Диссертация (Эллипсоидальные методы в решении задач достижимости и синтеза управлений для систем с запаздыванием), страница 2

Äàðüèíûì è À.Á Êóðæàíñêèì.Èäåÿ èññëåäîâàíèé ïðèíàäëåæèò íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ àâòîðà, àêàäåìèêóÀ.Á. Êóðæàíñêîìó. Àâòîðîì ïîëó÷åíû îðìóëû ýëëèïñîèäàëüíûõ îöå-íîê è ýëëèïñîèäàëüíîãî ñèíòåçà óïðàâëåíèé. À.Í. Äàðüèí ïðîâåë ÷èñëåííîåìîäåëèðîâàíèå.Ñîäåðæàíèå ðàáîòûÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ÷åòûðåõ ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû.Ïåðâàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ïðèìåíåíèþ ìåòîäà äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ çàäà÷, îïèñûâàåìûõ ëèíåéíûìè äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ çàïàçäûâàíèåì. Îñíîâíîå ñîäåðæàíèå äàííîé ãëàâû îïóáëèêîâàíîâ ðàáîòå [63℄.àññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíàÿ óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà ñ çàïàçäûâàíèåì:ẋ(τ ) = A0(τ )x(τ ) + A1(τ )x(τ − h) + B(τ )u(τ ),xt(τ ) = x∗(τ ),τ ∈ [t0 , t1],τ ∈ [−h, 0].ñ ãåîìåòðè÷åñêèì îãðàíè÷åíèåì íà óïðàâëåíèå:u(τ ) ∈ P (τ )ãäåïðèτ ∈ [t0, t1]P (τ ) íåïðåðûâíàÿ ïî ìåòðèêå Õàóñäîðà óíêöèÿ, çíà÷åíèÿìè êîòîðîéÿâëÿþòñÿ âûïóêëûå êîìïàêòû â ïðîñòðàíñòâåRn .10Ñòàâèòñÿ çàäà÷à öåëåâîãî óïðàâëåíèÿ èç çàäàííîãî ìíîæåñòâà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé íà ìíîæåñòâîX0 (·)íà-M(·) .Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå òåêóùåé ïîçèöèè.Îïðåäåëåíèå 1.Òåêóùàÿ ïîçèöèÿ {t, xt(·)} ñèñòåìû åñòü ïàðà, ñîñòîÿùàÿèç òåêóùåãî ìîìåíòà âðåìåíè t è óíêöèè xt(·) ðåøåíèÿ â òåêóùèéìîìåíò âðåìåíè âìåñòå ñ ïðåäûñòîðèåé íà èíòåðâàëå [t − h, t) . ñèëó óíêöèîíàëüíîé ïðèðîäû òåêóùåãî àçîâîãî ñîñòîÿíèÿ (äëÿ ïðîäîëæåíèÿ ðåøåíèÿ â òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè òðåáóåòñÿ çíàòü ïðåäûñòîðèþíà îòðåçêå[t − h, t] ) âîçìîæíûäâå ïîñòàíîâêè - óíêöèîíàëüíàÿ è êîíå÷íî-ìåðíàÿ. ïåðâîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ ïîïàñòü â öåëåâîå ìíîæåñòâîçàäàííûõ â óíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâåM(·)ñîñòîÿíèé,H = L2 [−h, 0] × Rn :  ÷àñòíîñòè,åñëè òðåáóåòñÿ ïðèâåñòè ñèñòåìó â ñîñòîÿíèå ïîêîÿ, òî íåîáõîäèìî óäåðæèâàòü ñèñòåìó â ýòîì ñîñòîÿíèè â ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè äëèòåëüíîñòüþh.Rn ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâîâîé óíêöèè èç ïðîñòðàíñòâàM(·)ñîñòîèò èç íóëå-H.Âî âòîðîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ ïîïàñòü âî ìíîæåñòâîñòðàíñòâàâ òå÷åíèè âñåãî îòðåçêàM êîíå÷íîìåðíîãî ïðî-Rn .

Çäåñü îòñóòñòâóåò òðåáîâàíèå óäåðæàòü ñèñòåìó â ýòîì ìíîæå-ñòâå ïîñëå ïîïàäàíèÿ â íåãî. Âîçìîæíû äâà êëàññà óïðàâëåíèé ïðîãðàììíûåu(t)è ñèíòåçèðîâàííûåU (t, xt(·)) .Îáå ïîñòàíîâêè ïîäðàçóìåâàþò ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòèè ðàçðåøèìîñòèWt [·] ,Xt [·]ÿâëÿþùèìèñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ìíîæåñòâàìè âñåâîç-ìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû äîñòèæèìûõ èç íà÷àëüíîé ïîçèöèè ñèñòåìû èñîñòîÿíèé, îòêóäà ìîæíî ïîïàñòü â öåëåâîå ìíîæåñòâî:0Xt [·] = Xt (·, t0 , X (·)) =[{xt (·, t0, xt0 (·), u(·))},11Wt [·] =[{x∗(·) ∈ H | ∃u(·) ∈ U [t, t1] : xt1 (·, t, x∗(·), u(·)) ∈ M(·)}.Òàêæå ðàññìàòðèâàþòñÿ êîíå÷íîìåðíàÿ è óíêöèîíàëüíàÿ ïîñòàíîâêè çàäà÷è öåëåâîãî óïðàâëåíèÿ íå â çàäàííîå âðåìÿ, à â òå÷åíèå íåêîòîðîãî èíòåðâàëà.

