Диссертация (Эллипсоидальные методы в решении задач достижимости и синтеза управлений для систем с запаздыванием), страница 8

 ñèëó òîãî, ÷òî öåíòðû ìíîæåñòâ âõîäÿò â îïîðíóþóíêöèþ ëèíåéíûì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òåîðåìó ïðè íóëåâûõ öåíòðàõq 1 (·) , q 2(·) :q 1 (·) = q 2 (·) = 0.64Âû÷èñëèì êâàäðàò îïîðíîé óíêöèè ìíîæåñòâàE(q −(·), Q−(·)) .2ρ (l(·)| E(q −(·), Q−(·))) = hLQ∗(·)l(·), LQ∗(·)l(·)i =DE111112122222= T1Q (·) l(·) + T2Q (·) l(·), T1Q (·) l(·) + T2Q (·) l(·) =E DED11111221LQ (·) 2 l(·), LQ (·) 2 l(·) + LQ (·) 2 l(·), LQ (·) 2 l(·) +DE1112+2 T1LQ (·) 2 l(·), T2LQ (·) 2 l(·) ≤≤ {ïðèìåíÿåì íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî} ≤DE DE11111122≤ LQ (·) 2 l(·), LQ (·) 2 l(·) + LQ (·) 2 l(·), LQ (·) 2 l(·) +E 21 DE 12D111112122222+2 LQ (·) l(·), LQ (·) l(·)LQ (·) l(·), LQ (·) l(·) =DE 12 DE 21 21111=LQ1(·) 2 l(·), LQ1(·) 2 l(·) + LQ2(·) 2 l(·), LQ2(·) 2 l(·)=2= ρ l(·)| E(q 1(·), Q1(·)) + ρ l(·)| E(q 2(·), Q2(·))Ïðè÷åì äëÿ ëþáîãîl(·)ñóùåñòâóþòT1 , T2òàêèå, ÷òî íåðàâåíñòâî Êîøè-T1 , T2óäîâëå-l(·) ∈ H ,óáåæäà-Áóíÿêîâñêîãî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî.

Ýòî âûïîëíåíî åñëèòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ11T1 LQ1(·) 2 l(·) = λT2 LQ2(·) 2 l(·),ãäåλ > 0.Òàêèì îáðàçîì, ïåðåáèðàÿ âñåâîçìîæíûå íàïðàâëåíèÿåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà äëÿ ñóììû ëþáîãî êîíå÷íîãî÷èñëà ìíîæåñòâ ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà:Òåîðåìà 24.Ïóñòü çàäàíà ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ ýëëèïñîèäàëüíîãîòèïà E(q i(·), Qi(·)) , i = 1, ..., k . Òîãäà èõ ñóììó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåîáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà ïî âñåâîçìîæíûì Ti(·) :kXi=1E(q i(·), Qi(·)) =[{E(q −(·), Q−(·))|Ti, i = 1, ..., k}.65äåQ−(·) = Q∗(·)′ Q∗(·),nX1∗Qt (·) =TiQi (·) 2 .(2.24)i=1Ti - ïðîèçâîëüíûå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû â Rn×n :Ti′ Ti = I.Öåíòð q − (·) ñîâïàäàåò ñ óììîé öåíòðîâ q i (·) èñõîäíûõ ìíîæåñòâ ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà:−q (·) =kXq i (·).i=1Ïåðåõîäÿ îò îöåíîê èíòåãðàëüíûõ ñóìì ê îöåíêàì èíòåãðàëîâ, ïîëó÷àåìñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 25.Ïóñòü çàäàíà ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ ýëëèïñîèäàëüíîãîòèïà E(q 0 (·), Q0(·)) , E(qτ (·), Qτ (·)) .

