Диссертация (Многопараметрическая оптимизация лазерных интерферометрических детекторов гравитационных волн), страница 5

1.5.√︀Осуществить переход к безразмерным величинам позволяет Ωq = 8 ω p ℐA /(mc2 ).Тогда f.m. = Ω2q /Ω2 обращается в единицу при Ω = Ωq . Очевидно, что приΩ < Ωq выполняется f.m. (Ω) > 1 и преобладает шум обратного влияния, ана частотах Ω > Ωq , где f.m. (Ω) < 1, доминирует измерительный шум. Стро-го на частоте Ω = Ωq измерительный шум сравнивается с шумом обратноговлияния, и происходит достижение СКП.

Варьирование оптической мощностипротивоположным образом изменяет составляющие полного квантового шума,но преодолеть СКП не позволяет (см. правую часть Рис. 1.5).Гомодинное измерениеИзмерение квадратур b̂, определяемых выражением (1.26), с помощью гомодинного детектора дает следующее выражение для спектральной плотности26СКПI0, (2) = I0, (1) / 3I0, (1)I0, (3) = I0, (1) · 3Seh / hSQL (Ωq, (1) )Seh / hSQL (Ωq, (1) )СКППолный квантовый шумИзмерительный шумШум обратного влияния100pp100100Частота Ω/Ωq, (1)100Частота Ω/Ωq, (1)Рис. 1.5. СКП свободной массы и спектральные плотности квантового шума при измерении ее√︀смещения в относительных единицах: слева для Ωq, (1) ∝ ℐ0, (1) , справа — для еще двух значений√оптической мощности, отличающихся в 3 раза (Ωq отличаются в 3 раз).квантового шума [см. (1.18)]:S =(︁)︁22−cotφLO + 11 SQL; sys sys2sys2.(1.28)За счет измерения некоторой промежуточной квадратуры, включающей в себя ии пофазовые, и амплитудные флуктуации, возрастает измерительный шум S meas, 0, однако сам шум обратного влиянияявляется перекрестная корреляция S crossS b.a.сохраняется — измерение выходящего света не изменяет пондеромоторнойсилы обратного влияния.Для свободной массы характерная спектральная плотность квантового шума, приведенного к эквивалентной вариации метрики h, представлена в левойчасти Рис.

1.6. Отчетливо видно, что на одной частоте (в примере расположенной ниже Ωq ) происходит полное исключение шума обратного влияния и чувствительность датчика определяется только измерительным шумом. Однако наболее высоких частотах квантовый шум неизбежно возрастает из-за измеренияквадратуры с пониженным содержанием сигнального отклика. Наиболее оптимальное измерение достигается при идеальной частотной зависимости угла φLO :φLO (Ω) = arccot sys (Ω) ,27(1.29)Seh / hSQL (Ωq )Seh / hSQL (Ωq )СКПФазовое измерениеизмерительный шумшум обратного влиянияГомодинное измерение с φLOСКПФазовое измерениеизмерительный шумшум обратного влиянияВходное сжатие100pp100100Частота Ω/Ωq100Частота Ω/ΩqРис. 1.6. Спектральные плотности квантового шума для простого измерителя смещения: слева— при гомодинировании с φLO , π/2; справа — при фазовом измерении, но с инжекцией сжатогопод углом λ = π/4 состояния.которая позволяет исключить шум обратного влияния уже на всех частотах.Инжекция сжатых состоянийИспользуя выражения из Раздела 1.7.2, можно показать, что при использовании сжатых под произвольным углом λ состояний, спектральная плотностьквантового шума примет следующий вид (измерение фазовое с φLO = π/2):(︃)︃(︃(︃)︃)︃]︃2SQL; sys [︃111S =ch 2r sys +− sh 2r sys −cos 2λ + 2 sin 2λ .22syssys, и шумИнжекция сжатых состояний изменят уже и измерительный шум S measобратного влияния S b.a., а перекрестная корреляция S cross, 0 возникает приλ , πn/2.

Кроме того, так как sys ∝ ℐ, то сжатие с углами λ = πn/2 эквивалент-но изменению мощности оптической накачки ℐ′ = ℐe±2 r (знак перед степеньюсжатия r зависит от угла λ).Возможность преодоления СКП за счет применения сжатых состояний света иллюстрирует правая часть Рис. 1.6. Очевидно, что наиболее оптимальная инжекция сжатых состояний достигается при такой частотной зависимости λ(Ω),когда на низких частотах, где доминирует шум обратного влияния, осуществля28ется сжатие амплитудной квадратуры (λ ≃ π/2 при r > 0), а на высоких частотахфазовым сжатием подавляется измерительный шум (λ ≃ 0).Пондеромоторное сжатиеС точки зрения эволюции квантового состояния света, отражающегося отпробных тел, появление шума обратного флуктуационного влияния заключаетсяв эффекте пондеромоторного сжатия.

Его суть состоит в том, что на частотах с заметной оптомеханической связью Ksys квантовые состояния света за счетоптомеханического взаимодействия подвергаются сжатию внутри самой системы. При этом происходит рост неопределенности квадратур, в которых высокосодержание полезной информации о сигнальном воздействии. Тогда процедураоптимального гомодинного измерения понимается как выбор квадратуры света снаилучшим соотношением между квантовой неопределенностью и амплитудойсигнального возмущения. В то же время, инжекция сжатых состояний позволяет подготовить квантовые неопределенности входящего в систему света такимобразом, чтобы вредному пондеромоторному растяжению подвергались именнопредварительно сжатые квадратуры.Эффект пондеромоторного сжатия сопровождает любое оптомеханическоевзаимодействие.

В [26] было показано, что для систем, описываемых факторомсвязи sys , результат пондеромоторного сжатия может быть представлен тремяпоследовательными операциями: двумя поворотами на углы vpond (Ω) и upond (Ω),между которыми осуществляется фазовое сжатие с коэффициентом rpond (Ω). Вотсутствии оптических потерь справедливо:rpond = arcsinhsys,2vpond =sys1arccot,22upond = −vpond − arctansys. (1.30)2Очевидно, что степень сжатия rpond тем выше, чем больше фактор связи sys ,однако необходимо помнить, что и амплитуда сигнального отклика также растет√︀с увеличением фактора оптомеханической связи как sys . Поэтому по поведению фактора связи можно прогнозировать характер шума обратного флукту29ационного влияния. В Приложение А.1 получены выражения для параметровпондеромоторного сжатия в случае произвольной системы без диссипации.1.5.3.

Резонатор Фабри–ПероСледующей по сложности системой является хорошо известный [26, 32, 37,41–45] резонатор Фабри–Перо (см. Рис. 1.4), который традиционно используетсяв плечах гравитационных детекторов: добавление входного зеркала (ITM) помимо концевого пробного тела (ETM) позволяет увеличить накопление сигнала вфазе выходящего света за счет множественности отражений. Другими словами,увеличение отклика на сигнал достигается за счет усиления оптомеханическойсвязи, пропорциональной циркулирующей в резонаторе оптической мощностиℐc .

Последняя превосходит входящую через ITM мощность ℐin = h̄ω p | 0 |2 :defℐc = h̄ω p | ℰ0 |2 ≃ℐin2ℱ= ℐin,γτπ(1.31)где ℱ = π/(2γτ) — резкость резонатора, также известная как “финесс”, τ = L/c —время пролета луча. Выражение (1.31) получено в одномодовом и узкополосномприближениях, когда резонатор длины L описывается полушириной его полосыγ = γITM + γETM , где составляющие γITM, ETM = c T ITM, ETM /(4L) определяютсякоэффициентами пропускания двух торцевых зеркал.Суть приближений заключается в том, что при выполнении двух необходимых условий можно рассматривать только одну собственную частоту резонатора вместо набора соседних. Первым условием является малость коэффициентовпропускания зеркал T ITM, ETM ≪ RITM, ETM ∼ 1. Второе условие — это малость опπnтической отстройки δ = ω p −и характерной частоты механических колебанийτπΩ в сравнении со свободным спектральным диапазоном резонатора ∆ωFSR = .τЭто обеспечивает расположение измеряемых боковых частот в пределах однойнакачиваемой моды резонатора: Ωτ ≪ 1 и | δ | τ ≪ 1.

Однако при существеннойдлине и заметно пропускающих зеркалах эти приближения нарушаются.30Точные соотношения квантовых квадратур на входе и выходе резонаторанетрудно получить в матричном виде, решая следующую систему уравнений:⎧√︀√︀⎪⎪⎪b̂=−Râ+T ITM PFP êITM⎪⎪⎪⎪b̂ = TFP â + NFP n̂ + T⎪FP ⎨⇒(1.32)f̂=TPê+Nâ⎪{︁}︁ITM FPITM⎪⎪⎪⎪для = xG , GµFP , h ,⎪⎪⎪⎩ ê = TETM PFP f̂ + NETM n̂ + TETM где матрицы преобразования и функция отклика будут иметь вид:√︀√︀T ITM PFP MFP TETM PFP NITM − RITM I ,√︀= T ITM PFP MFP NETM ,√︀= T ITM PFP MFP Tпри MFP = [I − TETM PFP TITM PFP ]−1 .ETM ,TFP =NFPTFP(1.33)Здесь для обоих зеркал с учетом их противоположной ориентации использованысоотношения (1.23). Между пробными телами луч совершает свободный пробег,описываемый матрицей PFP , которая не учитывает одномодовое приближение.Такой подход, однако, не раскрывает подробностей оптомеханического взаимодействия в силу отсутствия явного определения механической моды системы.

Введем разностную механическую моду x̂µFP с приведенной массой µFP (см.Приложение А.2) следующим образом:(︁)︁−1−1= m/2 .µFP = m−1+mITMETMx̂µFP = x̂ETM − x̂ITM = x̂b.a. + xG ,Тогда для эффективной приливной силы GµFP (учитывая GITM = 0 и GETM ≡ G) ифункции отклика на внешний сигнал справедливо:2 L h(Ω)GµFP (Ω) = −µFP Ω2G(Ω)=,2ThFPµFP Ω2 · L F=−TFP .2Матрицы преобразования принимают следующий вид (см. к примеру [32]):⎡⎤⎢⎢1 ⎢⎢⎢γ − iΩ −δ ⎥⎥⎥⎥⎥√measTmeas=2γL−I,N=2γγL,L=⎢⎥⎥⎦ ,ITMETM ITMFPFP(Ω) ⎢⎣ δγ − iΩ√︂γETM x (︀x (︀x )︀Tx )︀TTb.a.Nb.a.TFP σ1 TFP,FP = h̄ χFP TFP σ1 TFP ,FP = h̄χFPγITM31где (Ω) = (γ − iΩ)2 + δ2 , а χFP — полная механическая восприимчивость резона-Fxтора (см. ниже).

Для конечных выражений, учитывая TFP= χFP TFPв силу (1.37),можно записать:2J FP δt11 = t22 = 2γITM (γ − iΩ) − (Ω) +,Ω24γITM J FPt12 = −2γITM δ, t21 = 2γITM δ −,2Ω⎡⎤⎢⎢−δ ⎥⎥⎥⎥−mΩ2 χFP (Ω) ⎢⎢⎢⎢ γ − iΩ√⎥⎥⎥ ,FP(1.34)NFP (Ω) = 2 γITM γETM⎢⎢⎢⎥⎥⎦2J2(Ω)⎣δ −γ − iΩΩ⎡ 2⎤√︂⎢2FPmLΩ χFP (Ω) 2γITM mJ ⎢⎢⎢⎢ −δ ⎥⎥⎥⎥⎥hTFP (Ω) = −⎥⎥ .⎢⎢⎣4 (Ω)h̄γ − iΩ⎦⎤⎡⎢2−mΩ χFP (Ω) ⎢⎢⎢⎢t11 t12 ⎥⎥⎥⎥⎥TFP (Ω) =⎥⎥ ,⎢⎢⎣2(Ω)t21 t22 ⎦Оптическая жесткость и динамика системыОсобое внимание необходимо уделить изменению динамики механическоймоды за счет оптомеханического взаимодействия.

Для силы обратного влияния,действующей на всю приведенную механическую моду x̂µFP , справедливо:√︂⎛⎞⎜⎟⎟)︀(︀T⎜ETMx T⎜fl⎜⎝â +F̂b.a. µFP = h̄ σ1 TFPn̂⎟⎟⎠ + KFP x̂µFP ≡ F̂b.a.(1.35)µFP + KFP x̂µFP .T ITMНо это означает, что в случае наличия отстройки δ , 0 в резонаторе возникаетоптическая жесткость KFP (Ω) [32, 43, 46–48]:mJ FP δ,KFP (Ω) =(Ω)JFP4ℐFPc ωp=.mLc(1.36)Своим названием эта величина обязана схожести (1.35) с выражением для обычной силы Гука.

Подобным явлением сопровождаются процессы в любом электромагнитном резонаторе с нерезонансной накачкой. Рассматривая уравнениедвижения механической моды −µFP Ω2 x̂µFP = F̂b.a. µFP + GµFP , нетрудно видеть, чтооптическая жесткость изменяет механическую восприимчивость системы:2χ−1FP (Ω) = −µFP Ω + KFP (Ω) ,32явно оставляя в уравнении движения только флуктуационную часть пондеромоторной силы:flχ−1FP x̂µFP = F̂ b.a.