Диссертация (Механизмы ускорения диффузии кластеров на чешуйчатой поверхности), страница 8

Эти переходы можно рассмотреть как некоррелированные47случайные прыжки между ячейками бильярда. Это приближение позволяет оценить вероятность выхода из ячейки в единицу времени и найти коэффициентдиффузии.Метод оценки вероятности выхода частицы из практически закрытой области был предложена Р. Стратановичем [77]. В приближении Махта-Цванцигавремя корреляции с начальными условиями (т.е. время релаксации к квази-равновесному распределению плотности вероятности () внутри ячейки) является малой величиной по сравнению со средним временем нахождения в ячейке = −1 .

Мы предполагаем, что распределение скоростей и координат независимы. Однако, скалярная величина скорости частицы не является постояннойвеличиной, а определяется ускорением Ферми (3.13) и слабо меняется за времядвижения частицы в одной ячейке. Мы предполагаем, что можно пренебречь изменением средней скорости за время движения внутри ячейки.

Тогда движениечастицы можно описать в трехмерном фазовом пространстве с координатами 1 ,2 и , пренебрегая изменением модуля скорости. Вектор скорости задается углом ∈ [0,2]. Распределение плотности вероятности, соответствующее этомудвижению является равномерным, т.е. (1 , 2 , ) = = (2Ω)−1 .В соответствии с [77], вероятность выхода через коридоры общей шириной0 в единицу времени0 .(4.1) = 20 =ΩЕсли скорость частицы фиксирована, эта вероятность постоянна и дает экспоненциальное распределение для времени выхода. Можно найти среднюю длинутраектории частицы до выхода из ячейки = . Подставляя выражение 4.1,получаемΩ== .(4.2)00Распределение для длины траектории также экспоненциально)︂(︂1() = exp −.(4.3)Видно, что выражения (4.2) и (4.3) не зависят от скорости частицы и должнывыполняться и в случае меняющийся скорости.

Эти выражения были проверены нами в [13], что подтверждает тот факт, что распределение по координатамвнутри ячейки равномерно.48Для периодического бильярда с открытым горизонтом два последовательных свободных пробега частицы внутри ячейки коррелированны (а точнее, антикоррелированны). Например, после пробега слева направо пробег справа налевоболее вероятен (см. рис. 1.1). Кроме того, коэффициент диффузии стремится кнулю (диффузия останавливается), когда мы имеем бильярд с закрытым горизонтом. Это происходит, когда ширина коридоров исчезающе мала. Это значит,что стандартное определение диффузии через длину свободного пробега неправильно.

Однако, можно использовать подход, в котором свободный пробегпредполагается равным размеру ячейки, а за скорость частицы принимается скорость перехода из ячейки в ячейку.Для медленной диффузии подход, в котором движение частицы рассматривается как набор дискретных скачков между бильярдными ячейками, был описанв статье [78]. В нашем случае из-за ускорения Ферми вероятность скачка изячейки в ячейку зависит от времени.

То есть, коэффициент диффузии по выбранному направлению (например, по оси ) может быть выражен следующим⟨︀ ⟩︀⟨︀ ⟩︀образом = 2 /2, где 2 ∼ 2 — среднеквадратичное отклонение по оси, зависящее от геометрии ячейки. Используя (4.1), получаем выражение длякоэффициента диффузии⟨︀ 2 ⟩︀ ,(4.4) = 02Ωгде 0 — общая ширина коридоров, по которым происходит перемещение вдольоси .

Коэффициент диффузии пропорционален времени. Таким образом, средний квадрат отклонения по оси пропорционален квадрату времени⟨︀ 2 ⟩︀ = ∼ 2 ,то есть, в системе наблюдается супердиффузия. Механизм такого аномальногопереноса отличается от классического механизма Леви. Его можно объяснитьс помощью термодинамической интерпретации ускорения Ферми как рост эффективной температуры бильярдной частицы. Нужно отметить, что полученныйрезультат можно обобщить на широкий класс бильярдов с открытым горизонтоми осциллирующими стенками (см. [79] и ссылки в ней).Для квадратной решетки (см. рисунок 1.1 (a)) область движения частицыопределяется как Ω = 2 − (2 − 2 ). Периметр рассеивателей определяется как = 2( + ), а общая ширина коридоров по оси 0 = 2( − 2), средний49⟨︀ ⟩︀квадрат проекции скачка частицы 2 = 2 .