Òîãäà ñóììó èíòåãðàëà îòE(qτ (·), Qτ (·)) è ìíîæåñòâà E(q 0(·), Q0(·)) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà ïî âñåâîçìîæíûì T0 , T (τ ) ,τ ∈ [t0 , t] :00E(q (·), Q (·))+Ztt0E(qτ (·), Qτ (·))dτ =[{E(qt−(·), Q−t (·))|T0, T (τ ), τ ∈ [t0 , t]}.äåQ−(·) = Q∗(·)′ Q∗(·),Zt11Q∗t (·) = T0Q0(·) 2 + T (τ )Qτ (·) 2 dτt0T0 , T (τ ) , - ïðîèçâîëüíûå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû â Rn×n :+T0′ T0 = T (τ )′T (τ ) = I.(2.25)66Öåíòð q − (·) ñîâïàäàåò ñ óììîé öåíòðà q 0 (·) è èíòåãðàëà îò qτ (·) :qt− (·) = q 0 (·) +Ztqτ (·)dτ.t0Èç (2.19) âèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè åñòü èíòåãðàë îò ìíîæåñòâýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà.

Ïîýòîìó, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:Òåîðåìà 26.Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè Xt [·] åñòü îáúåäèíåíèå ìíî-æåñòâ ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà ïî âñåâîçìîæíûì T (·) , T0 (·) :Xt [·] =äå[−{E(x−t (·), Xt (·))|T (·), T0(·)}.Xt− (·) = Q∗t (·)′ Q∗t (·),Q∗t (·)=Rt0t0 −h1/2T0(τ )X0 (τ )A′1(τ + h)St′ (·, τ + h)dτ +1/2+T0(t0 )X0 (t0)St′ (·, t0)+Rt(2.26)T (τ )Q1/2(τ )Bt0′(τ )St′(·, τ )dτ,T0 (·) , T (·) - ïðîèçâîëüíûå èçìåðèìûå ïî Ëåáåãó óíêöèè, çíà÷åíèÿìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû â Rn×n :T0′ (τ )T0(τ ) = I, τ ∈ [t0 − h, t0], T ′ (τ )T (τ ) = I, τ ∈ [t0, t].∗Öåíòð x−t (·) ñîâïàäàåò ñ óíêöèåé xt (·) èç ñîîòíîøåíèÿÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì â óíêöèîíàëüíîì ñìûñëå ñèñòåìûÈç (2.26) ñëåäóåò, ÷òî ìàòðè÷íàÿ óíêöèÿQ∗t (·)(2.20),òî åñòü(2.10), (2.11).ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âóíêöèîíàëüíîì ñìûñëå ñèñòåìû (2.12), (2.13).

Ñîîòâåòñòâåííî, âåëè÷èíàXt− (·)ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì â óíêöèîíàëüíîì ñìûñëå ñèñòåìû (2.14), (2.15).Êàæäîå èç óðàâíåíèé (2.10), (2.12), (2.14) ìîæíî çàïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîìóíêöèîíàëüíîì âèäå (1.12) ñ ñîîòâåòñòâóþùèì îïåðàòîðîìA([19℄, ñ.162).67Âûáîðîì ìàòðèöT0 (·)èT (·)ìîæíî äîáèòüñÿ ñîâïàäåíèÿ îïîðíûõ óíê-öèé ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè è âíóòðåííåé îöåíêè äëÿ ëþáîãî çàðàíåå èêñèðîâàííîãî ýëåìåíòàlt (·)èçH:Äëÿ ëþáîãî lt (·) ∈ H ñóùåñòâóþò T0 (·) è T (·) òàêèå, ÷òîÒåîðåìà 27.