Топологические и траекторные инварианты интегрируемых гамильтоновых систем

(')(-ПОВЦ КЯЧЕСТВ((ИВАМИ ' ТВ( 1)11И ДИНЗЛ4И'~ВСК11Х СИСТВМ бЫДИ ЗЛО;КОНЫ В 1))1- ООтВх ПУВн)((п)н, .ЧЯпъ"ИОВ(1 и Б11РХГОфВ ~8, 28, 441. В~.)кнОС нн~~~ВВЯ()- ДИНПМИЧССКНХ СИСТСМ СВЯЗ((НО С ПОНЯТ)1СМ Г~)УООСТ11 ВЙКТОРНЬ(Х ПОЛНИ. ВВ(.ДС НОМ П )ПНОМ П ~)ЯбОТ(; АНД~)ОПОВЯ И ПОНТРЯГИНЯ. ~1937 Г.). 19()0-190) 11. ПСНКСОТО ДОК((ЗВД ПЛОТНОСТЬ ГРУ6Ь)Х ВВК10~)НЬ1Х ПОЛНИ 11В, ПОН01)ХНОСТЯХ, Зетам ГРОбЫВН Н ХаРТМан ПОКЯЗЫЛИ) ЧТО ЛОКВДЬКНЯ ГРУОО(.1'Ь ЯН.1ЯВТСЯ Т11П1Г1ПЬ1)"1 СВОИСТВОМ В Т(!ОРИИ Д1(НИИИ'19СКИХ (.ИСТВМ "ЖН')О )О '1Ь И ).)()('Т К%ЗСС ВСКТО1)НЬГ( ПОЛОЙ " ОРСИ М -11 Э а, ' ..

Р я . ЭтОт 1(лВсс ОО~)НВ7(!т пнпчстОс Отк~)ы)0() пОДмнОжсстВО и кЯзссс Вс()х НОлсй) А ОГО .), НМСПТЬ1 Я))ЛЯ)ОТ(Я ЦЗУОЫМИ. 3Т)1 ПОЛЯ Н НЮКО"1'ОРО)( (:МЫС)1() ПОХОДКИ НВ .)ЯНМЕПТВ1 Я))Л .) (. Гр()ДИСПТПЫВ, ОПЯ Г.)ВД11011ТНЙ-ГОДОбНЬ1. В 19бОГ. ПВЙКСОТО ~43~ КЛПССИ- фипи~)Онял пОяя ",АО~) сй-С'м()11лп, ИВ. дВ~-мВрнь(х кОмп)1ктных мн01 ОООрВзи- ях„затем В 19И Г, Ъмжнск))Й дэл )(л)1ссифнкяцию пОЯОН МОрсй ( 'мсилВ нй т))(хмР1)пь(х кймп)) кт)(ых мнОГОООРВВНЯх .)О~. ВОНРОс О ГО11ОЯОГИ'10скОЙ '1 РВВКТОР)1ОЙ КЛЗ(:СифИ1(сьП11П ДИ11ВМ1('-(ВСКИХ СИСТВМ РЙЭДИЧНЬЕХ ТИПОВ Об" СУ)1(Д3.1СЯ ))О МПОГИХ Р36ОТЯХ, Б '1ВСТНОСТИ, В ~2, 3~.

Б няс""Оя1ппРн д)1(.'сс~)тзци11 Р))(:(.'мВщ)НВВВТ(:я Вй)кный клас динйми- ЧЕСКПХ СИСТЮ1 — ГЯ.МИ.,1ЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ. КОТО1)Ь1М СООТВ(.тСГВУК)Т Так НЯЗЫНВ()МЫЕ КОСОГРВДИЕПТ11ЫС ПОТОКИ. 1'ВЗ111ЯЬТОНОВЬ) С11СТСЬ1Ы ИГ~)Н1ОТ Н(Ы((ПЪ|0 РОЛЬ ЙО МНОГ'1Х СОП1)ВМВННЬГХ ЗЗД(1ЧЭХ фИВ11КИ И ЫВХЙНИКИ. ПОЗТОМУ Н ПОСЛ(.ДНВ(. В()(МЯ СИЛЬНО ВОЗ()ОС 11НТ( 1)ВС К ИХ 1(З) *101(1110.