Тогда для получаем42 ( − 2)( + )⟨2 ⟩=. (2 − (2 − 2 ))2(4.5)Очевидно, что диффузия вдоль вертикальной оси описывается таким же выражением.В треугольной решетке общая ширина коридоров, по которым происходитпереход по оси 0 = 2(−2), где — сторона треугольника. Средний квадратскачка ⟨2 ⟩ = 2 /4. Тогда коэффициент диффузии по оси △2 ( − 2)⟨2 ⟩=. (2 − 2 )2(4.6)По оси по двум коридорам с общей шириной 01= 2( − 2) происходят2скачки со средним квадратом ⟨1⟩ = 2 /12, а по коридору с шириной 02=2⟩ = 2 /3. Тогда общий коэффициент( − 2) скачки со средним квадратом ⟨2диффузии выражается как сумма △ = (⟨ 12 ⟩0 1 +⟨ 22 ⟩0 2 ) /(2Ω) и равенкоэффициенту диффузии по оси (4.6).Таблица 1 — Коэффициенты диффузии для разных решеток при периодическихколебаниях стенок рассеивателей0⟨2 ⟩2( − 2)22( − 2)22( − 2)24 (2 −(2 +2 ))1 2 (−2)⟨2 ⟩2 2 −2 222 (−2)⟨2 ⟩Тип решетки КоординатаКвадратнаяТреугольная2( − 2)12( − 2)2342 (−2)(+)⟨2 ⟩22 (2 −(2 +2 ))42 (−2)(+)⟨2 ⟩()16 2 −(2 +2 ) 2 ()1 2 (−2)⟨2 ⟩3 2 −(2 +2 ) 2 ()21 (−2)⟨2 ⟩Итого: 22 (2 −2 )50Описанные выше результаты получены в предположении, что интервалвремени между соударениями меньше, чем характерное время процесса (т.е.

время, в течении которого мы наблюдаем диффузионный процесс). Но изменениескорости частицы является случайной величиной. Распределение скоростей набольших временах можно представить выражением (3.1.2). У этого распределение есть максимум при = 0. Таким образом, нельзя пренебречь вероятностьюмалых скоростей.Очевидно, что в рассматриваемом бильярде с открытым горизонтом частица никогда не останавливается, но скорость частицы может достичь оченьмаленькой (критической) величины , при которой диффузия почти отсутствует. В этом случае нарушается предположение, что в ячейке быстро достигаетсяравномерное распределение.

Величину такой критической скорости можно получить из условия, что время между двумя последовательными соударениямипревышает общее время наблюдения. Этим могут объяснятся небольшие расхождения теории и численного счета.Выводы к главе 4В данной главе предложена бильярдная модель, описывающая медленнуюсупердиффузию кластеров по поверхности графита. В этой модели частица движется в периодическом газе Лоренца с движущимися границами, переходя изодной ячейки в другую. Коэффициент диффузии линейно зависит от вероятности перехода из одной ячейки в другую, и от среднего квадрата скачка.

Так как,при взаимодействии частицы с движущейся границей бильярда он ускоряется,то вероятность перехода между метастабильными состояниями линейно растетсо временем. Эта модель описывает предельный случай, когда кластеры сильносвязаны с поверхностью. Тогда кластер в течении сравнительно долгого временинаходится в каком-то метастабильном состоянии (одной ячейке периодического газа Лоренца), а затем переходит в следующее. В процессе всего движениякластер взаимодействует с чешуйками графита, которые движутся в тепловомдвижении как целое и ускоряются.

Коэффициент диффузии линейно зависитот вероятности перехода из одного метастабильного состояния в другое, и от51среднего квадрата расстояния пройденного кластером между двумя состояниями. Так как, при взаимодействии кластера с движущейся в тепловом движениичешуйкой, он ускоряется, то вероятность перехода между метастабильными состояниями линейно растет со временем. Таким образом, коэффициент диффузиитакже линейно растет со временем.52Глава 5. Модель супердиффузиии в газе Лоренца со случайнымраспределением рассеивателейВ данной главе представлена модель, описывающая предельный случайдвижения кластера по практически гладкой поверхности графита, когда кластербольшую часть времени движется свободно и только изредка взаимодействует счешуйкой, и при этом происходит передача импульса от чешуйки к кластеру.Рисунок 5.1 — Газ Лоренца со случайным распределением рассеивателей, вкотором не выполняется условие << .

Соседние скачкиантикоррелированы, то есть после скачка частицы в одну сторону наиболеевероятным является скачок в противоположном направленииГаз Лоренца со случайным распределением рассеивателей представляетсобой бесконечную поверхность со случайно расплолженными круглыми рассеивателями с радиусом . Положение каждого рассеивателя определяется случайным образом так, чтобы рассеиватели не накладывались друг на друга, исредняя концентрация была равна .

Чтобы исследовать диффузионные свойства газа Лоренца со случайным распределением рассеивателей мы используеммодель марковского случайного блуждания. Эту модель можно использовать, если случайные скачки не коррелированы, то есть радиус рассеивателя ≪ . На53рисунке 5.1 видно, что если не выполняется условие << , то соседние скачкиантикоррелированы, и после скачка в одном направлении наиболее вероятнымявляется скачок в противоположном направлении.В соответствии с классическим определением, коэффициент диффузии равен = ⟨2 ⟩/ , где = / — среднее время свободного пробега. Средний квадрат скачка равен ⟨2 ⟩ = 2 , где средняя длина свободного пробега = (1 − )/(2), а коэффициент определяется распределением для длинпробегов между соударениями.

Если квадрат радиуса рассеивателя 2 ≪ 1/,то распределение для длин пробегов будет экспоненциальным и коэффициент = 2. При увеличении радиуса , распределение рассеивателей становится более упорядоченным (см. рисунок 5.2), и коэффициент уменьшается. Учитывая,что скорость частицы = , получаем пропорциональный времени коэффициент диффузииРисунок 5.2 — Газ Лоренца со случайным распределением рассеивателей сосравнительно большим радиусом рассеивателей .