Диссертация (1103862), страница 3
Текст из файла (страница 3)
НаРис. 1.1-а изображена схема оптического датчика смещения: зеркало массы mиспытывает на себе внешнюю сигнальную силу G.Будем для начала считать, что от пробного тела отражается поток одина13ковых лазерных импульсов длительности θ [31, 32]. За счет смещения зеркалавдоль оси x каждый такой импульс приобретает дополнительный (положительный или отрицательный) набег фазы, который регистрируется фотодетектором:jφ̂det= φ̂flj − 2 zk p x̂(t j ) .(1.5)Здесь z — число отражений от пробного тела, достигаемое за счет дополнительного неподвижного зеркала, k p = ω p /c — волновое число, а x̂(t j ) — смещение пробного тела в момент времени отражения j-ого импульса t j .
Квантоваянеопределенность начальной фазы светового импульса отражается слагаемымφ̂flj и совместно с неопределенностью числа фотонов n̂ j удовлетворяет неравен√︁⟨︀ 2 ⟩︀j1ству Гейзенберга ∆[φ̂fl ] ∆[n̂ j ] > 2 , где ∆[ζ] ≡ ∆ζ =ζ − ⟨ζ⟩2 — квадратныйjкорень из дисперсии. Таким образом, на основе фазы φ̂detможно получить за-шумленную оценку измеряемого смещения пробного тела:jφ̂detjj̃︀xj = −= x̂meas+ x̂(t j ) = x̂meas+ x̂b.a. (t j ) + xG (t j ),2 zk p(1.6)φ̂fljгде к действительному смещению x̂(t j ) добавляется слагаемое= −,2zk pопределяемое квантовыми флуктуациями фазы — это и есть измерительный шум.jx̂measОбратное влияние света на пробное тело выражается в виде дополнительного смещения x̂b.a.
(t j ), вызванного действием пондеромоторной силы F̂pond =F0 + F̂b.a. . Здесь первое слагаемое отражает среднюю классическую составляющую, скомпенсированную, к примеру, натяжением отклоненного подвеса зеркала, а второе — квантово-флуктуационную, возникающую за счет неопределенности амплитуды света. Тогда после очередного отражения механический имjjпульс пробного тела p̂(t j + θ) = p̂(t j ) + δ p̂pondвозмущается на величину δ p̂pond=2zjW0 + δ p̂b.a., где W0 — средняя энергия, запасенная в одном световом импульсе,c2z jjа δ p̂b.a.=Ŵ — случайная добавка, определяемая флуктуационной составляюc flщей энергии Ŵflj . Учитывая Ŵ j = W0 + Ŵflj = h̄ω p n̂ j , можно показать, что неопреде-ленности измерения смещения пробного тела и возмущения его механического14h̄импульса также удовлетворяют неравенству Гейзенберга ∆xmeas ∆pb.a.
> .2Последующие повторения процедуры, в пределе переходящие в одно непрерывное измерение, снижают измерительную ошибку. В этом случае удобно описывать шумы системы в частотном представлении через их спектральные плотности. Можно показать (см. к примеру [32]), что спектральные плотности измерительного шума S xx = lim (∆xmeas )2 θ и силы обратного флуктуационного влияθ→0ния S FF = lim (∆pb.a. ) /θ связаны с аналогичными характеристиками для фазы2θ→0S φ и интенсивности S I света следующим образом:S xxSφh̄c,= 2 2 =4z k p 16ω p ℐ0 z2S FF4z2 S I 4h̄ω p ℐ0 z2==,c2c2где конечные выражения справедливы для когерентного состояния света. Здесьмощность непрерывного излучения ℐ0 заменяет энергию W0 единичного имh̄22пульса. Тогда S xx S FF = S φ S I /ω p > , что для непрерывного измерения является4аналогом неравенства Гейзенберга. Гауссово когерентное состояние, по аналогии с гармоническим осциллятором, обращает его в равенство.Наглядно процедуру измерения иллюстрирует Рис.
1.1-б, где на фазовойплоскости изображены когерентные состояния (см. также Раздел 1.3). Расстояния от их центров до начала координат — классические амплитуды поля √— будут пропорциональны ℐ0 . Так как обладает неопределенностью ∆,то неопределенность мощности ∆(ℐ0 ) ∝ · ∆, что дает S I ∝ ℐ0 (∆)2 . Вто же время, угловой размер состояния уменьшается при его удалении от на-чала координат. Именно поэтому S φ ∝ 1/ℐ0 , а чем больше ℐ0 , тем меньшийугол поворота состояния можно разрешить — два соседних состояния обладаютвсе меньшей областью перекрытия. Таким образом, при неизменных квантовыхнеопределенностях света, изменение классической мощности противоположнымобразом влияет на измерительный шум и шум обратного влияния.151.3.
Матричный формализмДля полноценного анализа оптомеханических систем с учетом различногорода потерь удобно пользоваться матричной записью преобразования квадратуроптического излучения, предложенной Кейвсом и Шумахером [33, 34]. Рассмотрим плоскую монохроматическую волну. Напряженность ее электрической компоненты в некоторой точке может быть представлена в виде суммы классическойA0 и квантовой Âfl составляющих [26, 32]:(︁ amp)︁(︁)︁ampÂ(t) = A0 + Âfl (t) cos ω p t − φ0 + φ̂fl (t) ≈ A0 (t) + Âfl (t) ,ampA0 (t) = A0гдеcos(ω p t − φ0 ) ,amp(1.7)ampÂfl (t) = Âfl (t) cos(ω p t − φ0 ) − φ̂fl (t) A0 sin(ω p t − φ0 ) .Здесь φ0 — постоянный набег фазы в выбранной точке наблюдения, а для квантово-флуктуационной части поля справедливо: ⟨Âfl ⟩ = 0, ⟨φ̂fl ⟩ = 0.
В представлеampнии (1.7) слагаемое Âfl (t) cos(ω p t − φ0 ) носит название амплитудной квадратуampры, а φ̂fl (t) A0 sin(ω p t − φ0 ) — фазовой квадратуры.С другой стороны, из квантовой теории для бегущей волны известно:Âfl (t) =Z∞ √︂2πh̄ωdωâ(ω)e−iωt+ h.c. ,Ac2π0где A – площадь поперечного сечения светового пучка, а â(ω) и ↠(ω) – операторы уничтожения и рождения для моды с частотой ω, удовлетворяющиекоммутативным соотношениям [â(ω), â(ω′ )] = 0 и [â(ω), ↠(ω′ )] = 2πδ(ω − ω′ ).Вводя по аналогии комплексную амплитуду 0 = | 0 | eiφ0 и учитывая, что√︁2πh̄ω pampA0 = 2Ac | 0 |, для классической составляющей можно записать:A0 (t) =√︂2πh̄ω p0 e−iω p t + h.c. = 2Ac√︂]︁2πh̄ω p [︁−iω p tRe 0 e.AcТак как движение механической моды осуществляется на малых частотахΩ ≪ ω p , то боковые частоты света ω p ± Ω, несущие в детекторах всю полез-ную информацию, расположены в узкой полосе около ω p .
Для анализа опто16механических схем можно ограничиться двухфотонным формализмом, заключающимся в рассмотрении эволюции мод боковых частот â± (Ω) ≡ â(ω p ± Ω).Однако для сложных систем, учитывающих различные потери и исследуемыхс помощью численных методов, удобно использовать операторы безразмерныхамплитуд “косинусной” и “синусной” квадратур, соответственно, âc (Ω) и â s (Ω):â+ (Ω) − â†− (Ω)â s (Ω) =.(1.8)√2i(︀)︀Они эрмитовы во временном представлении âc,s (t) = â†c,s (t), âc,s (Ω) = â†c,s (−Ω)â+ (Ω) + â†− (Ω)âc (Ω) =,√2и потому соответствуют непосредственно наблюдаемым в эксперименте величинам. Для флуктуационной составляющей поля Âfl это означает:ampampÂfl (t) = Âfl, c (t) cos ω p t + Âfl, s (t) sin ω p t,√︂√︂Z∞4πh̄ω p4πh̄ω pdΩampдля Âfl, j (t) =· â j (Ω) e−iΩt=· â j (t) ,Ac2πAc(1.9)−∞где j = {c, s}.
Из сравнения (1.9) с (1.7) получаем:âc (t) ∝ Âfl, c (t) = Âfl (t) · cos φ0 + φ̂fl (t)A0ampamp· sin φ0 ,ampamp· cos φ0 .â s (t) ∝ Âfl, s (t) = Âfl (t) · sin φ0 − φ̂fl (t)A0(1.10)Тогда в точке наблюдения с φ0 = 0 “косинусная” квадратура в точности соответствует флуктуациям амплитуды поля, амплитудной квадратуре; а “синусная” —флуктуациям фазы, фазовой квадратуре (см. Рис. 1.2).В конечном итоге поле гармонической плоской волны (1.7) представимо вследующем виде:Â(t) =√︂)︁4πh̄ω p (︁[︀]︀[︀]︀c + âc (t) cos ω p t + s + â s (t) sin ω p t ,Acгде, по аналогии с (1.8), справедливо:√√0 + *0ampc == 2Re [0 ] = 2 | 0 | cos ϕ0 ∝ A0 cos ϕ0 ,√2√√0 − *0amps == 2Im [0 ] = 2 |0 | sin ϕ0 ∝ A0 sin ϕ0 .√2i17(1.11)Рис.
1.2. Условное изображение одного и того же квантового состояния при трех различныхзначениях фазы φ0 . Основные оси соответствуют “косинусной” и “синусной” квадратурам.Представление волны (1.11) носит название приближения вращающейся поляризации и, по сути, является классическим методом медленно меняющихся амплитуд (ММА) — постоянное высокочастотное вращение рассматривается отдельноот медленной эволюции амплитуд âc,s (t).Тогда любая оптомеханическая система, трансформирующая квантовые амплитуды квадратур входящего света â в соответствующие операторы b̂ выходящего света, может быть описана 2 × 2-матрицей T:⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎢b̂c (Ω)⎥⎥⎥⎢⎢⎢T11 (Ω) T12 (Ω)⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢âc (Ω)⎥⎥⎥⎥⎥⎥ = ⎢⎢⎢⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎥⎥⎥ ≡ T(Ω) â(Ω) .b̂(Ω) ≡ ⎢⎢⎢⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦ ⎢⎣⎥b̂ s (Ω)T21 (Ω) T22 (Ω) â s (Ω)⎦(1.12)Будем далее для краткости опускать зависимость от частоты Ω.
В такой запи-си, однако, матрица преобразования T не позволяет разделить измерительныйшум и шум обратного влияния. Для этого необходимо представить T в виде суммы двух частей, каждая из которых отвечает за свою составляющую полногоквантового шума: T = Tmeas + Tb.a. . Если учесть, что шум обратного влиянияравен нулю при отсутствии оптомеханической связи (к примеру, при зафикси⃒рованной механической степени свободы), то имеем: Tmeas = T ⃒⃒no coupl . А тогда:⃒Tb.a. = T − T ⃒⃒no coupl .Приведем в заключение правило перехода к операторам комплексных ам-плитуд от операторов уничтожения в двухфотонном формализме. Пусть некоторая система преобразует поле на входе â(ω) к полю на выходе b̂(ω) в соответ18ствии с b̂(ω) = T (ω) â(ω).
Тогда, вводя обозначения T ± ≡ T ± (Ω) ≡ T (ω p ± Ω), вматричном представлении в силу (1.8) будет справедливо:⎡(︀)︀⎤⎥**⎢i T + − T − ⎥⎥⎥1 ⎢⎢ T + + T −⎥⎥ â.b̂ = ⎢⎢⎢⎢⎣ (︀2 −i T + − T * )︀ T + + T * ⎥⎦−−(1.13)1.4. Спектральная плотность квантового шумаВыражение (1.12) описывает только трансформацию квантовых флуктуаций вошедшего в систему света, но не отражает процесс регистрации внешнегосигнала. В детекторе же под действием приливных сил G(Ω) возбуждаются боковые оптические частоты ω p ± Ω:b̂± (Ω) = T ± (Ω) â± (Ω) + T ± (Ω) (±Ω) ,где T ± — функция отклика на сигнал . Под может пониматься как сигнальноесмещение xG , так и определяющие его приливная сила G или вариация метрикиh. Тогда для квадратур поля в матричной записи справедливо:b̂(Ω) = T(Ω) â(Ω) + T (Ω) (Ω) ,(1.14)где функция отклика T представляется столбцом из двух элементов.
Такимобразом, за счет оптомеханического взаимодействия в зашумленные квадратурыb̂ включается полезный сигнал .В простейших непрерывных измерениях информацию несет в себе фазоваяквадратура, однако в общем случае сигнальное возмущение испытывают обе —и фазовая, и амплитудная — квадратуры. Это означает, что наибольший откликна сигнал содержится в некоторой промежуточной квадратуре.
При этом, длякаждой частоты Ω угол этой квадратуры может быть различным. Кроме того,к фазовой квадратуре через оптомеханическое взаимодействие частотно-зависимым образом примешиваются амплитудные флуктуации, что является другимвзглядом на шум обратного флуктуационного влияния. Таким образом, для оптимального извлечения сигнала из фонового квантового шума необходимо изме19Рис. 1.3. Иллюстрация к применению сжатых квантовых состояний для снижения неопределенности одной из квадратур.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