Д11ССНРТЙЙИЙ ПОСВЯП1ВНВ ВОН~)ОС()М Я)1~'НК.'1)1СВОЙ И Т~)ВВКТОРНО11 КЛЙССИфНКМПП1 11нт(т1)11~)~Вмых ГнмнльтОИОных систем (ЕГС), ИнтВГ~)и$)~емь1() ГймияьТОНОВЫ С11СТНМЫ НВ ЯНЯЯН)ТСЯ (;1'1).'('Е'1'7'РНО УСТОЙЧИВЬП4Е ДИНЯМИЧ()(,:К11МЕ 011СТ();П(М)1. Н Об(Ц)1() ПР11С~ЯЫ И МЕТОДЫ, РЯЗ1~НООТВННЫ() ДЯЯ ЯОКВЯЬНО Г~"- ОЫХ ПО)1('Й( ЗДССЬ Н('. П1)ИМ(;НИМБ~., ПОВТОМУ ОДИИМ ИЗ ПВ.)Ь.НЫХ Н117'1НЫХ НВПРВВЛСНИЙ ЯНЛЯВТСЯ РВ~~)ВЙОТКВ НОВЫХ ПОДХОДОВ К КВЧВСТВВННОМ~' ИВУ- "1СНН10 ИНТВРРИ~)УРМ1йХ ГВМИЯЬТОПОВЫХ ()ИСГ(',Ь(. ()ДН11М НВ ОСНОВНЫХ РВ- з~'льтзтОВ тут ЯВлЯВ"1'СЯ т()О~)см)1 Л1ГУВНДЛЯ) УтВЮ~э)ко)ОЩВЯ, "-1тО н(:ОсО- О))А 1й)МПЗКТПГЯ ПОВСРХ)(ОСТЬ УРОВНЯ ПВРВЫХ ИНТЮГрйЛОВ ИНТВГРИРУЕМОИ - А)(нльтОЙОВОЙ систн4ы яВяяВ'1ся и(."ОВязны)( ОМ ВдинВпиОм тО~)ОВ (' НВВ; З11П()~И.(ОД1Г1ССКИ) 111 Т~~З ВКТО~)ИЯМИ НВ НИХ, П Ф.".ТЬ,'И вЂ” " СИМП.И! ,11 4: 1плекти*1искос мнОГОобр0377В с еим11дектнческОЙ струк- 1:, — " С7 Н вЂ” - ГЗ.МИЯЬТОНОВЬ СИСТЮМВ НЗ:.

11СМ„ИНТВГРИРУВИЗЯ ПО З урои 7~., у = ЯЯГ — ГЗХ ,ДИУВИЛЛ7О ПРИ ПОМ 1ощи допо1ппГхФльнОГО интОГфэяъ Х', почти Всюду нс- ЭЯВИСИМОГО С ГВМ17ЛЬТОНИЬ1ИОМ .с . ' Они' иом Н. Гамияьтйниап тькжо '-1йсто наэыВВк7'Г Зй.ЗЯ~ЗИМ, Хорошо нзВзст11О, 7 Го уравнониЯ ДВижениЯ 1це РДОГО ТВЯВ моГ'~'т бь7ть прйДстаВЯсны В Г17миль'тонОВОЙ формВ. И райото ~бд ; 'М.П. ХЩ~ламОВ про- ВЕЛ Ей'1ВСТВСБНЫЙ ЯНЗ 7ИВ ИНТСГРИЯ ВМЫХ ГЗИПЛЬТОНОВЫХ СИСТОМ, ВОЗНИ- ка1ощих В Вала'1йх динамики тВВрдОГО тсли. Он оп11С1111 Озол7оциБ) торОВ пр11 иэмснснии эиичинии псрВык интс1'рз.лОВ для нбкоторык Вяж11ь1К при мсрОВ 1'111ВГрир~"жмых мсханичиских систим.

7...1с11ОВы системяти'1ВскОГО подуо,1а к иэпп'чбни1О тОНОЯОГНН интВГрируВъпъ7х Гпм11льтоно11ых систсм и к пос роин111О л11нами*18ских анадОГОВ тсории морса были п11яожзнь1 А.1'. Фомонко В д2, 53. 54. В эатсм р1ЯВ11ты В $иъботзх ФОЙ46нко, Ци- 1аьнга, МЯтпзсВП и ЬО.1синОВа ~9, 51~, В этих работах была построе11и ТВОР11Я '1И71071А,'ЮЗОВ 'КАОСС71ф717СО77071 ИНТЙГРИРУСМЫХ ГЗМИЯЬТОНОВЫХ СИ" стзм.

