíèÿ áûëè èçó÷åíû â ðàáîòàõ [36℄,[19℄, [5℄, [49℄. Çàäà÷è óïðàâëåíèÿ â òðàäèöèîííûõ è â èãðîâûõ ïîñòàíîâêàõðàññìàòðèâàëèñü â ðàáîòàõ [24℄, [27℄. Óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì òàêæå èçó÷àëèñü â [7℄, [33℄-[35℄. Îñîáåííîñòè ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ ïîðîæäåíû, êàê èçâåñòíî, óíêöèîíàëüíîé ïðèðîäîé ðåøåíèé ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì. Ïîýòîìó, ñëåäóÿ [19℄,â êà÷åñòâå òåêóùåãî àçîâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ ïàðà âåêòîð çíà-1819÷åíèÿ ðåøåíèÿ â òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè è óíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ ïðåäûñòîðèþ ðåøåíèÿ íà èíòåðâàëå, çàâèñÿùåì îò âåëè÷èíû çàïàçäûâàíèÿ.

Ñîîòâåòñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ è óíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî, íà êîòîðîì ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè íåêîòîðûõ óíêöèîíàëîâ öåíû çà ñ÷åòâûáîðà ñîîòâåòñòâóþùèõ óïðàâëåíèé. äàííîé ãëàâå ðàññìîòðåíû çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ ïðÿìûõ è ïîïÿòíûõ îáëàñòåé äîñòèæèìîñòè [28℄ äëÿ ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì, à òàêæå óêàçàíû ïóòèïîñòðîåíèÿ ñòðàòåãèé ñèíòåçà öåëåâûõ óïðàâëåíèé, ïîäâåðæåííûõ àïðèîðíûì ãåîìåòðè÷åñêèì îãðàíè÷åíèÿì. Âñëåäñòâèå ýòîãî ïðèâåäåíû ïîñòàíîâêè çàäà÷ êàê â ïðÿìîì, òàê è ïîïÿòíîì âðåìåíè. Ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿóíêöèîíàëîâ öåíû, èñïîëüçóåìûõ äëÿ ðåøåíèÿ óïîìÿíóòûõ çàäà÷. Íà îñíîâå ïðèâåäåííûõ âàðèàíòîâ ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè âûâåäåíû ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ òèïà àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà, èñïîëüçóÿ êîòîðûå, îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì íàéòè ïîçèöèîííûå ñòðàòåãèè ñèíòåçèðîâàííûõ öåëåâûõóïðàâëåíèé.

Îñíîâíîå ñîäåðæàíèå äàííîé ãëàâû îïóáëèêîâàíî â ðàáîòå [63℄.1.1Îïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿÎïðåäåëåíèå 2.Ïîä ïðîñòðàíñòâîì H áóäåì ïîíèìàòü ïðÿìîå ïðîèçâå-äåíèå ïðîñòðàíñòâ L2 ([−h, 0), Rn) è Rn :H = L2([−h, 0), Rn) × Rn , ãäå ÷èñëî h > 0.Ýëåìåíòîì ïðîñòðàíñòâàa0 (·) ∈ L2([−h, 0), Rn) ),äåëåííóþ íà îòðåçêåHÿâëÿåòñÿ ïàðà{a0 , a0 (·)} ,0ãäå ( aêîòîðóþ ìîæíî ïîíèìàòü êàê óíêöèþ∈ Rn ,a∗ (·) ,îïðå-[−h, 0] :a∗ (0) = a0 , a∗ (τ ) = a0 (τ ), τ ∈ [−h, 0).(1.1)20HÏðîñòðàíñòâîÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì, ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìha(·), b(·)iH = ha(·), b(·)iL2 [−h,0) + ha(0), b(0)i .