−ρ(lt (·)|Xt [·]) = ρ(lt (·)|E(x−t (·), Xt (·))).ÈñêîìûåT0(·)èT (·)(2.27)íàõîäÿòñÿ, èñõîäÿ èç ñëåäóþùèõ óðàâíåíèé:1/21/2T0(t0 )X0 (t0 )LtSt′ (·, t0)lt (·) = λ(ξ)T0(ξ)X0 (ξ)A′1(ξ + h)Lt St′ (·, ξ + h)lt (·) == λ(τ )T (τ )Q1/2(τ )B ′(τ )LtSt′ (·, τ )lt(·),λ(τ ) > 0, λ(ξ) > 0, ξ ∈ [t0 − h, t0 ), τ ∈ [t0, t].Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó ýëåìåíòóçíà÷åíèÿT0(lt (·), ·) , T (lt(·), ·)Òåîðåìà 28.èlt (·)èç ïðîñòðàíñòâàH(2.28)ñîîòâåòñòâóþòXt− (lt(·), ·) , ïðè êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ (2.27).Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè åñòü îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà ïî âñåâîçìîæíûì ýëåìåíòàì lt (·) èç åäèíè÷íîéñåðû:Xt [·] =[−{E(x−t (·), Xt (lt (·), ·))|lt(·) ∈ H : klt (·)k = 1}.Ïîñêîëüêó âåëè÷èíûT0 (·)èT (·)â îáùåì ñëó÷àå çàâèñÿò îò t, äëÿ âû÷èñ-ëåíèÿ âíóòðåííèõ îöåíîê â äðóãîé ìîìåíò âðåìåíè, òðåáóåòñÿ çàíîâî ðåøàòüñèñòåìó (2.12)-(2.13).Îäíàêî, åñëè â êà÷åñòâå ýëåìåíòàlt (·)âçÿòüøåíèÿìè (2.21), òî ñîîòíîøåíèÿ (2.28) íàT0 (·)lt∗(·) ,èîïðåäåëÿåìîãî ñîîòíî-T (·)ïðèìóò ñëåäóþùèéâèä:1/21/2T0(t0 )X0 (t0 )S ′(t1 , t0)l0 = λ(ξ)T0(ξ)X0 (ξ)A′1(ξ + h)S ′ (t1 , ξ + h)l0 == λ(τ )T (τ )Q1/2(τ )B ′(τ )S ′(t1 , τ )l0,λ(τ ) > 0, λ(ξ) > 0, ξ ∈ [t0 − h, t0 ), τ ∈ [t0, t],68÷òî ñëåäóåò èç âûðàæåíèÿ (2.22).

Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíûT0 (·)èT (·)íåçàâèñÿò îò t.Çíà÷èò, íà îòðåçêå âðåìåíèîòâåòñòâóþùèì êðèâûìlt∗(·)t ∈ [t0 , t1]âíóòðåííèå îöåíêè, îòâå÷àþùèå ñî-(äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ (2.27)), ìîæíî âû-÷èñëÿòü ðåêóððåíòíî, íå ïåðåñ÷èòûâàÿ çàíîâî ðåøåíèå äèåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ (2.12)-(2.13).2.4Âíåøíèå îöåíêè.Çàèêñèðóåì íåêîòîðûé ìîìåíòt > t0 .Èç (2.6) ([57℄) ñëåäóåò ÷òî ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòèX[t]ìîæíî ïðåäñòà-âèòü êàê ïåðåñå÷åíèå ýëëèïñîèäîâ.X[t] =X+ (t)\(E(x+, X+(t))|p(·), p0(·))íàõîäèòñÿ ïî îðìóëå:X+ (t) = (×(Rt0t0 −hRt0p0(τ )dτ + p0(t0 ) +p(τ )dτ )×t0t0 −h′p−10 (τ )S(t, τ + h)A1 (τ + h)X0 (τ )A1 (τ + h)S (t, τ + h)dτ +′+p−10 (t0 )S(t, t0 )X0 (t0 )S (t, t0 )x+(t)Rt+Rtp−1(τ )S(t, τ )Q(τ )S ′(t, τ )dτ )t0íàõîäèòñÿ ïî îðìóëå:x+(t) = S(t, t0)x0(t0) +ZtS(t, τ )q(τ )dτ +t0Zt0S(t, τ + h)A1(τ + h)x0(τ )dτt0 −hÒî åñòü ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìûẋ+(τ ) = A0(τ )x+(τ ) + A1(τ )x+(τ − h) + q(τ ),τ ∈ [t0, t1],(2.29)69x+(t0 ) = x0(t0 ), x+ (τ ) = x0(τ ),Q(t1, t2)Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿèτ ∈ [t0 − h, t0 ).