Диссертация (Многопараметрическая оптимизация лазерных интерферометрических детекторов гравитационных волн), страница 6

µFP + G µFP .(1.37)Знак собственно жесткости K̄FP = KFP (0) совпадает со знаком отстройкиδ. Кроме того, возникновение частотно-зависимой оптической жесткости KFP (Ω)означает также и внесение дополнительного механического трения HFP противоположного знака: KFP (Ω) = K̄FP − iHFP Ω + o(Ω2 ), где HFP = −2K̄FP γ/δ2 .

Этоозначает, что механическая подсистема, взаимодействующая с единственной оптической накачкой, всегда оказывается нестабильной: положительная жесткостьвозникает в паре с отрицательным затуханием и наоборот. На практике нестабильность подавляется, к примеру, с помощью электронных систем обратнойсвязи. Кроме того, в работах [49, 50] было показано теоретически, а в [50]и продемонстрировано экспериментально, что стабильный режим может бытьдостигнут путем использования двух оптических компонент различных частот,создающих двойную оптическую жесткость, если их отстройки имеют противоположные знаки.Случай резонансной настройкиВ частном случае нулевой отстройки δ = 0 выражения для матриц упрощаются, а система описывается фактором оптомеханической связи FP :⎡⎤⎡ ⎤√⎢⎢⎢ 1⎥⎥0⎥⎥2 FP ⎢⎢⎢⎢⎢0⎥⎥⎥⎥⎥2iβFP ⎢βFP⎢⎥TFP = eTFP = e⎢⎢⎣⎥⎥ ,⎢ ⎥,SQL; FP ⎢⎣1⎥⎦−FP 1⎦⎡⎤√︃⎢⎢⎢10⎥⎥⎥⎥FP ⎢⎢⎢⎥⎥⎥ ,iβFPNFP = e2 τ γETM⎢⎢⎢√︀⎥FPf.m.

⎣−eiβFP1 + tan2 βFP 1⎥⎦2приβFP = arctanΩγITM,FP =4γITM J FP(︁)︁.222Ω γITM + Ω(1.38)(1.39)(1.40)Здесь SQL; FP — СКП для резонатора Фабри–Перо, приведенный к эквивалентному сигналу . Для измерения вариации метрики hSQL; FP = 2hSQL (см. также33Приложение А.2).Нетрудно видеть, что при полном отсутствии потерь выражения для преобразования квадратур и спектральной плотности квантового шума имеют точнотакие же формы, как для случая свободного пробного тела [см. (1.26), (1.28)].2 J FPFPДостижение СКП происходит на частоте Ωq =, где FP (ΩFPq ) = 1. ТакимγITMобразом, для резонатора Фабри–Перо с резонансной накачкой в полной мереостаются справедливыми рассуждения о природе и способах снижения квантового шума, проведенные выше для случая свободной массы.

При наличииоптической отстройки картина несколько изменяется (например, возрастает измерительный шум на низких частотах), но общие принципы остаются теми же.Резонансы интерферометра Фабри–ПероВне зависимости от динамики системы, в резонаторе Фабри–Перо существует оптический полюс ̃︀∆ = ±δ − i γ, который является корнем уравнения⃒⃒ ⃒⃒√︀(Ω) = 0. Его модуль ∆ = ⃒⃒ ̃︀∆ ⃒⃒ = γ2 + δ2 носит название оптического резо-нанса, а аргумент полюса равен ±ϕ = ±arctan (δ/γ).Оптомеханическое взаимодействие, изменяющее динамику системы, явля-ется причиной возникновения еще двух полюсов и соответствующих им резо⃒⃒ ⃒⃒̃︀̃︀ m ⃒⃒ и высокочастотногонансов — низкочастотного механического Ωm , Ωm = ⃒⃒ Ω⃒⃒ ⃒⃒̃︀ o , Ωo = ⃒⃒ Ω̃︀ o ⃒⃒ [32, 41, 42, 47]. Эти полюсы определяются какопто-механического Ωрешения уравнения χFP (Ω) = 0, и поэтому приближение частот к соответствую-щим резонансам вызывает рост механической восприимчивости.

