Диссертация (Многопараметрическая оптимизация лазерных интерферометрических детекторов гравитационных волн), страница 8

Последняя обладает той же частотойω p и может быть получена, к примеру, отводом малой части излучения накачки.Получаемые при этом лучи измеряются двумя независимыми фотодетекторами.Разность их фототоков имеет вид:Tpî− (t) = îD1 − îD2 = i0 + îHD (t) ∝ 2 Âô (t) ALO (t) ,где усреднение производится по периоду T p = 2π/ω p , а i0 — постоянная компонента. Вторая же составляющая îHD пропорциональна амплитуде выбраннойквадратуры и содержит как полезный сигнал, так и квантовый шум:)︁(︁ sig)︁(︁ sigîHD (t) ∝ Aô; (t) + Âflô; c (t) cos φLO + Aô; s (t) + Âflô; s (t) sin φLO .sigЗдесь φLO — разность фаз опорной и измеряемой волн, а Aô; c,s и Âflô; c,s — квадраsigтуры соответствующих полей.

Для последних в силу (1.10) справедливо Aô; c,s +sigÂflô; c,s ∝ ôc,s или в матричной записи: Âflô ∝ T î и Aô ∝ Th h. Отсюда и вытекаетвыражение (1.15).Принципиально важно дополнить описание гомодинного измерения учетомнеидеальной эффективности фотодетекторов ηd < 1, которая показывает какуючасть потока фотонов фотодетектор способен успешно зарегистрировать.

Дляэтого можно воспользоваться моделью серого фильтра с пропусканием по мощности ηd , на вход которого поступает поле ô. Согласно ФДТ на его выходе ôdбудет подмешиваться дополнительный шум потерь n̂d в вакуумном состоянии:ôd =√︀√ηd ô + 1 − ηd n̂d .45(1.58)Тогда для любого однолучевого детектора (1.59) имеем:√︀√√√ôd = ηd T î + ηd N n̂ + 1 − ηd n̂d + ηd T , .(1.59)что для спектральной плотности квантового шума (1.21) означает:√︃⃦2⃦2 ⃦⃦⃦⃦2T ⃦T ⃦⃦⃦⃦⃦+HN+HT11dS =,d =− 1,⃒⃒⃒⃒22ηd⃒ HT T ⃒где î — поле на входе детектора (с учетом устройств, обеспечивающих предварительную подготовку квантовых состояний, если таковые используются), n̂ — шумпотерь в плечах интерферометра, а d2 — отношение числа потерянных фотоновк числу зарегистрированных. Состояния î и n̂ также полагаются вакуумными.1.7.2.

Использование сжатых состояний светаВыше на примере свободного тела было продемонстрировано, как инжекция сжатых квантовых состояний [63, 69–73] позволяет уменьшать квантовыйшум вообще и преодолевать СКП в частности. На практике сжатый вакуум может быть получен средствами нелинейной оптики (параметрическим преобразованием) [74, 75], что уже успешно используется в эксперименте [76–85]. Альтернативный вариант получения сжатых состояний, предложенный Корбиттом [86],основан на явление пондеромоторного сжатия.Оператор эволюции, осуществляющий операцию сжатия когерентного состояния с параметром r и под углом λ (на фазовой плоскости отсчитываетсяпротив часовой стрелки), в картине Гейзенберга имеет вид (см. к примеру [26]):[︁ (︁)︁]︁††−2iλ2iλˆ(r, λ) = exp −r â+ (Ω) â− (Ω) e− â+ (Ω) â− (Ω) eи следующим образом действует на оператор уничтожения â(Ω) моды поля:ˆ λ) = â(Ω) ch r + ↠(Ω)e2iλ sh r .ˆ † (r, λ)â(Ω)(r,Тогда для преобразования квадратур ŝ ← â справедливо:⎡⎤⎢⎢⎢ch r + cos 2λ sh r⎥⎥⎥sin2λshr⎢⎥⎥⎥ .⎢ŝ = S[r, λ] â ,S[r, λ] = ⎢⎢⎣⎥sin 2λ sh rch r − cos 2λ sh r⎦46Нетрудно показать, что сингулярное разложение матрицы S имеет вид:⎤⎡⎢⎢⎢er 0 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ .S[r, λ] = R[λ] · S[r] · R[−λ] ,S[r] ≡ S[r, 0] = ⎢⎢⎢⎢⎣⎥0 e−r ⎦Таким образом, процедура сжатия под углом λ заключается в двух поворотах иодной операции фазового сжатия.