(2.30)Π(t) :Q(t1, t2) ==(Rt0t0 −h′′p−10 (τ )S(t1, τ + h)A1 (τ + h)X0 (τ )A1 (τ + h)S (t2 , τ + h)dτ +′+p−10 (t0 )S(t1 , t0 )X0 (t0 )S (t2 , t0 )Π(t) =Zt0+X+ (t)p−1(τ )S(t1, τ )Q(τ )S ′(t2, τ )dτ ),t0p0(τ )dτ + p0(t0) +Ztp(τ )dτ,ïðèt0t0 −hÎòñþäàRt1t ≥ t0 .ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå:X+ (t) = Π(t)Q(t, t).Äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿX+ (t)ïðèìåò âèä:Ẋ+(t) = A0 (t)X+(t) + X+ (t)A′0(t)+′+Π(t)(A1(t)Q(t − h, t) + Q (t −h, t)A′1(t))−1(2.31)+ π (t)Q(t) + π(t)X+ (t)ãäåπ(t) = p(t)/Π(t)(2.32)X+ (t0) = X0 (t0)(2.33)X+ (τ ) = X0 (τ ), τ ∈ [t0 − h, t0 )(2.34)ïðè îãðàíè÷åíèÿõÒîãäàQ(t1, t2 )ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíå-íèÿ:∂Q(t, τ )= A0 (t)Q(t, τ ) + A1(t)Q(t − h, τ ) + p−1(t)Q(t)S ′(τ, t)∂t(2.35)70ïðè îãðàíè÷åíèÿõ:′Q(t0, τ ) = p−10 (t0 )X0 (t0 )S (τ, t0 )′′Q(ξ, τ ) = p−10 (ξ)X0 (ξ)A1(ξ + h)S (τ, ξ + h), ξ ∈ [t0 − h, t0 )(2.36)(2.37)Íàëîæèì óñëîâèÿ êàñàíèÿ âíåøíåé îöåíêè è ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè âíåêîòîðîì íàïðàâëåíèèlèçRn .Äëÿ ðàâåíñòâà îïîðíûõ óíêöèèρ(l|X[t]) = ρ(l|E(x+, X+(t)))(2.38)íóæíî ([57℄) ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:p(τ ) = hl, S(t, τ )Q(τ )S ′(t, τ )li1/2 , τ ∈ (t0, t]p0(τ ) = hl, S(t, τ + h)A1(τ + h)X0 (τ )A′1(τ + h)S ′ (t, τ + h)li1/2 , τ ∈ [t0 − h, t0 )p0(t0 ) = hl, S(t, t0)X0 (t0)S ′ (t, t0)li1/2Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó âåêòîðóp0(l, ·) , p0(l, t0)èÒåîðåìà 29.X+ (l, t) ,lèçRnñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿp(l, ·) ,ïðè êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ (2.38).Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè åñòü ïåðåñå÷åíèå ýëëèïñîèäîâïî âñåâîçìîæíûì âåêòîðàì l èç åäèíè÷íîé ñåðû:X[t] =\Ïîñêîëüêó âåëè÷èíû{E(x+(t), X+(l, t))|l ∈ Rn : klk = 1}.p(l, ·) , p0 (l, ·) , p0 (l, t0)â îáùåì ñëó÷àå çàâèñÿò îòt,äëÿ âû÷èñëåíèÿ âíåøíèõ îöåíîê â äðóãîé ìîìåíò âðåìåíè, òðåáóåòñÿ çàíîâîðåøàòü ñèñòåìó (2.31)-(2.34).2.5Ïðèìåð.Ïðîèëëþñòðèðóåì ãðàè÷åñêè îðìóëû äëÿ îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè.