Как следствие,максимум степени пондеромоторного сжатия rpond (Ω) будет достигаться на частоте механического резонанса Ωm .341.5.4. Интерферометр Майкельсона/Фабри–ПероИнтерферометр без зеркал рециркуляцииРассмотрим теперь интерферометр Майкельсона, в плечах которого расположены резонаторы Фабри–Перо с подвижными зеркалами массой m.

Пусть вкаждом из них циркулирует оптическая мощность ℐarmc . Такая схема (иллюстрацией может служить Рис. 2.1) является типичной конфигурацией гравитационноволнового детектора [38, 45, 51] и уже детально изучена [26, 41, 43, 48, 52].Традиционно, как плечи, так и весь интерферометр настроены в резонанс —используется так называемый режим темного порта.

В этом случае вся оптическая мощность, поступающая в светлый порт от лазера накачки, туда жеи возвращается или, в случае согласованной рециркуляции мощности, теряется за счет малых, но все же имеющихся потерь. Возникновение световогоизлучения в темном порту в первую очередь связано с возбуждением боковых частот ω p ± Ω, вызванным движением в разностной механической моде]︁1 [︁ NNEEx̂µMI =( x̂ETM − x̂ITM) − ( x̂ETM− x̂ITM) . Именно такое дифференциальное смеαщение пробных тел происходит под действием гравитационной приливной силы.

Ниже мы будем полагать α = 2, что соответствует приведенной массе µMI =2 µarm = m (см. также Приложение А.2). Кроме того, темный порт покидаетпринципиально неустранимое квантово-шумовое излучение, которое проникает в систему через этот же темный порт, а также за счет оптических потерь вплечах интерферометра.Для полей на делителе пучка выполняются следующие соотношения:âNarmp̂ + îMI= √ ,2âEarmp̂ − îMI= √ ,2ôMIEb̂Narm − b̂arm=,√2(1.41)где столбцы квадратур p̂ и îMI соответствуют свету, входящему в светлый и темN,Eный порты соответственно, ôMI — покидающему темный порт, а âN,Earm и b̂arm —входящему и выходящему из “северного” (N) и “восточного” (E) плеч. Тогда из(1.41) и (1.32) следует, что для связанной с темным портом разностной оптиче35ской моды справедливо:{︁}︁ = xG , GµMI , h ,ôMI = TMI î + NMI n̂ + TMI ,(1.42)n̂N − n̂Eгде n̂ =— вакуумный шум, определяемый потерями через концевые√2зеркала плеч.

Эффективная приливная сила GµMI = G вызывает смещение xG :x̂µMI = x̂b.a. + xG . Тогда матрицы преобразования в (1.42) имеют вид:TMI = Tarm ,TMI =NMI = Narm ,√2Tarm .(1.43)Из (1.42) и (1.43) вытекает два важных следствия. Во-первых, квантовыефлуктуации света, входящего в светлый порт интерферометра, попадают только в его суммарную оптическую моду и взаимодействует только с суммарноймеханической модой. При этом, в интерферометре Майкельсона суммарные моды полностью независимы с разносными (см.

к примеру [32]). Во-вторых, эволюция разностных оптической и механической мод интерферометра Майкельсона оказывается эквивалентной эволюции соответствующих мод в единственном резонаторе Фабри–Перо с зеркалами массы meff = 2 m и циркулирующеймощностью ℐeff= ℐMI= 2ℐarmccc . Для приведенных мощностей это означаетJ eff = J arm = J MI /2 = J tot /2, гдеJ4ℐeffc ωp=,meff Lceff defJ4ℐarmc ωp=,mLcarm defJtot=J4ℐMIc ωp=,mLcMI def(1.44)а для факторов оптомеханической связи и фазового множителя:armMI = FP= eff ,βMI = βarmFP = βeff .Тогда, также как и для случая резонансно настроенного Фабри–Перо, для преобразования квантовых квадратур и их спектральных плотностей полностью справедливы выражения (1.26)-(1.30).

