Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 14

Поэтому, можно ожидать, что уравнение (3.4.1) определяет частоты как минимум четырех поверхностных волн– двух нормальных и двух аномальных. Таким образом, общий анализ решений уравнения (3.4.1) представляет собой трудоемкую задачу, которой мыздесь в полном объеме заниматься не будем. Ограничимся только некоторыми предельными случаями.При выполнении неравенства k z r2  1 , имеемQ23 ~ exp[2k z (r3  r2 )] .(3.4.4)87Поэтому в коротковолновом пределе, когда выполнено неравенствоk z (r3  r2 )  1 , правая часть уравнения (3.4.1) экспоненциально мала, и диспер-сионное уравнение (3.4.1) распадается на произведение двух дисперсионныхуравнений, уже исследованных нами ранее.В противоположном длинноволновом пределе k z R  1 дисперсионноеуравнение (3.4.1) преобразуется к виду r2 ln k z r22 ( r  r )  k 2 r ( r  r )  iz 01 011 2 01  r ln( R r4 )2s  4 2 i  (r4  r02 ) k z r02 (r02  r3 )r2 r01 22 2 2 ir3 r02  k z r01 (r2  r01 ) k z r01 (r01  r1 )s s (3.4.5) r4r3ln( R r4 ) ln k z r3  i s  .(r02  r3 ) (r4  r02 )При анализе уравнения (3.4.5) исходим из предположения, что при k z  0имеются два решения: одно   0 , другое    p 0 (сейчас рассматриваютсятолько нормальные поверхностные волны).

Начнем с первого решения. Используя то, что при   0 существуют пределы r01  r1 и r02  r4 , упростим(3.4.5) следующим образом: rr r4 ln( R r4 )  r1r2 21   2 1  1 2  i s  0 .(r4  r02 )  r3 r4  k z r4 (r4  r3 )  r3 r4 (3.4.6)Из уравнения (3.4.6) с учетом второй формулы (3.4.3) для частоты имеем p02k z r3 r4  r1r2 ln r1r2 R 2 .1  i k z r4 (r4  r3 )1 r4 4 r3 r4 (3.4.7)Спектр (3.4.7) имеет структуру (3.2.10), т.е.

определяет поверхностную волну, «привязанную» к внешней размытой границе плазменной трубки r3  r  r4 .Рассмотрим теперь второе решение. Используя то, что при    p 0 существуют пределы r01  r2 и r02  r3 , упростим (3.4.6) следующим образом:r r rrr22ln( r3 r2 )  2 2 4 1 3 i s  0 .r2  r01k z r2 (r2  r1 ) r4 (r2  r1 )(3.4.8)Из (3.4.8) с учетом первой формулы (3.4.3) находим выражение для частоты88r1   p 0  1  k z2 r1r2 ln r3 r2 1  i k z2 2 (r2 r4  r1r3 )  ,42r4(3.4.9)имеющее структуру выражения (3.3.4). Таким образом, спектр (3.4.9) определяет поверхностную волну, «привязанную» к внутренней размытой границеплазменной трубки r1  r  r2 . А при r1  r2 и r3  r4 , спектры поверхностныхволн для плазмы с размытыми границами переходят в спектры (1.3.20) поверхностных волн для плазмы с резкими границами в цилиндрической геометрии.Подведем некоторые итоги.

В плазменном цилиндре с размытыми границами помимо обычных (нормальных) поверхностных волн имеются неописанные ранее (аномальные) поверхностные волны. В пределе плазмы с резкими границами бесстолкновительное затухание нормальных поверхностныхволн исчезает, а бесстолкновительное затухание аномальных волн неограниченно возрастает. В длинноволновой области аномальных поверхностныхволн нет, а декремент затухания нормальных поверхностных волн мал (стремится к нулю при k z  0 ). В области коротких длин волн декремент затухания аномальной поверхностной волны может быть меньшим, чем декрементзатухания нормальной волны.89Глава IV.

