Диссертация (Многопараметрическая оптимизация лазерных интерферометрических детекторов гравитационных волн), страница 7

Тогда полная восприимчи(Ω)вость разностной механической моды с приведенной массой m имеет вид:χ−1MI (Ω)2= −mΩ + KMI (Ω),38гдеmJ MI δKMI (Ω) =.(Ω)(1.48)Рис. 1.8. Принципиальная схема непрерывного линейного измерения.1.6. Общий взгляд на линейные измеренияРассмотренные оптические измерители смещения объединены набором общих принципов и закономерностей, которые распространяются и на другие схемы, осуществляющие квантовые линейные измерения. В настоящем разделе будут освещены ключевые моменты теории линейных измерений, подробное изложение которой можно найти в [31, 32, 41–43, 56–58].Любой из рассматриваемых в настоящей работе детекторов может бытьпредставлен в виде двух взаимодействующих подсистем: пробной механической моды и наблюдающего за ней измерителя, роль которого играет свет (см.Рис. 1.8).

Механическая подсистема испытывает на себя искомое сигнальноевоздействие G и неизбежно подвергается влиянию силы обратного влияния F̂b.a.со стороны измерителя. Будем под x̂ понимать смещение пробной подсистемы,а под ô — какую-либо квадратуру света, непосредственно измеряемую во времяэксперимента. Тогда при линейном взаимодействии подсистем в пространствечастот Ω можно записать следующие уравнения эволюции линейных наблюдаемых (см. к примеру [32]):⎧⎪⎪⎪ô(Ω) = ô(0) (Ω) + Ro (Ω) x̂(Ω) ,⎪⎪⎪⎪[︁]︁⎪⎨x̂(Ω)=χ(Ω)F̂(Ω)+G(Ω),⎪0b.a.⎪⎪⎪⎪⎪⎪(0)⎪⎩ F̂b.a. (Ω) = F̂b.a.(Ω) − K(Ω) x̂(Ω) ,(1.49)где функции Ro , χ0 и K описывают отклик наблюдаемых одной подсистемы(0)на изменение параметров второй.

Операторы ô(0) и F̂b.a.отражают собственные39эволюции соответствующих наблюдаемых измерителя, а собственная эволюциясмещения пробной системы из рассмотрения исключается. Оценка сигнальногосмещения пробной системы xG осуществляется по измеряемой наблюдаемой ô:ôô(0)̃︀x ≡ ô ==+ x̂b.a. + xG ≡ x̂meas + x̂b.a. + xG .R0R0x(1.50)Хорошо видно, что оценка ̃︀x зашумлена обратным флуктуационным влияниемx̂b.a. и собственной эволюцией наблюдаемой измерителя x̂meas ≡ ô(0) /R0 (уже из-(0)flвестный измерительный шум).

Тогда F̂b.a.= F̂b.a.— шумовая составляющая силыобратного влияния, χ0 — собственная восприимчивость пробной механическоймоды, а K — оптическая жесткость.Решение системы уравнений (1.49) выглядит следующим образом:[︁(0)(0)F̂b.a.(Ω)]︁ô(Ω) = ô (Ω) + χ(Ω) Ro (Ω)+ G(Ω) ,]︁[︁−1 (0)F̂b.a. (Ω) = χ(Ω) χ0 (Ω) F̂b.a. (Ω) − K(Ω) G(Ω) ,[︁ (0)]︁x̂(Ω) = χ(Ω) F̂b.a.(Ω) + G(Ω) ,defпри χ−1 (Ω) = χ−10 (Ω) + K(Ω) ,(1.51)(1.52)(1.53)(1.54)где χ — полная восприимчивостью механической моды, учитывающая оптомеханическое взаимодействие. Подобно оценке смещения (1.50), на основе измерения наблюдаемой ô строится и оценка сигнальной силы G:ôF (Ω) =ô x (Ω)x̂meas (Ω)(0)=+ F̂b.a.(Ω) + G(Ω) .χ(Ω)χ(Ω)Опираясь на общее представление спектральной плотности (1.16), для полного квантового шума, приведенного к эквивалентной сигнальной силе, можнозаписать:[︃]︃[︁]︁S xx (Ω)S xF (Ω)FFF= S meas + S b.a.

+ 2Re S cros ,S (Ω) =+ S FF (Ω) + 2Reχ(Ω)| χ(Ω) |2F(1.55)где S xx , S FF и S xF — спектральные плотности измеряемого смещения, силы обFFFратного влияния и их перекрестная корреляция, а S meas, S b.a.и S crosобозначаютте же спектральные плотности что и в выражениях (1.19), но в единицах силы.40Решение (1.53) делает очевидным соотношение между спектральными плотностями, приведенными к эквивалентному смещению и эквивалентной силе:S x (Ω) = | χ(Ω) |2 S FДля спектральной плотности, пересчитанной к эквивалентной вариации метрики, в общем случае механической системы с приведенной массой µ, котораяиспытывает действие приведенной приливной силы Gµ , будет справедливо:S F (Ω),S (Ω) = ⃒⃒⃒ K (Ω) ⃒⃒⃒2hгдеGµ (Ω) = Kµ (Ω) h(Ω) .µСпособы нахождения Kµ обсуждаются в Приложении А.2.

В случае пробноготела m, удаленного от наблюдателя на расстояние L, на основании (1.4) имеем:S h (Ω) =4S F (Ω) .224m LΩЭто же справедливо как для интерферометра Майкельсона, так и поляризационного интерферометра Саньяка (рассматривается в Главе 4), в плечах которыхрасположены пары пробных тел с массами m на расстоянии L.В заключение раздела сделаем одно замечание. Из общего рассмотренияпроцесса линейного измерения следует, что для спектральных плотностей измерительного шума, шума обратного флуктуационного влияния и их перекрестнойкорреляции выполняется неравенство Шредингера-Робертсона:h̄2S xx (Ω) · S FF (Ω) − | S xF (Ω) | > ,42(1.56)которое является прямым следствием принципа неопределенности Гейзенберга.1.6.1.

Стандартный квантовый пределОграничимся теперь приборами, в которых отсутствует перекрестная корреляция измерительного шума и шума обратного влияния: S xF (Ω) = 0. В этом41случае фундаментальный предел для полного квантового шума может быть найден из (1.55) и (1.56) путем минимизации S F (Ω) для каждой частоты Ω:FS (Ω) >FS SQL;sys (Ω)⃒⃒−1⃒⃒1 2⃒≡ fSQL; sys (Ω) = h̄ χsys (Ω) ⃒ ,2(1.57)Fгде равенство S F (Ωq ) = S SQL;sys (Ωq ) выполняется на частотах Ωq , когда:h̄2S xx (Ωq ) S FF (Ωq ) = ,4S xx (Ωq ) =⃒h̄ ⃒⃒⃒ χsys (Ωq ) ⃒⃒ ,2S FF (Ωq ) =⃒−1h̄ ⃒⃒⃒ χsys (Ωq ) ⃒⃒ ,2и измерительный шум сравнивается с шумом обратного флуктуационного влияFFния: S meas(Ωq ) = S b.a.(Ωq ).

Здесь fSQL; sys (Ω) — амплитудный СКП измерения си-лы. Методика определения восприимчивости пробной механической моды χ(Ω)и пересчета СКП силы в СКП измерения вариации метрики hSQL; sys (Ω) приведена в Приложении А.2. В частном случае свободного пробного тела справедливывыражения (1.25). Общий же вывод из выражений (1.57) состоит в том, прибор, не обладающий внутренними квантовыми корреляциями, способен толькодостигать свой СКП, но преодолевать его.Влияние жесткости на чувствительность измеренияК настоящему времени предложено множество методов увеличения чувствительности детекторов.

Все их можно разделить на две основные группы.Первая — это методы, позволяющие преодолеть СКП системы. Они основаны навзаимной компенсации квантовых шумов благодаря использованию перекрестной корреляции между измерительным шумом и шумом обратного флуктуационного влияния (подробнее см. Разделы 1.5.2 и 1.7, а также Раздел 1.8).Вторая группа методов, к которой относится рассматриваемая в Разделе 3.1схема с отрицательной оптической инерцией, использует усиление отклика механической моды детектора на внешнюю сигнальную силу.

Ключевым здесь является то, что квантовый предел чувствительности определяется механическойвосприимчивостью прибора χsys [см. (1.57)] и, следовательно, изменение динамики системы позволяет снижать сам СКП. Так, восприимчивость гармониче42[︁]︁−1ского осциллятора, имеющая вид χosc (Ω) = m(Ω2osc − Ω2 ) , по сравнению сослучаем свободной массы обуславливает существенно больший отклик на ча-стотах, близких к собственной частоте Ωosc . Как следствие, СКП гармоническо222го осциллятора fSQL;osc (Ω) = 2 h̄m |Ωosc − Ω | в узкой полосе около Ωosc заметноменьше СКП свободной массы (1.25).Поскольку улучшение чувствительности достигается не за счет взаимнойкомпенсации шумов, а путем увеличения отклика на сигнал, оно в существенноменьшей степени подвержено влиянию оптических потерь.

Впервые подобнаяметодика была экспериментально продемонстрирована с использованием механического нано-осциллятора и микроволнового датчика смещений [59]. Околорезонансной частоты механической моды (примерно 1 МГц) была достигнутачувствительность, в несколько раз превосходящая СКП свободной массы, хотя ине достигающая уровня идеального гармонического осциллятора — ограничениебыло вызвано тепловыми шумами нано-осциллятора.Применение механической жесткости в гравитационно-волновых детекторах, учитывая размеры этих инструментов, не представляется целесообразным.Однако в качестве “пружины”, изменяющей механическую восприимчивостьсвободных пробных тел, может быть использована оптическая жесткость (см.также Раздел 1.5.3; маятниковые же частоты подвесов зеркал не представляют интереса — так в детекторах первого поколения они примерно на порядок величины меньше нижней границы рабочего диапазона).

Действие этогоэффекта в гравитационных детекторах было детально исследовано в работах[41–43, 46, 47, 52, 60], а впоследствии рассматривалось и для различных родственных оптомеханических систем [61, 62]. Нетривиальная частотная зависимость оптической жесткости позволяет до некоторой степени преодолеть недостаток обыкновенных гармонических осцилляторов — узкую полосу частот, вкоторой происходит усиление отклика системы.431.7. Корреляционные методы увеличения чувствительностиВ Разделе 1.6.1, обсуждая понятие СКП, мы полагали отсутствие корреляции между измерительным шумом и шумом обратного влияния.

Допустим теперь, что S xF (Ω) , 0, а выражение (1.56) по-прежнему обращается в равенство.Тогда поиск минимума S F (Ω) (1.55) в каждой точке Ω дает:FS opt(Ω)h̄2 | χ(Ω) |−2 S xx (Ω)=6,4 S FF (Ω)| χ(Ω) |2при S xF (Ω) = −χ(Ω) S FF (Ω).Это означает, что идеальный выбор S xF (Ω) позволяет полностью исключитьшум обратного флуктуационного влияния из результата измерения [63].

Приэтом, теоретически, спектральная плотность оставшегося квантового шума может быть бесконечно уменьшена за счет увеличения S FF (Ω). На практике получение ненулевой S xF , 0 достигается либо использованием уже имеющихся в системе квантовых корреляций (это, к примеру, реализуется гомодиннымизмерением), либо за счет создания новых (к примеру, с помощью инжекциисжатых состояний). В предыдущих разделах как гомодинирование, так и применение сжатых состояний света уже обсуждалось, однако теперь мы опишемэти методики в рамках матричного формализма, учтем различного рода потерии определим спектральные плотности квантового шума.Необходимо, однако, отметить, что квантовые корреляции легко разрушаются возникающими в системе за счет оптических потерь дополнительнымиквантовыми флуктуациями.

Эти шумы потерь создают нижнюю границу чувствительности подобных схем, которую можно оценить следующим выражением (более подробно см. [64]):⎯⎷ξ=S̃︀2SQL; sys(︃)︃1/41−η& e−2r.ηЗдесь η — суммарная квантовая эффективность детектора, r — степень сжатиявходящего света. Даже для умеренно оптимистических значений η = 0.95 иe−2r = 0.1 (что соответствует сжатию в 10 дБ) величина ξ & 0.27. Это означает44гипотетическую возможность преодоления СКП в схеме взаимной компенсациишумов только в ∼ 4 раза.1.7.1. Гомодинное измерение выходного сигнала детектораГомодинное фотодетектирование [26, 32, 41, 65–68] позволяет изменятьпроизвольную квадратуру поля и на практике реализуется следующим образом.На делителе пучка смешиваются покидающая оптомеханическую систему сигнальная волна Âô и опорная волна ALO .