Отметим, что в случае интерферометра Майкельсона СКП измерения вариации метрики hSQL; MI = hSQL .Данное соответствие между разностными модами интерферометра Майкельсона и единственным резонатором Фабри–Перо, носящее название правиламасштабирования, актуально и для систем с оптическими отстройками [42].36Интерферометр с зеркалами рециркуляцииДля увеличения отклика детектора на измеряемый сигнал и снижения уровня квантовых шумов применяют методику рециркуляции.

Так, добавление зеркала рециркуляции мощности (PRM) напротив светлого порта позволяет для тогоже лазера накачки увеличить оптическую мощность, циркулирующую в плечахинтерферометра [53].Поскольку измеряемый сигнал влияет только на разностные оптическую имеханическую моды, то установка зеркала рециркуляции сигнала (SRM) обеспечивает увеличение доли полезной информации, содержащейся в выходящемиз темного порта излучении, за счет эффективного увеличения числа отраженийот пробных тел [54, 55], R.

Drever в [51]. Оказывается, что такая методика ещеи позволяет управлять шириной полосы всего детектора и вносить оптическуюотстройку. В [42] было показано, что для эффективного резонатора Фабри–Перорециркуляция сигнала означает:effγITM=armγITM1 − ρ2SR1 + 2 ρSR cos 2φSR + ρ2SR,armδeff = γITM2 ρSR sin 2φSR, (1.45)1 + 2 ρSR cos 2φSR + ρ2SRгде ρSR – коэффициент отражения зеркала рециркуляции по амплитуде.

Хорошовидно, что данные выражения периодичны с периодом π по фазе свободногоω p lSRпробега в резонаторе рециркуляции φSR =, где lSR — длина этого резонаcтора. Поэтому в дальнейшем будем полагать φSR ∈ [0; π).Традиционный взгляд на преобразования (1.45) заключается в том, что SRMи входное зеркало (ITM) эффективного резонатора Фабри–Перо заменяются одним новым эффективным ITM, которое будет обладать управляемым коэффициентом отражения, а также будет несколько смещено по отношению к исходномуITM, что обеспечит оптическую отстройку всей системы.

На представлении оeffконцевом зеркале рециркуляция сигнала никак не сказывается: γarmET M = γET M ≡effγET M . Полная же полоса, очевидно, определяется как γMI = γeff = γITM+ γETM .Таким образом, соотношения квантовых неопределенностей на входе и вы37Рис. 1.7. Схема рециркуляции сигнала.ходе детектора могут быть представлены в виде (см. Рис. 1.7):ôMI SR = TMI SR îMI SR + NMI SR n̂ + ThMI SR h,где выражения для матриц в строгом подходе без приближений:[︁]︁[︁]︁−1TMI SR = Pα (1 − ρ2SR )PSR M TMI PSR − ρSR I Pα , M = I − ρSR TMI P2SR ,√︁√︁hh2NMI SR = 1 − ρ2SR Pα PSR M NMI ,TMI SR = 1 − ρSR Pα PSR M TMI ,могут быть получены путем решения уравнения (1.42) совместно с системой:⎧√︁]︂[︂⎪⎪2⎪ô= Pα −ρSR Pα îMI SR + 1 − ρSR PSR ôMI ,⎪⎪⎨ MI SR√︁(1.46)[︂]︂⎪⎪⎪⎪2⎪⎩ îMI = PSR ρSR PSR ôMI + 1 − ρSR Pα îMI SR .Здесь для входящих и выходящих лучей введен дополнительный свободный про-бег Pα ≡ P[αSR ] между внешней поверхностью SRM и точкой наблюдения:(︃)︃(︃)︃eiφSR1 − ρSRαSR = − arg= − arctantan φSR .(1.47)1 + ρSR1 + ρSR e2iφSRПеренос точки наблюдения с поверхности SRM необходим для полной идентичности формул, описывающих преобразования квадратур в отстроенном резонаторе Фабри–Перо и интерферометре Майкельсона с рециркуляцией сигнала.В заключение обратим внимание на то, что появление оптической отстройки все так же означает возникновение в системе оптической жесткости KMI =meff J eff δeffKFP=, определяемой выражением (1.36).