àññìîòðèì ïðèìåð, ââåäåííûé âûøå äëÿ èëëþñòðàöèè âíóòðåííèõ71îöåíîê:A0 = 100 −1 , A1 = X0 (τ ) = 411 0.5−1 001, Q = 1 00 10, B = 1 00 1, , τ ∈ [t0 − h, t0 ], t0 = 0, t1 = 1, n = 2.È ÷åòûðå ñëó÷àÿ, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà âåëè÷èíîé çàïàçäûâàíèÿh: h=0, h=0.01, h=0.1, h=0.3.èñóíêè äåìîíñòðèðóþò âíåøíèå ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè â ìîìåíòæåñòâî.t = t1 . Ïåðåñå÷åíèå ýëëèïñîèäîâîáðàçóåò òî÷íîå ìíî-7266442200−2−2−4−4−6−6−4−20246−6−6−4h=06442200−2−2−4−4−4−20h = 0.10246246h = 0.016−6−6−2246−6−6−4−20h = 0.3ëàâà 3Àïïðîêñèìàöèÿ ñèñòåìû ñçàïàçäûâàíèåì äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ àïïðîêñèìàöèè èñõîäíîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû óðàâíåíèé íåéòðàëüíîãî òèïà è ñèñòåìûîáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.3.1Àïïðîêñèìàöèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèåì íåéòðàëüíîãî òèïàÇàèêñèðóåì ÷èñëîε > 0.àññìîòðèì ñèñòåìó íåéòðàëüíîãî òèïà [5℄:ẋ(τ ) − εẋ(τ − h) = A0(τ )x(τ ) + A1 (τ )x(τ − h) + B(τ )u(τ ),τ ∈ [t0 , t1],(3.1)Äàííîå óðàâíåíèå ðàçðåøèìî êàê â ïðÿìîì âðåìåíè ñ îãðàíè÷åíèåì â íà÷àëüíûé ìîìåíò:xt0 (τ ) = x∗(τ ),73τ ∈ [−h, 0],(3.2)74òàê è â îáðàòíîì âðåìåíè, ñ îãðàíè÷åíèåì â êîíå÷íûé ìîìåíò:xt1 (τ ) = x∗(τ ),ãäåx∗ (τ )τ ∈ [−h, 0],- àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ íà îòðåçêååøåíèåx(t)(3.3)[−h, 0] .äàííîé ñèñòåìû âûïèñûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî íà êàæäîìïðîìåæóòêå äëèíûh. ïðÿìîì âðåìåíè:x(t) = S(t, t0)x(t0) +RtS(t, τ )B(τ )u(τ )dτ +t0+t−hRS(t, τ + h)A1(τ + h)x0(τ )dτ +t0 −h+ε x(t − h) − S(t, t0)x(t0 − h) −Ztt0t ∈ [t0 , t0 + h].ÇäåñüS(·, ·)(3.4)∂S(t, τ )x(τ − h)dτ  ,∂τ- ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû ñ îïåðåæåíèåì:∂S(t, τ )= −S(t, τ )A0(τ ) − S(t, τ + h)A1 (τ + h),∂τS(τ, τ ) = I, S(t, τ ) = 0,ïðè(3.5)t < τ.(3.6) îáðàòíîì âðåìåíè:x(t) = S(t1 − h, t)x(t1 − h)−t1R−h−1S(τ, t)B(τ + h)u(τ + h)dτ −−ε−ε−1t−hRt1t+hS(τ − h, t)A0(τ − h)x(τ )dτ ++ε−1 x(t + h) − S(t1 − h, t)x(t1) −tZ1 −ht(3.7)∂S(τ, t)x(τ + h)dτ  ,∂τt ∈ [t1 − 2h, t1 − h].75ÇäåñüS(·, ·)- ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì:ε∂S(t, τ )= S(t, τ )A0(t) + S(t − h, τ )A1(t),∂tS(τ, τ ) = I, S(t, τ ) = 0,ïðè ñëó÷àå îãðàíè÷åííîãî íà÷àëüíîãî ìíîæåñòâà(3.8)t < τ.(3.9)X0 (·)íåïîñðåäñòâåííî èçâûðàæåíèÿ (3.4) ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿê ðåøåíèÿì ñèñòåìû (1.4), (1.6) íà ìíîæåñòâå3.2X0 (·) ïðè ñòðåìëåíèè ε ê íóëþ.Àïïðîêñèìàöèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû ìåòîäîìïðÿìûõ äàííîé ãëàâå ðàññìîòðåíà àïïðîêñèìàöèÿ ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ ìåòîäàïðÿìûõ.