О1'р11нн'1Внных на нсособыи компйктньы пОВВРК11ости постОЯ1111ои энВРГН11 1 713О.'и1срззли1%сс7771с 110ВОрхности ~ «.~7, = -1х ~ ы~ ~ 1:1 1Я1 ~ $3 11р11' этом прсяполй1 ззтся, чтО систсми, ОцжничРнняя 11а ~~~, удОВлитВО" ПЯРТ НСЕО ОПЫМ РСТВСТ77ЗНЯЫМ УСЛОВ11ЯМ 1ТОЧНУ1О фОР1ИУЯИРОВКУ СМ. В ГЯ. 1,!. ОЯ11О иэ УО11ОВий УслОВНВ 'кзрсЗОнпйсжос7Й71, котОРОВ Йчн77чаР1"„ чтп В ф, Бс1оду 1120'111ь1 'тбры ЛИУВиллЯ с иррап11ональ11он ОомОткОИ.

7 и" СТВМЫ, удОВЛВТВОря1ОПП1С ВСВМ уСЛОВИЛМ. НВЯЫВЗЛОТСя 11ППЬ1ро:~СС1В71йЬ1 7171, От.,7ет11м, 1то болыпнпстВО ипВсстных мскйииниских систим ЯВЯЯИ1ГОЯ нВВыроэедВнными ни почти Всих ииоэн811ГВти'ыск1пс пОВс0хностях. 1..7прсделенио. ДВО ИСВырождинныи снстимы у и у' ни пОВВрхностях пос1'Оя1111ои Пни!р1'ии (з7 и ~7' няэыВВ1отся .7ц7ф77„7ясзо ~7со71опяс717п77ы.фф71, ссяи с";шсстВуст сохраняк7щий Ориентацм1О Гомеоь1орфизм, переВОдящий Ц м 1-,7' и сохрЯПЯ7Й1ции Яь77В71Я.~ВВО слоп7171с этих мнОГООбрйэии ~т.о.

раМИВИИВ на сВяэныо еомпОнинты пОВерхнос'1'Вй урОВня допОянитсльпых 17нтпГРВ,.1ОВ',. 3 соотпстстВии с теор17з11 ли~Вил.~ВОЙ к~ассифики7111и7 ка.~лой нсВыро.:кдзпнОЙ ннтВ1рируВмОЙ ГъыильтонОВОЙ систсь1с у, ОГриничинной на НОВВэхность урОВня ГВмиль1'11ниани Щ,, сопостдзляЮтся 71ЙЗйф71пй771 0~О416Н7СО-"ф1711П71НЯ„ИЛИ А4СЧСЙОЯ,ЙОАСК774Я 11' Я~,У) Г~)11ф, ОПИСЫВ11" 7ощи11 ле'~'В11ллВВО сый'.ИИВ изоэ11О$1ГВ'Гинеско17 ПОВЮрхности Я~,.

Цри этом 'Е й1~~7ЛУ С 7~7И7Я77й~ 'ЗЗ ~З~ 7й~й~ ~ ~~~йф77йй71ЯЯ' З ЗН7З~З71 1~~ Ч~С7Й УЯ~7~йб 7ХЗ ~СЗ 7 йр- МЗЗ "Т6ЕИЕЛ 'И)ЗОЗОГЯ ЧЬСЕЗЗ КЛЯСС11фККЗЯЙ71 Д~УЯ)) П МЕРНО И, О'МВИЛНО ДНФФООМОРФНО ~~Р ОК)УВСТНОСТИ ' ~ ) ПРИ Ь' О) 67ИО6Я66КВКВВ,ИО446МТИО,В" . "~ (О ~ -ф Я, . (у)— 1 ',* ° .,~'а( )~. В ' Ю ОЧФ(МДЬ В СООТВВ'ГСТВИИ С ГОЛЕМОВ ДЦ~фОМОяннО-ЭлиассОИВ -3 . 3 116 34~„06РЭЗ ОТОб~ЗВВ~ВНИЯ МОИЮНТЙ 7(~7(В)) ДИфВЪ И >О ~ >0~~ %"' фВОМОрфВН ОКРЕСТНОСТИ НУ.%Я МНОЖССТВЗ (Ф~~-~ ~~ О, М~, ~~ 0~ С % ', 11~>В ЭТОМ ВН"~'ТРВННН6 ТОЧКИ Яки этОЙ Области сООтВВтстВуют нВОсОбьхм й- мбрньРА лиуБВллбйым тОрам, я. 1, Я. Г~МННЧНЬП.' — ОСООЬТМ О~ЭбБ'ТЗМ МВКЬПН!Й ~)азмВРНОсти„' 'ГОЧкй ~ (О ... О) СООТВВ'ГСТВУСТ Й-ЫОРПОИ ЭЛЛИ~ТИЧССЕОЙ ОР- бит6 О ОбрЯО ОООО~~ Офбнт при ОтООра'кбнии Р нйВь~ВВВтсЯ бЪфффкО'ЧВОнкбб дь6~~)6мм4ОЙ и О~~Озндяастся -г.