 ýòîé ïîñòàíîâêå òðåáóåòñÿ ïîïàäàíèå òðàåêòîðèè ñèñòåìû â òðåáóåìîåìíîæåñòâî íå â èêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè, à â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíèâ òå÷åíèè âñåãî çàäàííîãî îòðåçêà. Òî åñòü, äëÿ çàäà÷è öåëåâîãî óïðàâëåíèÿâî ìíîæåñòâîM(·)òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü óñëîâèåëèáî ìîìåíòå âðåìåíèτ ∈ [t0, t1 ] . Îñîáåííîñòüþxτ (·) ∈ M(·) ,ïðè êàêîìäàííûõ çàäà÷ áóäåò, âîîáùåãîâîðÿ, íåâûïóêëàÿ ñòðóêòóðà ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè.Êëþ÷åâûì ïîíÿòèåì ïðè íàõîæäåíèè ââåäåííûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ óíêöèîíàë öåíûV (t, xt(·)) , çàâèñÿùèé îò òåêóùåé ïîçèöèè, è ìíîæåñòâàìè óðîâ-íÿ êîòîðîãî áóäåò èñêîìîå ìíîæåñòâî. È äëÿ âñåõ çàäà÷ áóäåò âàæíûì îïðåäåëåíèå ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè èëè ïîëóãðóïïîâîãî ñâîéñòâà êàê äëÿ óíêöèîíàëîâ, òàê è äëÿ ìíîæåñòâ. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü âû÷èñëÿòü ýòè îáúåêòûðåêóððåíòíî, òåì ñàìûì óìåíüøàÿ îáúåì âû÷èñëåíèé.Ôóíêöèîíàë öåíû ââîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ îðìóë (1.18)-(1.20).

Ñîîòâåòñòâóþùåå îòîáðàæåíèå óäîâëåòâîðÿåò ïîëóãðóïïîâîìó ñâîéñòâó (1.22)V (t, x∗(·) | t1 , V (t1, ·)) = V (t, x∗(·) | τ, V (τ, · | t1 , V (t1, ·))),ïðèt0 ≤ t ≤ τ ≤ t1 .À ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ìíîæåñòâà óðîâíÿ:Wt [·] =[{x∗(·) ∈ H | V (t, x∗(·)) ≤ 0}.Èñïîëüçóÿ ìåòîäû âûïóêëîãî àíàëèçà ìîæíî ïîëó÷åíî ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå óíêöèîíàëà öåíûV (t, xt(·)) ,çàäàâàåìîå îðìóëàìè (1.25)-(1.26)V (t, x∗(·)) = max ϕ(t, x∗(·), l(·)).l(·)∈H12Çäåñü+Rt t−hϕ(t, x∗(·), l(·)) = hl(·), x∗(·)i + LSt′1 (·, t)l(·), x(0) −Rt1− ρ −LB ′ (τ )St′1 (·, τ )l(·) P (τ ) dτ +tLA′1(τ + h)St′1 (·, τ + h)l(·), x(τ − t) dτ − ρ (l(·)| M) − 1/4 hl(·), l(·)i ,ãäå îïåðàòîðLîïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (1.3), à óíêöèÿx∗ (·) âûðàæåíèåì(1.8).Äîêàçàíî, ÷òî äàííûé óíêöèîíàë öåíû óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿ àìèëüòîíà - ßêîáè - Áåëëìàíà:∂V (t, x∗(·)) dx0(·),+∂x0(·)dτ∗∂V (t, x∗(·))∂V(t,x(·)) P (t) = 0,+, A0(t)x(0) + A1(t)x(−h) −ρ −B ′(t)0∂x∂x0 îãðàíè÷åíèåì â ìîìåíò âðåìåíè t1 :∂V (t, x∗(·))+∂tV (t1 , x∗(·)) = d2 (x∗(·), M).Ñëó÷àé êîíå÷íîìåðíîãî öåëåâîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåìçàäà÷è ñ áåñêîíå÷íîìåðíûì öåëåâûì ìíîæåñòâîì.

Ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòèè óíêöèîíàë öåíû íàõîäÿòñÿ ïî âûøåîïèñàííûì îðìóëàì, êîòîðûå ñîõðàíÿþò ñâîé âèä. Îòëè÷èå ïðîÿâèòñÿ òîëüêî â êðàåâîì óñëîâèè, êîòîðîå áóäåòêîíå÷íîìåðíûì.Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà (1.27) ñòðîèòñÿ âîîáùå ãîâîðÿ ìíîãîçíà÷íûé ñèíòåç óïðàâëåíèé:∂V (t, xt(·))′,u .U (t, xt(·)) = Arg min B (t)∂x0u∈P (t)Ôîðìóëàìè (1.43)-(1.45) çàäàåòñÿ óíêöèîíàë öåíû äëÿ íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè. Äëÿ êîòîðîãî òàêæå âûâîäÿòñÿ ïðèíöèï îïòèìàëüíî-13ñòè è óðàâíåíèå àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ âûïóêëîãî àíàëèçà íàõîäèòñÿ àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå.Äëÿ ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè â òå÷åíèå çàäàííîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå óíêöèîíàëûöåíû.Âòîðàÿ ãëàâàïîñâÿùåíà íàõîæäåíèþ èñ÷åðïûâàþùèõ ýëëèïñîèäàëü-íûõ âíóòðåííèõ è âíåøíèõ îöåíîê ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè ó ëèíåéíîéóïðàâëÿåìîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì ïðè ãåîìåòðè÷åñêèõ îãðàíè÷åíèÿõ íàóïðàâëåíèå.

Îñíîâíîå ñîäåðæàíèå äàííîé ãëàâû îïóáëèêîâàíî â ðàáîòå [61℄.Çàäàåòñÿ ëèíåéíàÿ óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà ñ çàïàçäûâàíèåìẋ(τ ) = A0(τ )x(τ ) + A1(τ )x(τ − h) + B(τ )u(τ ),xt(τ ) = x∗(τ ),íà îòðåçêåτ ∈ [t0 , t1],τ ∈ [−h, 0].[t0 , t1] .åøåíèå ñèñòåìû ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, òàêè â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåH.Ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷àþòñÿ äâå ïîñòàíîâêè - êîíå÷íîìåðíàÿ è óíêöèîíàëüíàÿ.Íà óïðàâëåíèå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ çàäàþòñÿ ýëëèïñîèäàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ:u(τ ) ∈ E(q(τ ), Q(τ )) ïðè τ ∈ [t0 , t1],x0(τ ) ∈ E(x0(τ ), X0(τ )), τ ∈ [t0 − h, t0 ]. ýòîì ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíîå ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè ÿâëÿåòñÿ ñóììîéýëëèïñîèäà è èíòåãðàëà îò ýëëèïñîèäà.

Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ àïïàðàò âíóòðåííåãî ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ ([57℄, ñ.204), ïîëó÷àþòñÿ ÿâíûå èñ÷åðïû-14âàþùèå ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè. Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòèåäèíåíèå ýëëèïñîèäîâ ïî âñåâîçìîæíûìX[t] =äå[X[t]åñòü îáú-T (·) , T0 , T0(·) :{E(x−(t), X −(t))|T (·), T0, T0(·)}.X − (t) = Q∗ (t)′Q∗ (t),Q̇∗(τ ) = Q∗(τ )A′0(τ ) + Q∗ (τ − h)A′1(τ ) + T (τ )Q1/2(τ )B ′(τ ), τ ∈ [t0, t],ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ1/2Q∗ (τ ) = T0 (τ )X0 (τ ),Âûáîðîì ìàòðèöτ ∈ [t0 − h, t0].T0(·) è T (·) ([57℄, ñ.204) ìîæíî äîáèòüñÿ ñîâïàäåíèÿ îïîð-íûõ óíêöèé ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè è âíóòðåííåé îöåíêè äëÿ ëþáîãî çàðàíåå èêñèðîâàííîãî âåêòîðàlèçRn :Àíàëîãè÷íûå îðìóëû ïîëó÷àþòñÿ äëÿ âíåøíèõ îöåíîê. óíêöèîíàëüíîì ñëó÷àå òàêæå ïîëó÷àåòñÿ ïîëó÷èòü âíóòðåííèå èñ÷åðïûâàþùèå îöåíêè ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà, ïðè÷åì íåêîòîðûå èç íèõ ìîæíîâû÷èñëÿòü ðåêêóðåíòíî. òðåòüåé ãëàâå ðàññìîòðåíà àïïðîêñèìàöèÿ ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ ìåòîäàïðÿìûõ.