Поверхностные волны в плазменных системах с плавнымиграницами во внешнем магнитном полеВ данной главе выводятся дисперсионные уравнения и исследуютсяспектры частот поверхностных волн плазмы с плавными границами при наличии внешнего магнитного поля. Проводится сравнение с ранее полученными результатами.§4.1. Основное уравнение теории поверхностных волнв магнитоактивной плазмеРассмотрим плоский слой холодной электронной плазмы, неоднородный вдоль оси x и помещенный во внешнее магнитное поле направленноевдоль координатной оси z [81-84]. Вдоль оси z плазма является однородной.Исходим из следующих уравнений холодной многожидкостной гидродинамики для электронной компоненты, отличающихся от уравнений (2.1.1) учетом внешнего магнитного поля B0  {0,0, B0 } :Ve1 V    V     V B 0 ,tmсn n  V   0,t  4e(n  n0 ( x)) .(4.1.1)Линеаризуем систему (4.1.1), пренебрегая квадратичными по возмущениямVx , V y , Vzи n~  n  n0 ( x) членами и предполагая, что  y  0 .

Таким образом,получаются следующие уравнения:V yVxe Vze   eV y  ,  eVx  0,,tm xttm zn~  n0Vx   n0Vz   0,t xz22  4en~.x 2 z 2(4.1.2)здесь e  eB0 mc - электронная циклотронная частота. Поскольку коэффициенты уравнений (4.1.2) не зависят от координаты z и времени t , ищем их решение в виде90n~  n~ ( x) exp( i t  ik z z ),Vx , y , z  Vx , y , z ( x) exp( i t  ik z z ),(4.1.3)   ( x) exp( i t  ik z z ) .Подстановка выражений (4.1.3) в уравнения (4.1.2) дает следующий результат: iVx   eV y  e ,m x iV y   eVx  0 iVz  iek ,m(4.1.4)d i n~  ik z n0 ( x) Vz  n0 ( x)Vx   0,dx2d  k z2  4en~.2dxВыражая из первых трех уравнений системы (4.1.4) скорости Vx , Vz и подставляя их в предпоследнее уравнение, получаем выражение для возмущенияплотности электронов плазмы n~n~ ( x)  n0em2k z2 ed  d  n0.2m(   e ) dx  dx 2(4.1.5)Подставляя далее выражение для возмущения n~ в последнее уравнение системы (4.1.4), получим уравнение для потенциала  ( x)   , x 2 p2 ( x)k z2d 2d  p ( x) d2, kz   dx 22dx ( 2   e2 ) dx(4.1.6)которое можно записать в следующем виде:dd  (, x) k z2 || ( , x)  0 ,dxdx(4.1.7)где  ( , x)  1  p2 ( x) p2 ( x)и(,x)1|| 2   e22(4.1.8)- поперечная и продольная диэлектрические проницаемости холодной электронной неоднородной магнитоактивной плазмы [68].

Заметим, что в отличиеот величин (1.2.2), диэлектрические проницаемости в уравнении (4.1.8) зависят от координаты x (через плазменную частоту).91Пусть в области неоднородности плазмы (в области плазменной границы) ленгмюровская частота электронов монотонно изменяется от нуля до некоторого максимального значения, т.е. 0   p ( x)   p 0 , где  p 0 - постоянная.Тогда, для частот из диапазона, задаваемого неравенствомe2   2  e2   p2 0   2g 0(4.1.9)уравнение (4.1.8) имеет особую точку x  ~x0 () , определяемую из уравнения  (, x)  0 .(4.1.10)Легко видеть, что особая точка попадает в область плавной границы плазмы.Если в окрестности особой точки   ~ x  ~x0 , то, как известно из теории дифференциальных уравнений [77], одно из линейно независимых решенийуравнения (4.1.8) имеет при x  ~x0 логарифмическую особенность.

(Анализобхода особой точки был проведен во второй главе).Из уравнения (4.1.7) следует, что в области значений x , где диэлектрическая проницаемость   (, x) непрерывна и не обращается в ноль, функция (x) непрерывна вместе со своей первой производной. В точках разрыва  (, x) непрерывность функции  (x) сохраняется, а производная d dx тер-пит разрыв, так, что d  d      , dx  G 0  dx  G 0(4.1.11)где x  G - координата точки разрыва поперечной диэлектрической проницаемости.§4.2. Поверхностные волны магнитоактивной плазмы с одной плавнойграницей в длинноволновом приближенииВо втором параграфе первой главы были получены дисперсионныеуравнения и найдены спектры частот поверхностных волн в случае плазмы срезкими границами при наличии внешнего магнитного поля, направленноговдоль границ плазмы.

В настоящем параграфе перейдем к рассмотрениюплазмы с нерезкими (плавными) границами. Исследуем случай плазмы с ли92нейно-постоянным профилем ленгмюровской частоты (2.2.1) (Рис. 2.1а). Изуравнения (4.1.7) и формулы (2.2.1) следует, что в области неоднородностиплазмы 0  x   комплексная функция  ( ; x) удовлетворяет уравнениюdd(x  ~x0 )  2 ( x  x0 )  0 ,dxdx(4.2.1) 2   e2~x0  ~x0 ( )  [( 2  e2 )  p2 0 ]  , x0  x0 ( )  [ 2  p2 0 ]   2  k z2.2(4.2.2)гдеПри изменении частоты  в диапазоне (4.1.9) особая точка ~x0 перемещаетсяна оси x в пределах плазменной границы 0  x   . Общее решение уравнения(4.2.1) выражается, как известно, через вырожденную гипергеометрическуюфункцию и функцию Лагерра [85](см.

далее). При ~x0  x0 , т.е. при e  0 , общее решение есть линейная комбинация функций Инфельда и Макдональда,как и было показано во второй главе. Возможностью построения аналитических решений и определяется задание профиля плотности плазмы в виде(2.2.1).В областях однородности плазмы из (4.1.7) для потенциала имеем следующие уравнения:d 2 k z2  0 , x  0 ,2dxd 2  2  0 , x   ,2dx(4.2.3)где величина  введена в уравнении (1.2.1). Ограниченное на бесконечностирешение уравнений (4.2.3) записывается в виде A exp( k z x) , x  0, B exp(  x) , x  (4.2.4)а решение уравнения (4.2.1) для длинноволнового приближения (k z   1)оказывается следующим (см.

процедуру построения решения уравнения(2.2.2)):x0  x),ln( ~~ln( x  x0 )  i s,  C F ( x  ~x0 )  D, F ( x  ~x0 )   93x  Re ~x0,x  Re ~x0(4.2.5)здесь C и D - постоянные.Сшивая решения (4.2.4) и (4.2.5) на границах x  0 и x   с использованием условий непрерывности  и d dx , получаем следующую системууравнений:A  C ln ~x0  D,1kz A  C ~ ,x0(4.2.6)B exp(  )  C (ln(   ~x0 )  i s )  D, B exp(  )  C1,~x0из которой, после исключения произвольных постоянных, находим дисперсионное уравнение~x011lni s  0 .~~~ (  x0 ) k z x0x0(4.2.7)Подставляя в уравнение (4.2.7) величины (4.2.2) и (1.2.1), запишем дисперсионное уравнение в следующей форме: p2 0 ( 2 (1   ||   )   e2   ||    2g 0 ) ||   ( 2   e2 )( 2g 0   2 )  2g 0   2 k z  ln 2i s 0.2  e(4.2.8)Видно, что если в уравнении (4.2.8) положить  e2  0 , то оно преобразуется вуравнение (2.2.7).

При решении уравнения (4.2.8) следует иметь в виду неравенство  ||    0 , которое следует из того, что потенциал (4.2.4) долженстремиться к нулю на бесконечности. Также дисперсионное (4.2.7) уравнениеможет быть записано в виде: ||    ~x 1  k z (  ~x0 ) ||  ln ~ 0  i s   . x0(4.2.9)Можно заметить, что при резкой границе плазмы дисперсионное уравнение(4.2.9) переходит в ранее полученное уравнение (1.2.5).Будем решать уравнение (4.2.9) методом последовательных приближений по малому параметру k z   1 . В нулевом приближении, пренебрегаяправой частью в уравнении (4.2.9), имеем уравнение (1.2.5), т.е.

в нулевомприближении  2  2g 2 . Подставляя далее это значение в правую часть94(4.2.9), получаем следующее уравнение первого приближения: p2 0   e2   p2 0   e2 ||1 ln, 1  kzi2 p2 0   p2 0   e2(4.2.10)или, с той же точностью,  p2 0   e2 1   k z   2g 228  p 0 2 2g2  p2 0   e2 lni .22  p0e(4.2.11)Окончательно из (4.2.11) получаем искомое выражение для частоты поверхностной волны магнитоактивной плазмы в длинноволновом приближении:2  p2 0   e2    p2 0   e2  g  1 .1  kz lni 2222 8p0p0e (4.2.12)При  e2  0 решение (4.2.12) переходит в полученное ранее выражение (2.2.8)для плазмы без внешнего магнитного поля.