7" На мнОЯ'~ «"166 нсОсООык ТОРОВ АНУВНЯЯЯ ОпД6ДВлснй н~прОф~ВнаЯ (Гязлкзя й сл~"1йе Н б С' „~ п~эОектБВная функция В$6$люния ~, РВВнаА ОтБОшен1пО частОТ квазипериОДНЧВского движения ПО ИВОсОбым торам Ли- ~'ВИЛЯЯ: ~~ = ( ~': -.: О"), ИЗ НСВЫРОЖДОННОСТН О~~ОНТЫ О СЯЕДУОТ., ЧТО кОордннаты ф~~нкпни ВРВпВ.ннл не мОГ~т Обрыпаться В наиль ОднОВрОменВО. +Гй ф~'нкция, ОднакО ОпрВдблбнй нс ОЯВОэначнО 3 с тОчнОстью дО ВЫОО~ЭВ 6~~ВО.~ ЦИГ~ОВ ~ ~ ОРбИТ6 О ~'~ М Г~ 3) ПО НРП~И*$)ЬХВНО~ ТИ ф~НК- ПНЯ 6 ПРОДОЛ~КВВТСЯ На ВС~О ОбЯВСТЬ б', ПОСКОЯЬК~ ЭТй ф~йКЦИЯ ВВВНСИТ ГОлькО О г тО~~а„тО 66 мО~кнО РассматриВать как функпн~О, Вйдййну~О йй ЯНУВИЛЛ~.'.БОМ СЛОВНИИ В(С(О» ).

В ГЛВВР 3 ДОка;и.на ОЛОДУЮ1ДЗЯ ОснОВНВЯ 'Х~;"О~~ОМН О.О.2 ~~~~ /~ Д66 ~6~~66Оабнсйь~6 Онп~бб~~~ф~ 6.Вы6 Вййнльп~ОйООЬ~ Сь6766МсМ "~' В Ъ" С И СУТЖПВНЯММ 660ббдИ КВЩИЩ|6НО ~~'.ЛЯдБХ~~ БА~ЧХ6ЖЙЮф- '60;.%6В664ИИЙИЫ 6 2П-МВЯИО6 ОЯМЛРНОЛ7$В;,~ЛЛИИУИВЧВСКИХ ОфбЦЛ1 О Ч «У' О;О-..дб В ~ПОЛ~КО ~~О~д6, ~66дО Сф~б~::~йбфб~й ~ОЛГО.~~ОффНЗй ~'дВффВО,.ЯоВфй~~, ~;~ 1,-.Я~.~~Н~6~ л~~был ~66ь~Г слОс~~~й 6(1~(О',) ~~ Л'(('.''(О')), 66ЯО- дй~ОЪ~ВЙ СЛСЗДЮФ~ММВ 66ОЙСП266 КВ: СОХВЙЙЯЮЪ ~ЙФ'В 7ВОЧВ'И В' Ь (О) ) В В (1-' ' О ) 1„, ф,ОГРО~~ЯВ~й ффйк~В~О 6~~6~~~са~~,, ~й.6, ф'Р' = ф й~н НР~~йО~О.~ 66~- Й7,6 663ВСО6 ЦФК,ФО6 НО ОрбМР~ОЗ О М О', 1' йк У2к6 ОхмОчалОсь, В ИВРЮЗОнйнснОМ ся~чВВ п~)ОстраБстВЭ В~б' (О)) А В (~~ (О ) ) ОП~~ВД6ЯВНЬХ ИНВВРИЗНТНО ОТНОСИЧ'( ЛЬНО ВЫ6Оф8 ДОПОЯНИТЮЛЬНЬ".Х ИНТОР~ИЛОВ Р~~,..., Рр Н, СЯРДОВВТВЛЪНО, С)ЧЦВСТВОВНННВ ОТОб~ЭЙЛЖВНИЯ ф ОПРВЛЮЛЯВТСЯ ТОЛЬКО ГВМПЯЬТОПИВНОМ, ОДНЙЖО ДЯЯ ПРВКТНЧ6СКОЙ НРОВВРКН КРНТЮРНЯ Т~ЗВВКТОРНОЙ ЭКВЕВЙЛСПТНОСТИ УДОбНРЕ ПЮ~М!ЙТИ ОТ ОХООрбяГщцф ~н у Вн ~уярВы~ ( щений к ОтОбраяяънняь$ э.1 7~ 1 нныя и 1 Обр.~"~нк ОТОбр42ЕЕНИЙ ЯОМВНТОВ.

11.3, Чую(',,~66 )(6~)СЗОЙЯЙСЙЫ6 ()ЙТИЯР~~И~)УЯМЫ6 ЯЯМЯАЬ7ДО СЛЯДЯ'ГВ ИЯ О. « ~,,у, у,Д6 ')ДСД6Й 4МЙ СЯООООЬ) ЙЯД~РВРЬ(ЯЙО )'6АЯдБ0~ 7Дф'ЯИООЫ С)(С)1)ЯМ)Я Ъ" 1Ю 'У С )$ С)ДСД . 7Ф ~".К ба)(О ЭКб)160.46Й77(Й(Й б ОЕ~Р С ОЙ~76СХД)4ОС771(1:)ААЗД(Д(1)(()СК((Ж О~У6Й)7), 1.7 (1 О )дОРдЯ и 7ЯО,ЛЬКО )ЯОЯОЯ, ЙОЯдй С(71ЦОС7(16ДЯТй ГОМЯОМОрфФЗМ ~дИ(1)фВОМО~)- 7)Ф*.'(Я(1 й6))ОЩ(л)О)1 71-М6~+)ЙО(( ОЯ~6077)ЯОС7ДИ 7ЯОЧКЯ ДР— — Р(О) ЙЯ 71-М6ЯЙ(7(0 ЯЮ~И"'.677(Й0(Г(ДЬ )7Ю'ЧЕ(1 ~ф =- =. К ) (.) ) 00.4000)О(ЦИЙ С.46дд~)0(ЦЯМЯ 060ЙС$'дВЯМ11.' )Р СОХрйй)(6)7) 7ДЯД ТДОЧЬ)~; О))70фЯЖВИ((А .((О.((СЙ7ДЯ; :.) "()ХОЯ)()(~'-:)Д ф(/Й)(1111)0 6~ЦИЦСЙ(1)(, 771.

6. ')Р ~)(:- 7) Щ11 Й6)С07й~фОМ 6Ы (:(",)Г 6(10)((б6 ЦЬ)(406 ЙЯ О~)07(()ДЯХ О И О . ДЛ)1 Н~..'(.1'~:-:1111ЖТЬ11ЫК Б6~)Р-)011(1НСНЬ)Х 1111Т81 ~)НРЪ()НЫХ РЗЫИЛЬТОНВВИХ ('11СТЯЬ; (.',Л()УМЯ С'Г671()1()(А111 С307)ОДЫ В ОК',)ЯСТБОСТ11 ЯЛАИПТИЧ6(:КОИ ОСО:~ОЙ 7О 1КН (.) — -- .1)) ~0~)())'"ГЫ ~)11111-й ()',~ У~(46ГС)( 110С~~01ГГЬ 110'1НЫЙ 'АЯдЬ)1(41 71ЯГ1("Г()))11Ы11 Г(НВЙДИДНХ'. ОО1163 0"ГЯ6))сйЕ6ННЯ ЫОЬ(011ТЙ 7( 'Ъ" ЯУ) СЛ7"'1В6 Д11ффГО;10~)ф(Н 01(~)('СТН()(:ГК 11Чй)1 У(ЛЭ. ~111 -3: О,(1' .3 6~ С Р', 3. ()11- ф) 01(й117)ОБН(Л Д1(ЯГ~)461И6 ' ' Э ГО Об,.)1)ЗЫ (.,'70~)()И АГЛЯ, 1',С, 1166 К~)ИВЫС, 1)ЫХО '(Г)П1116 Т1)ЙН(:ВР~)С)ИЬ)10 11') 1)(.'1)ШИНЫ 'ХЯЧК11 )7) — ж, ХО ).