Îáîáùåí ðåçóëüòàò [25℄ íà ñëó÷àé ñèñòåìû ñ óïðàâëåíèåì.Ïðè íàõîæäåíèè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé âîçìîæíû äâà ïîäõîäà. Àïïðîêñèìàöèÿ ðåøåíèé è àïïðîêñèìàöèÿ ñàìîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è.  äàííîì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ âòîðîé ïîäõîä. Íåîáõîäèìîñòü ðåãóëÿðèçàöèè âûçâàíà íåêîððåêòíîñòüþ çàäà÷è íà ïîèñê ìíîæåñòâà ðàçðåøèìîñòè, òðåáóåìîãî ïðèïîèñêå ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè.àññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíàÿ óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìà ñ çàïàçäûâàíèåìẋ(τ ) = A0(τ )x(τ ) + A1(τ )x(τ − h) + B(τ )u(τ ),τ ∈ [t0 , t1],15xt(τ ) = x∗(τ ),íà îòðåçêå[t0 , t1]τ ∈ [−h, 0].ñ îãðàíè÷åííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåìkx0(·)k ≤ K1.Óïðàâëåíèå ðàâíîìåðíî îãðàíè÷èâàåòñÿ äëÿku(τ )k ≤ K2 ,åñëèτ ∈ [t0, t1] :u(τ ) ∈ P (τ ), τ ∈ [t0, t1 ]Ýòà ñèñòåìà ìîæíî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:ẏ0 (t) = A0(t)y0(t) + A1(t)ym(t) + B(t)u(t),ẏ1 (t) =mh (y0 (t)− y1 (t)),...ẏm (t) =ãäåmh (ym−1 (t)− ym (t)),yi (t) ∈ Rn , i = 0, 1, ..., m .Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä:y0 (t0) = x0(0), yi (t0) =mh(−i+1)h/mZx0(τ )dτ, i = 1, 2, ..., m.−ih/mÄîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà :Òåîðåìà 1.Äëÿ ëþáûõ ε > 0 , δ > 0 ñóùåñòâóåò ÷èñëî M(ε, δ) òàêîå,÷òî äëÿ ëþáîãî m > M(ε, δ) ðàâíîìåðíî ïî âñåì íà÷àëüíûì óíêöèÿì x0 (·)è óïðàâëåíèÿì u(·) , óäîâëåòâîðÿþùèì ñîîòâåòñòâåííî(3.10), (3.11)áóäåòâûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåkx(t − ih/m) − yi (t)kC[t0+h+δ,t1] < ε, i = 0, 1, ..., m.(0.1)16Èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî åñëè ðåøèòü çàäà÷ó ñèíòåçà äëÿ ïðèáëèæåííîéñèñòåìû ( ïðè ýòîì óïðàâëåíèå è íà÷àëüíîå óñëîâèå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòüñîîòâåòñòâóþùèì îãðàíè÷åíèÿì) è ïîäñòàâèòü íàéäåííûé ñèíòåç â èñõîäíóþñèñòåìó, òî â ðåçóëüòàòå îáåñïå÷èâàåòñÿ ïîïàäàíèå íà öåëåâîå ìíîæåñòâî ñòðåáóåìîé òî÷íîñòüþ. ÷åòâåðòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäû óïðàâëåíèÿ êîíêðåòíîé ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, àïïðîêñèìèðóþùåé ñèñòåìó ñ çàïàçäûâàíèåì.

Îñíîâíûå ìåòîäû è âûðàæåíèÿ, èñïîëüçóåìûå â äàííîé ãëàâå, îïóáëèêîâàíû â ðàáîòå [62℄.Ââîäèòñÿ óíêöèÿ öåíûV (t, x) = min d2(x(t1), M).uÄàííàÿ óíêöèÿ öåíû óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà∂V (t, x)∂V (t, x+ min, A(t)x + B0(t)u∂tu∈P (t)∂xV (t1, x)t = d2 (x(t1), M)Òðåáóåìûé ñèíòåç óïðàâëåíèÿ çäåñü ñîñòîèò èç ìèíèìèçàòîðîâu:∂V(t,x)U (t, x) = Arg min B0′ (t),u .∂xu∈P (t)Äëÿ óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèé óíêöèÿ öåíû âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòèW [t] :V (t, x) = d2 (X(t1, t)x, X(t1, t)W [t]).1V (t, x) = max{hX ′ (t1 , t)l, xi − ρ (X ′ (t1 , t)l| W [t]) − hl, li} =l41′′= max{hl, xi − ρ (l| W [t]) − hX (t, t1)l, X (t, t1 )li},l4U (t, x) = Arg min B0′ (t)l0, u ,u∈P (t)17l0 -ãäåìàêñèìèçàòîð â ïðåäûäóùåì âûðàæåíèè.Íî ïîñêîëüêó ðàçìåðíîñòü ñèñòåìû âåëèêà, äàííûå âûðàæåíèÿ, íåñìîòðÿíà ñâîé ÿâíûé âèä, îáëàäàþò áîëüøîé âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòüþ.