Диссертация (1103862), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Дисперсия второй квадратуры при этом пропорционально возрастает.В центре изображен случай инжекции простого вакуумного состояния, слева — сжатого фазово,а справа — сжатого амплитудно.рять некоторую квадратуру под углом φLO , которая представима в виде взвешенной смеси амплитудной и фазовой или “косинусной” и “синусной” квадратур:TTTîHD ∝ ôb̂ = H b̂ = H T â + H T ,T[︂]︂H ≡ cos φLO sin φLO .(1.15)Такое измерение позволяет осуществить, к примеру, гомодинный детектор (подробнее он будет рассмотрен в Разделе 1.7.1).
Наиболее оптимальное измерениедостигается при зависимости угла гомодинирования φLO (Ω) от частоты Ω.Другой способ снижения квантового шума заключается в инжекции в систему сжатых квантовых состояний вместо простых когерентных (см. Рис. 1.3;подробнее в Разделе 1.7.2). Для улучшения разрешимости изменения фазы отраженного света необходимо уменьшать дисперсию фазовой квадратуры — осуществлять фазовое сжатие состояний, которое пропорционально увеличиваетнеопределенность амплитуды и, следовательно, шум обратного влияния. Дляснижения последнего необходимо, наоборот, амплитудное сжатие, которое усиливает измерительный шум. Но поскольку шум обратного влияния и измерительный шум на разных частотах оказывают различный вклад в полный квантовый шум детектора, то особую пользу может принести частотная зависимостьугла сжатия λ(Ω).
Она позволит для каждой частоты наиболее оптимальным об20разом изменять соотношение компонент квантового шума, уменьшая дисперсиюименно той квадратуры, в которой велико содержание полезного сигнала.Поскольку в рассматриваемых задачах анализируется континуум мод, тодля описания их неопределенностей удобно пользоваться спектральной плотностью мощности шума. В настоящей работе под S (Ω) понимаются симметризованные двухсторонние спектральные плотности, которые для двух любыхслучайных стационарных процессов ξ̂ и ζ̂ определяются как2πδ(Ω − Ω′ ) · S ξζ (Ω) =⟩ ⟨⟩1⟨ξ̂(Ω)ζ̂ † (Ω′ ) + ζ̂ † (Ω′ )ξ̂(Ω) ≡ ξ̂(Ω) ∘ ζ̂ † (Ω′ ) ,2(1.16)*откуда следует, что S ξζ (Ω) ≡ S ζξ(Ω). Будем использовать обозначение S ξ (Ω) ≡S ξξ (Ω), а также S̃︀(Ω) = 2 S (Ω) для односторонней спектральной плотности (определенной только для Ω > 0). Тогда для света, входящего в прибор, справедливо:⎡⎤⎢⎢⎢ S â (Ω) S â â (Ω)⎥⎥⎥c s|in⟩⎢⎢⎢ c⎥⎥†′(Ω)=(Ω)=⟨â(Ω)∘â(Ω)⟩,V2πδ(Ω − Ω′ ) · V|in⟩|in⟩⎢ââ⎣S (Ω) S (Ω) ⎥⎥⎦ , (1.17)â s âcâ sгде на диагонали ковариационной матрицы V|in⟩расположены спектральные плотâности квадратур âc,s , а на антидиагонали — их перекрестные корреляции.Рассматриваемые гауссовые квантовые состояния полностью описываютсяковариационными матрицами с вещественными элементами, то есть S âc âs (Ω) =S âs âc (Ω).
Графической интерпретацией таких квантовых состояний на фазовойплоскости являются эллипсы (см. Рис. 1.1-б, 1.2). В частном случае отсутствиякорреляции между квадратурами (когда V|in⟩= V|in⟩= 0) оси эллипса будутâ; 11â; 22совпадать с осями координат, а “косинусная” и “синусная” квадратуры соответствовать только одной неопределенности — фазовой или амплитудной (случайφ0 = π n/2 для целых n). Таким образом, собственная для оптомеханической системы эволюция квантового состояния1 графически интерпретируется как трансформации эллипсов с помощью поворотов и растяжения-сжатия.Исходя из (1.14) и (1.17) можно заключить, что спектральные плотности1Подразумевается картина эволюции Шредингера.21квадратур на входе и выходе системы (â и b̂, соответственно) связаны следующим образом2 :|in⟩†V|in⟩(Ω)=T(Ω)V(Ω)T(Ω).âb̂Если считать, что квантовые состояния входящего света на всех частотах являются вакуумными |in⟩ = |0⟩, то, учитывая ⟨0|âi (Ω) ∘ â†j (Ω′ )|0⟩ = 12 2πδ(Ω − Ω′ ) δi j ,где i, j = {c, s}, для ковариационных матриц справедливо:(Ω) =V|in⟩â1· I,2(Ω) =V|in⟩b̂11· T(Ω) T† (Ω) ≡ · ‖T(Ω) ‖2 .22Случай сжатых состояний может описываться с помощью переопределеннойматрицы T = Tvac S, учитывающей предварительное преобразование вакуумногосостояния (см.
Раздел 1.7.2). Тогда из (1.15) следует выражение для спектральной плотности выбранной квадратуры ôb̂ при |in⟩ = |0⟩:S b̂ = HT Vb̂|in⟩ H =⃦21 ⃦1 T †H T T H ≡ ⃦⃦ HT T ⃦⃦ ,22которое может быть приведено к эквивалентному сигналу :⃦⃦⃦2T ⃦T†⃦⃦HT1 H TT H1S b̂ =≡⃒⃒ ,2 HT T (T )* H 2 ⃒⃒ HT T ⃒⃒2(1.18)Учитывая разложение T = Tmeas + Tb.a. , нетрудно получить выражения дляспектральных плотностей измерительного шума, шума обратного флуктуационного влияния и их перекрестной спектральной плотности:S b̂;meas⃦⃦⃦2T meas ⃦⃦1 ⃦H T=⃒⃒⃒⃒2 ,2 ⃒ HT T ⃒S b̂;b.a.⃦⃦⃦T b.a ⃦21 ⃦H T ⃦=⃒⃒ ,2 ⃒⃒ HT T ⃒⃒2(︁ )︁†Tb.a H1H T=.⃒⃒⃒22⃒ HT T ⃒⃒(1.19)TS b̂;crossmeasПри учете оптических потерь, происходящих, например, через неидеальноотражающие зеркала, согласно флуктуационно-диссипационной теореме (ФДТ)2Используется картина Гейзенберга, в которой волновая функция |in⟩ соответствует квантовому состояниювходящего в систему света и не зависит от времени или точки наблюдения, а вся эволюция сосредоточена в квантово-механических операторах.22[35, 36] каждому каналу утечек α будет соответствовать дополнительный вакуумный шум n̂α .
В этом случае соотношение квантовых флуктуаций на входе ивыходе системы принимает вид:b̂ = T â +∑︁αNα n̂α + T ,(1.20)=а для ковариационной матрицы в предположении |in⟩ = |0⟩ справедливо: V|in⟩b̂2 1 ∑︀1T‖+ 2 α ‖Nα ‖2 . Следовательно, спектральная плотность квантового шума на‖2выходе детектора записывается как:⃦⃦2⃦2 ∑︀ ⃦⃦⃦⃦TT ⃦⃦⃦⃦HN+HT1α⃦αS b̂ =.⃒⃒⃒⃒22T⃒H T ⃒(1.21)1.5. Основные элементы оптомеханических системПриведем теперь матричное описание некоторых основных элементов оптомеханических систем, из которых будут составляться все рассматриваемые в настоящей работе детекторы гравитационных волн.1.5.1. Свободный пробегНаиболее тривиальным элементом является линия задержки τ, которая эквивалентна свободному пробегу на длину l = cτ. Во временном представлениисправедливо b̂(t) = â(t − τ). Тогда в пространстве частот для ω-моды выпол-няется b̂(ω) = e+iωτ â(ω) = e+iφω â(ω), что для боковых частот означает b̂± (Ω) =[︁]︁ℛ̂† (φ)â± (Ω)ℛ̂(φ) при ℛ̂(φ) = exp iφ(â†+ â+ + â†− â− ) (см.
к примеру [26]). По правилу (1.13) для столбцов операторов квадратур в матричном формализме имеем:b̂ = Pτ â,⎤⎡⎢⎢⎢cos φ − sin φ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ,R[φ] = ⎢⎢⎢⎢⎣⎥sin φ cos φ ⎦Pτ = eiβ R[φ],β = Ωτ,φ = ω p τ.Матрица поворота R[φ] = R† [−φ] описывает вращение квантового состояния нафазовой плоскости на угол φ против часовой стрелки (см. к примеру [32, 37]).23Рис. 1.4. Свободное пробное тело (слева) и резонатор Фабри–Перо (справа).1.5.2. Свободное зеркалоРассмотрим подвижное зеркало, как оно изображено на Рис.
1.4. Для упрощения будем считать, что из падающих волн только Â имеет классическую составляющую. Тогда можно показать (см. к примеру [32]), что для квантовойсоставляющей поля в матричном представлении справедливо:⎧√√⎪x⎪⎪Râ(Ω)+T ĉ(Ω) + Tf.m.x̂(Ω)b̂(Ω)=⎪⎨⎪√√⎪⎪⎪⎩ d̂(Ω) = T â(Ω) − Rĉ(Ω),гдеxTf.m.(1.22)]︂T√ [︂= 2k p R − s c , а R и T — коэффициенты, соответственно, от-ражения и пропускания зеркала по мощности. Согласованный выбор знаков вобоих уравнениях удовлетворяет соотношениям Стокса [32, 38–40], которые являются прямым следствием закона сохранения энергии для разделяющегося светового пучка и устанавливают связь R + T = 1 для зеркала без поглощения. Дляклассических составляющих 0 , ℬ0 , 0 и 0 справедливы такие же соотноше-xния, как (1.22), но не содержащие в себе отклик на смещение зеркала Tf.m.x̂ всилу его малости (нулевое приближение).В отсутствии дополнительных классических шумов, смещение x̂ вызывается сигнальной силой G и пондеромоторным давлением: x̂ = x̂b.a.
+ xG [аналогично(1.6)]. Известно, что полная сила оптического давления, действующая на рас)︁A (︁ ˆсматриваемое зеркало, в проекции на ось x имеет вид F̂pond =IA + IˆB − IˆC − IˆD ,cˆгде I j — интенсивность соответствующего луча. Так как из (1.11) следует, что:cIˆA (t) =4π⃒⃒⃒2⃒ Â(t) ⃒⃒T p = ω2πp]︁h̄ω p [︁22=| c + âc (t) | + | s + â s (t) | ,2A24то, пренебрегая величинами второго порядка малости, для пондеромоторной силы получим:AAF̂pond= F0A + F̂b.a.(t) =h̄k p TA A + h̄k p AT â(t) ,2[︂]︂Tгде A = c s — столбец амплитуд квадратур классической составляющейполя, F0A =2Rc ℐAdef— классическая составляющая силы светового давления, а ℐA =A ⟨IA ⟩ = h̄ω p | 0 |2 — поток мощности луча A.В конечном итоге для соотношения квантовых квадратур справедливо:b̂ = Tf.m.
â + Nf.m. ĉ + Tf.m. , = {xG , G, h} ,(1.23)defгде для любой нормировки при учете σ1 = adiag(1, 1) (одна из матриц Паули):Tf.m.√√8k p ℐA,Tf.m. = R (I + M) , Nf.m. = T (I + M) , f.m. (Ω) =mcΩ2⎡ ⎤⎡⎤√︀⎢⎥⎢(︁)︁⎢⎥⎢00⎥⎥⎥⎥2 R f.m. (Ω) ⎢⎢0⎥⎥T⎢⎢⎢xx⎢⎥⎥⎥⎥ .=⎢ ⎥ , M = h̄ χf.m. (Ω) Tf.m. σ1 Tf.m. = ⎢⎢⎣SQL; f.m. ⎢⎣1⎥⎦−R f.m. (Ω) 0⎦(1.24)Нетрудно видеть, что для составляющих матрицы T, которые отвечают за измерительный шум и шум обратного флуктуационного влияния, справедливо:√√b.a.=RIиTR M.=Tmeasf.m.f.m.Функция SQL; f.m.
определяет стандартный квантовый предел (СКП) изме-рения величины с помощью свободной массы, а f.m. носит название фактораоптомеханической связи [26]. В силу выражения (1.4) и частотного представления уравнения движения −mΩ2 xG (Ω) = G(Ω), соотношение между СКП, соответственно, измерения вариации метрики, силы и координаты имеет вид:h2SQL; f.m. =44 22f=x.SQL;f.m.m2 L2 Ω4L2 SQL; f.m.Будем в дальнейшем пользоваться обозначениями:h2SQL ≡ h2SQL; f.m. =8h̄,mΩ2 L2222fSQL≡ fSQL;f.m. = 2 h̄mΩ .(1.25)Рассмотрим наиболее простой случай полного отражения с R = 1.
Необходимо отметить, что приводимые ниже выражения (1.26)-(1.30), вообще говоря,25справедливы для широкого класса система. Поэтому в общем случае будем использовать индекс “sys”. Тогда соотношения квадратур на входе и выходе системы может быть записано в следующем виде (для свободной массы βf.m. = 0):⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎢⎥010⎥⎥(Ω)⎢⎢⎥⎥⎥iβ(Ω)2iβsys (Ω) ⎢sys⎢⎢⎢ √︀⎥⎥⎥ â(Ω) + e⎢⎢⎢b̂(Ω) = e⎥⎣ 2 (Ω)⎦ SQL; sys (Ω) . (1.26)⎣− (Ω) 1⎦syssysФазовое измерениеВ силу свободного выбора начальной фазы, будем полагать φ0 = 0 на отражающей поверхности пробного тела. Тогда измерение “синусной” квадратурыв этой точке совпадет с простым фазовым измерением и будет сопровождатьсяквантовым шумом, описываемым следующими спектральными плотностями:S =2SQL; sys [︃4]︃1sys +,sysS meas2SQL; sys 1=,4sysS b.a.=2SQL; sys4sys .(1.27)То есть в отсутствии корреляции измерительного шума и шума обратного влияния полный квантовый шум определяется простой суммой S = S meas+ S b.a..Графики функций (1.27) для h-сигнала представлены левой частью Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