Çäåñü ïîäft(·)áóäåì ïîíèìàòü óíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà îòðåçêå[−h, 0]èòàêóþ, ÷òîft (τ ) = f (t + τ )Äàëåå â ðàáîòå ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâàñïîñîáîâ:Ïîäa∗ (·)La∗ (·)èëèäëÿïðèHτ ∈ [−h, 0].(1.2)áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ îäíèì èç äâóõat (·) .a∗ (·) ∈ Háóäåì ïîíèìàòü âûðàæåíèå:La∗ (·) = a∗ (0) +Z0a∗ (τ )dτ,(1.3)−hè ïîäA′ ,Ïîä òðàíñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöóρ (l| M)A ∈ Rn×n.áóäåì ïîíèìàòü îïîðíóþ óíêöèÿ ìíîæåñòâàM:ρ (l| M) = sup{hl, xi |x ∈ M}.ÏîäE(q, Q) ,q ∈ Rn , Q ∈ Rn×n , Q′ = Q ≥ 0 ,ãäåëèïñîèä ñ öåíòðîìqè ìàòðèöåéQ,áóäåì ïîíèìàòü ýë-òî åñòü âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâîîïðåäåëÿåìîå îïîðíîé óíêöèåéρ (l| E(q, Q)) = hq, li + hl, Qli1/2 . ñëó÷àå íåâûðîæäåííîé ìàòðèöûQýëëèïñîèäE(q, Q)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéñëåäóþùåå ìíîæåñòâî:E(q, Q) =[x ∈ Rn | x − q, Q−1(x − q) ≤ 1 .211.2Ëèíåéíàÿ óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà ñ çàïàçäûâàíèåìàññìîòðèì ëèíåéíóþ óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìó ñ çàïàçäûâàíèåì:ẋ(τ ) = A0(τ )x(τ ) + A1(τ )x(τ − h) + B(τ )u(τ ),τ ∈ [t0 , t1],(1.4)x(τ ) ∈ Rn , h > 0, A0(·), A1(·), B(·) ∈ C([t0, t1], Rn×n),u(·) ∈ L∞ ([t0, t1], Rn ).Çäåñüu(·)åñòü óïðàâëåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå àïðèîðíîìó îãðàíè÷åíèþ:u(τ ) ∈ P (τ )ãäåïðèτ ∈ [t0 , t1],(1.5)P (τ ) íåïðåðûâíàÿ ïî ìåòðèêå Õàóñäîðà óíêöèÿ, çíà÷åíèÿìè êîòîðîéÿâëÿþòñÿ âûïóêëûå êîìïàêòû â ïðîñòðàíñòâåÎïðåäåëåíèå 3.Rn .Êëàññîì U [τ1 , τ2 ] äîïóñòèìûõ ïðîãðàììíûõ óïðàâëåíèéíàçîâåì ìíîæåñòâî óíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà L∞([τ1 , τ2 ], Rn) , óäîâëåòâîðÿþùèõ íà ýòîì îòðåçêå îãðàíè÷åíèþ(1.5).åøåíèå ñèñòåìû (1.4) áóäåì ïîíèìàòü â ñìûñëå Êàðàòåîäîðè è ðàññìàò-xτ (·) ,ðèâàòü â âèäå óíêöèèïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ âHè îïðåäåëÿåìîéâûðàæåíèåì (1.2) ([49℄).Çàèêñèðóåì íà÷àëüíóþ ïîçèöèþ{t, x∗(·)} ( t ∈ [t0, t1 ] , x∗(·) ∈ H ), à èìåí-íî,xt(τ ) = x∗(τ ),Ïîäxτ (·, t, x∗(·), u(·))(1.4)), (1.6) â ìîìåíòóïðàâëåíèèu(·) .τ(ïðèτ > t)τ ∈ [−h, 0].áóäåì ïîíèìàòü ðåøåíèå(1.6)xτ (·)ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé íà÷àëüíîé ïîçèöèèñèñòåìû{t, x∗(·)}è22Òàêîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è âûïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå([5℄, ñ.333, [49℄, ñ.51, [27℄ ñ.1400):∗xt1 (·) = x (·) + St1 (·, t)x(0) ++Rtx∗ (·) ∈ HÇäåñüt1 ≥ t + hS(·, ·)(1.7)St1 (·, τ + h)A1(τ + h)xt (τ − t)dτ,ïðèt1 < t + hçàäàåòñÿ ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì:x∗(τ ) = x(τ + t1 − t), τ ∈ [−h, t − t1 ), ñëó÷àåSt1 (·, τ )B(τ )u(τ )dτ +tt−hãäå óíêöèÿRt1óíêöèÿx∗(τ ) = 0x∗(τ ) = 0, τ ∈ [t − t1 , 0].ïðèτ ∈ [−h, 0] .- ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû ñ îïåðåæåíèåì:∂S(t, τ )= −S(t, τ )A0(τ ) − S(t, τ + h)A1 (τ + h),∂τS(τ, τ ) = I, S(t, τ ) = 0,Ôóíêöèÿ(1.8)St1 (·, τ )ïðè(1.9)t < τ.(1.10)îïðåäåëÿåòñÿ, ñîãëàñíî (1.2).Êðîìå òîãî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:S(t1, ξ) = S(t1, t)S(t, ξ) +ZtS(t1 , τ + h)A1(τ + h)S(τ, ξ)dτ, ξ ≤ t ≤ t1 ,(1.11)t−h ñëó÷àå, êîãäà íà÷àëüíîå çíà÷åíèåx∗(·) ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîéóíêöèåé, âûðàæåíèå (1.4) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýâîëþöèîííîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâåHóíêöèèxτ (·),à èìåííî∂xτ (·)= Aτ xτ (·) + Bτ u(τ ),∂τãäåAτ- íåîãðàíè÷åííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå(Aτ xτ (·))(0) = A0(τ )xτ (0) + A1(τ )xτ (−h),(Aτ xτ (·))(ξ) =dxτ (ξ), äëÿ ï.â.dξξ ∈ [−h, 0).(1.12)H([19℄, .162):(1.13)23ÎïåðàòîðBτîïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:(Bτ u(τ ))(0) = B(τ )u(τ ),(Bτ u(τ ))(ξ) = 0,Çàìåòèì, ÷òî ïðèτ > t+häëÿ ï.â.ðåøåíèåxτ (·)(1.14)ξ ∈ [−h, 0).çàäà÷è Êîøè (1.4)-(1.6) áóäåò àá-ñîëþòíî íåïðåðûâíî ïðè ëþáîì äîïóñòèìîì íà÷àëüíîì óñëîâèè, ÷òî ñëåäóåòíåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ.Óðàâíåíèå (1.4) ìîæíî óïðîñòèòü, à èìåííî, îáíóëèòü ìàòðèöóA0 (t) , îñòà-âèâ â ïðàâîé ÷àñòè òîëüêî ñëàãàåìîå ñ çàïàçäûâàíèåì.Íåâûðîæäåííîé ëèíåéíîé çàìåíîéx(t) = X(t, t0 )z(t)ãäåX(t, t0 )(1.15)ðåøåíèå ñèñòåìû∂X(t, τ )= A0 (t)X(t, τ ),∂tX(τ, τ ) = Ióðàâíåíèå (1.4) ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó:ż(t) = X(t0 , t)A1(t)X(t − h, t0 )z(t − h) + X(t0 , t)B(t)u(t).Äåéñòâèòåëüíî, ïðîäèåðåíöèðîâàâ ïîẋ(t) =tâûðàæåíèå (1.15), ïîëó÷àåì∂X(t, t0)z(t) + X(t, t0)ż(t) =∂t= A0 (t)X(t, t0)z(t)++X(t, t0)(X(t0, t)A1(t)X(t − h, t0 )z(t − h) + X(t0 , t)B(t)u(t)) == A0 (t)x(t) + A1(t)x(t − h) + B(t)u(t).Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ ñâîéñòâî óíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöûñïðàâåäëèâîX(t, τ )X(τ, t) = I.X(t, τ ) , äëÿ êîòîðîé241.3Îñíîâíûå ïîñòàíîâêèÄëÿ ââåäåííîé âûøå ëèíåéíîé óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì(1.4), (1.6) áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷è öåëåâîãî óïðàâëåíèÿ èç çàäàííîãîX0ìíîæåñòâàíà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé.Òî åñòü èêñèðóþòñÿ íà÷àëüíîå ìíîæåñòâîñòâîM(·) .X 0 (·) ⊂ Hè öåëåâîå ìíîæå-È òðåáóåòñÿ ïðèâåñòè òðàåêòîðèþ ñèñòåìû (1.4), (1.6) èç íà÷àëü-íîãî ñîñòîÿíèÿxt0 (·) :xt0 (·) ∈ X 0 (·)â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå, ïðèíàäëåæàùåå ìíîæåñòâóM(·) . ñèëó óíêöèîíàëüíîé ïðèðîäû òåêóùåãî àçîâîãî ñîñòîÿíèÿ âîçìîæíûäâå ïîñòàíîâêè - óíêöèîíàëüíàÿ è êîíå÷íîìåðíàÿ.

 ïåðâîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ ïîïàñòü â öåëåâîå ìíîæåñòâîíîì ïðîñòðàíñòâåM(·)ñîñòîÿíèé, çàäàííûõ â óíêöèîíàëü-H:xt1 (·) ∈ M(·), M(·) ∈ H. ÷àñòíîñòè, åñëè òðåáóåòñÿ ïðèâåñòè ñèñòåìó â ñîñòîÿíèå ïîêîÿ, òî íåîáõîäèìî óäåðæèâàòü ñèñòåìó â ýòîì ñîñòîÿíèè â ïðîñòðàíñòâåîòðåçêà âðåìåíè äëèòåëüíîñòüþh.M(·)ñîñòîèòH.Âî âòîðîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ ïîïàñòü âî ìíîæåñòâîRn :â òå÷åíèè âñåãî ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâîèç íóëåâîé óíêöèè èç ïðîñòðàíñòâàñòðàíñòâàRnM êîíå÷íîìåðíîãî ïðî-x(t1) = xt1 (0) ∈ M, M ∈ Rn .Çäåñü îòñóòñòâóåò òðåáîâàíèå óäåðæàòü ñèñòåìó â ýòîì ìíîæåñòâå ïîñëå ïîïàäàíèÿ â íåãî. îñíîâíîì áóäóò ðàññìîòðåíû çàäà÷è ñ ãåîìåòðè÷åñêèì îãðàíè÷åíèåìíà óïðàâëåíèå, êîãäà â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè óïðàâëåíèå ïðèíàäëåæèò25íåïóñòîìó âûïóêëîìó êîìïàêòíîìó ìíîæåñòâó:u(τ ) ∈ P (τ )ïðèτ ∈ [t0 , t1]. ÷àñòíîñòè, áóäåò ðàññìîòðåíû ýëëèïñîèäàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà óïðàâëåíèÿ, êîãäà ìíîæåñòâîP (τ )ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì:P (τ ) = E(q(τ ), Q(τ )).Ìîòèâàöèåé äëÿ ðàññìîòðåíèÿ òàêîãî êëàññà óïðàâëåíèé ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ñåìåéñòâ èñ÷åðïûâàþùèõ ýëëèïñîèäàëüíûõ îöåíîê â èññëåäóåìûõ çàäà÷àõ.Ââåäåì ïîíÿòèå òåêóùåé ïîçèöèè.Îïðåäåëåíèå 4.Òåêóùàÿ ïîçèöèÿ {t, xt(·)} ñèñòåìû(1.4)åñòü ïàðà, ñî-ñòîÿùàÿ èç òåêóùåãî ìîìåíòà âðåìåíè t è óíêöèè xt(·) ðåøåíèÿ âòåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè âìåñòå ñ ïðåäûñòîðèåé íà èíòåðâàëå [t − h, t) .Ïîä÷åðêíåì àêò òîãî, ÷òî òåêóùàÿ ïîçèöèÿ ñèñòåìû èìååò óíêöèîíàëüíóþ ñòðóêòóðó êàê â êîíå÷íîìåðíîé òàê è â óíêöèîíàëüíîé ïîñòàíîâêå, òàêêàê äëÿ ïðîäîëæåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.4) íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòàtîáÿçà-òåëüíî íóæíî çíàòü ðåøåíèå â òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè âìåñòå ñ ïðåäûñòîðèåé íà èíòåðâàëå[t − h, t) .Âîçìîæíû äâà êëàññà óïðàâëåíèé ïðîãðàììíûåu(t)è ñèíòåçèðîâàííûåU (t, xt(·)) . ïåðâîì ñëó÷àå óïðàâëåíèå èùåòñÿ â âèäå óíêöèèu(t) , êîòîðàÿ çàâèñèòòîëüêî îò òåêóùåãî ìîìåíòà âðåìåíè.Âî âòîðîì ñëó÷àå óïðàâëåíèå èùåòñÿ â âèäå óíêöèèU (t, xt(·))ãîâîðÿ ìíîãîçíà÷íîé), êîòîðàÿ çàâèñèò îò òåêóùåé ïîçèöèè(1.4).(âîîáùå{t, xt(·)} ñèñòåìû26Ïðè ýòîì ñèíòåçèðîâàííîå óïðàâëåíèå äîëæíî áûòü äîïóñòèìûì, òî åñòüóäîâëåòâîðÿòü àïðèîðíûì îãðàíè÷åíèÿì íà óïðàâëåíèå, è â ñëó÷àå ïîäñòàíîâêè åãî â óðàâíåíèå (1.4) óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (äèåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ âñëó÷àå ìíîãîçíà÷íîãî ñèíòåçèðîâàííîãî óïðàâëåíèÿ).Îáå ïîñòàíîâêè ïîäðàçóìåâàþò ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòèè ðàçðåøèìîñòèWt [·] ,Xt [·]ÿâëÿþùèìèñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ìíîæåñòâàìè âñåâîç-ìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû äîñòèæèìûõ èç íà÷àëüíîé ïîçèöèè ñèñòåìû èñîñòîÿíèé, îòêóäà ìîæíî ïîïàñòü â öåëåâîå ìíîæåñòâî:Xt [·] = Xt (·, t0 , X 0(·)) =Wt [·] =[{xt (·, t0, xt0 (·), u(·))},[{x∗(·) ∈ H | ∃u(·) ∈ U [t, t1] : xt1 (·, t, x∗(·), u(·)) ∈ M(·)}.Çàìåòèì, ÷òî â îòñóòñòâèå íåîïðåäåëåííîñòè èñêîìûå ìíîæåñòâà äëÿ çàäà÷ ñïðîãðàììíûìè è ñèíòåçèðîâàííûìè óïðàâëåíèÿìè áóäóò ñîâïàäàòü.