Отметим, что степень сжатия часто измеряютв децибелах: rdB = 10 log10 e2r = r · 20 log10 e.Для учета неидеальности генератора сжатых состояний можно вновь при-бегнуть к модели серого фильтра:√ŝ = ηsqz ŝlossless +√︁1 − ηsqz n̂ s .Здесь n̂ s — дополнительный шум в вакуумном состоянии, подмешивающийся навыходе генератора сжатых состояний и эффективно уменьшающий степень сжатия. Тогда для детектора, использующего сжатые состояния света, справедливо:ô =√√︁ηsqz T S î + 1 − ηsqz T n̂ s + N n̂ + T ,Это выражение совместно с (1.58) позволяет определить спектральную плотность квантового шума:⃦⃦⃦⃦2⃦⃦⃦2TT ⃦⃦⃦⃦1 ηsqz H TS + (1 − ηsqz ) H T ⃦ +S =⃒⃒⃒22⃒ HT T ⃒⃒⃦⃦⃦2⃦ HT N ⃦⃦ + d2.1.7.3.

Фильтрующие резонаторыНа частных примерах в Разделе 1.5.2 было показано, что для сниженияквантового шума крайне полезно осуществлять фазовую фильтрацию состоянийвходящего или выходящего из детектора света. Пре-фильтрация поступающихв детектор сжатых квантовых состояний, позволяющая получить частотную зависимость λ(Ω), была предложена в [63] и более детально изучена в работах[16, 26, 31, 65, 72, 73, 87–90]. Пост-фильтрация реализует гомодинное измерение с частотно-зависим углом φLO (Ω) [65–67].47Практический способ фазовой фильтрации был предложен в работе [26] изаключается в пропускании света через трехзеркальный фильтрующий резонатор, который эквивалентен рассмотренному в Разделе 1.5.3 резонатору Фабри–Перо.Так как классическая составляющая в проходящей фильтр волне пренебрежимомала, то оптомеханического взаимодействия не возникает, а связь между квантовыми флуктуациями входящего и выходящего света имеет вид:ôFC = TFC îFC + NFC n̂ f ,measгде матрицы TFC = TmeasFC и NFC = NFC описывают исключительно измеритель-ный шум.

Дополнительные квантовые флуктуации n̂ f , некоррелированные с îFC ,добавляются за счет оптических потерь. Если за один проход луча по фильтрующему резонатору длины lFC полные потери мощности определяются коэффициентом AFC , а T FC — коэффициент пропускания входного зеркала, то полнаяcT FCc AFCполуширина полосы резонатора γ f = γ f 1 + γ f 2 , где γ f 1 =и γf2 =.4 lFC4 lFCОптическая отстройка определяется как δ f = ω p − πcn/lFC , где n — целое число.В отсутствии потерь матрица преобразования TFC имеет вид:⃒⃒2γf δfTFC (Ω)⃒⃒ = eiβFC (Ω) R[φFC (Ω)] , где φFC (Ω) = arctan 2,losslessγ f − δ2f + Ω2то есть, описывает частотно-зависимое вращение проходящего квантового состояния на угол φFC (Ω).

Точка перегиба фазовой характеристики резонатора со√︁ответствует оптическому резонансу ∆ f = γ2f + δ2f .Таким образом, при пре-фильтрации преобразование квадратур поля и спек-тральная плотность, учитывающая конечную эффективность фотодетектора, имеют вид:√ô = ηsqz TTFC S î +√︁1 − ηsqz TTFC n̂ s + TNFC n̂ f + N n̂ + T ,[︃⃦⃦2⃦⃦2 ⃦⃦21S = ηsqz ⃦⃦ HT TTFC S ⃦⃦ + (1 − ηsqz ) ⃦⃦ HT TTFC ⃦⃦ + ⃦⃦ HT TNFC ⃦⃦ +2]︃⃦⃦ T ⃦⃦2⃒⃒2+ ⃦ H N ⃦ + d2 / ⃒⃒ HT T ⃒⃒ .48Для случая пост-фильтрации будет справедливо:√︁√ô = ηsqz TFC TS î + 1 − ηsqz TFC T n̂ s + NFC n̂ f + TFC Nn̂ + TFC T ,[︃⃦2⃦2 ⃦⃦⃦2⃦1S = ηsqz ⃦⃦ HT TFC TS ⃦⃦ + (1 − ηsqz ) ⃦⃦ HT TFC T ⃦⃦ + ⃦⃦ HT NFC ⃦⃦ +2]︃⃦⃦2⃒⃒2⃦⃦ T2+ ⃦ H TFC N ⃦ + d / ⃒⃒ HT TFC T ⃒⃒ .В основополагающей работе [26] для детектора Майкельсона предлагалосьиспользовать два последовательных фильтрующих резонатора, равных по длинерезонаторам в плечах интерферометра. В случае детектора без оптической отстройки резонанс ∆ f первого фильтрующего резонатора необходимо располагатьна частоте достижения СКП Ωq , так как по обе стороны от этой точки доминируют различные составляющие квантового шума (имеется в виду, шум обратноговлияния и измерительный шум).

Второй же фильтрующий резонатор необходим для устранения слабой частотной зависимости угла поворота квантовыхсостояний, которая накапливается при прохождении светом интерферометра сшириной полосы γ.Однако последующий анализ [90] показал, что из-за пагубного влияния технических шумов применение пары фильтрующих резонаторов практически недает преимущества перед схемой с одним резонатором, но существенно увеличивает технические трудности. Кроме того, в [90] продемонстрирован эффект“насыщения” усиления чувствительности с удлинением фильтрующего резонатора.

Поэтому в настоящей работе в первую очередь рассматриваются относительно короткие резонаторы.1.8. Квантовый измеритель скоростиВ заключение обзорной Главы кратко рассмотрим принципы, положенныев основу оптического измерителя скорости пробного тела. Детектор именнотакого рода, основанный на интерферометре Саньяка, исследуется в Главе 4.49Рис. 1.9. Схема простейшего оптического измерителя скорости.Идея измерения наблюдаемой, отличной от координаты, вытекает из простых соображений: в случае, если найдется наблюдаемая, которая по окончаниивзаимодействия пробной подсистемы с измерителем окажется невозмущенной,то ее измерение позволит существенно ослабить обратное влияния — то естьудастся осуществить квантовое невозмущающее измерение (КНИ) [31, 91–94].Так, на Рис.

1.9 представлена принципиальная схема измерителя, в котором каждый оптический импульс отражается от пробного тела дважды, тем самым компенсируя возмущение его механического импульса.Однако покидающий систему свет будет нести информацию не о механическом импульсе, а о скорости пробного тела. Очевидно, что любой j-тый световойимпульс при отражении от левой стороны идеального зеркала линейно изменяетсвою фазу (1.5) в соответствии с координатой пробного тела x̂(t j ).

Через фиксированное и известное время τ этот же световой импульс аналогичным образомнакапливает информацию о координате пробного тела x̂(t j + τ) за счет отражения от второй зеркальной поверхности. Таким образом, импульс, достигшийфотодетектора, несет информацию не о самой координате пробного тела, а о ихразности — смещении x̂(t j ) − x̂(t j − τ) за время τ или, иными словами, среднейскорости v̂(t j ) [27, 95–97]. Тогда для фазы светового импульса справедливо:[︁]︁jφ̂det= φ̂flj − 2 zk p x̂(t j ) − x̂(t j − τ) = φ̂flj − 2 zk p τ v̂(t j ) .50(1.60)Несмотря на то, что понятия скорости и механического импульса близки, вобщем случае пробное тело не является свободной массой из-за взаимодействияс измерителем.

Следовательно, кинематический импульс p = mv не совпадаетс сохраняющимся на протяжении всего эксперимента обобщенным импульсом.Таким образом, детектор скорости получает информацию о величине, возмущенной на протяжении измерения, что не позволяет полностью исключить обратное влияние — несмотря на взаимную компенсацию возмущения механическогоимпульса двумя последовательными отражениями, в течение времени τ междуэтими взаимодействиями импульс обладает случайной составляющей, котораянеизбежно будет учитываться в средней скорости v̂(t j ).Если в качестве фотодетектора использовать гомодинный детектор с угломгомодинирования φLO , те результат измерения представим в следующем виде:ô(t) =ℐ̂(t) − ℐ0cos φLO − φ̂det (t) sin φLO .2ℐ0Для спектральных плотностей измерительного шума, шума обратного влиянияи их перекрестной корреляции это будет означать [32, 44, 98], соответственно:S xx = S vv /Ω2 , S FF = S pp Ω2 , S xF = −S vp , где спектральные плотности измеренияскорости S vv , возмущения импульса S pp и их перекрестная корреляция:(︃)︃1Sℐ4z2 τ2cot φLO2S,S=−S vv = 2 2 2 S φ +cot φLO , S pp =S ℐ.ℐvp4ℐ02 ω p ℐ04 z τ kpc2В случае фазового детектирования, когда корреляции между измерительным шумом и обратным флуктуационном влиянием отсутствует, полная спектральная плотность квантового шума (1.55) будет все также ограничена СКП:(︃)︃2 S pph̄mΩ2 h̄mF2 4S (Ω) = m Ω S xx + S FF =+> h̄mΩ2 .22 S pph̄mОднако при выборе оптимального угла измерения cot φLO = 8 z2 τ2 ω p ℐ0 /(mc2 )спектральная плотность принимает следующий вид:m2 Ω 2S (Ω) = 2 2 2 S φ .4z k p τF51Это означает, что теоретически квантовый шум такого детектора может бытьподавлен сколь угодно сильно путем уменьшения фазового шума используемогосвета.

Этого можно добиться, к примеру, увеличением мощности накачки илиприменением сжатых по фазовой квадратуре квантовых состояний.52Глава 2Взаимный учет тепловых и квантовых шумовВ реальных прецизионных измерителях существенную роль играет ещеодин класс шумов, называемый техническими. Они порождаются различнымитепловыми флуктуациями (к примеру, в подвесах зеркал или самих отражающих покрытиях), пролетом молекул оставшегося газа через лазерный луч ввакуумированных элементах прибора, естественными вариациями гравитационных градиентов, природными и техногенными сейсмическими источникамии т.